Nguyễn Quốc Sang

$tan^2x+cot^2x=2sin^5\left (x+\frac{\pi}{4} \right )$

Đk:$sin2x\neq 0$
Theo cosi ta có:$tg^{2}x+cot^{2}x\geqslant 2$
Lại có:$2sin^{5}(x+\frac{\pi }{4})\leq 2$
Suy ra đẳng thức xảy ra khi:
$\left\{\begin{matrix} tgx=cotx\\ sin(x+\frac{\pi }{4})=1 \end{matrix}\right.$
Suy ra:$x=\frac{\pi }{4}+2k\pi (k\in Z)$

giải phương trình:
$sin(3x-\frac{3\pi }{10})=3sin(x-\frac{\pi }{10})$

Đặt $\alpha =x-\frac{\pi }{10}$
Ta có: $sin3\alpha =3sin\alpha$
$<=>3sin\alpha -4sin^{3}\alpha =3sin\alpha$
$<=>sin\alpha = 0$
Suy ra: $x=\frac{\pi }{10}+k\pi$

đặt $cosx=a$,$ sinx=b$ $(a^{2}+b^{2}=1)$pt trở thành hệ
$\left\{\begin{matrix} a+b=\frac{b}{a}(1) & & \\ a^{2}+b^{2}=1(2) & & \end{matrix}\right.$
*$a=1$ $\Rightarrow x=k2\pi$
*$a\neq 1$ rút $b$ từ pt $(1)$ ta được $b=\frac{a^{2}}{1-a}$thay vào $(2)$ ta được
$2a^{4}-2a^{3}+2a-1=0$ pt này có $2$ nghiệm $a_{1}=-0,9$,$a_{2}=0,58$
$\Rightarrow x_{1}=arccos(-0,9)+k2\pi$,$x_{2}=arccos0,58+k2\pi$

$a=1$ đâu phải là nghiệm đâu bạn

2.CMR: không thể biểu diển bất kì số nguyên tố nào thành tổng bình phương của 2 số số tự nhiên theo các cách khác nhau

Giả sử có thể biểu diễn mọi số nguyên tố thành tổng bình phương của 2 số tự nhiên
Ta cm mệnh đề phản chứng sai: $p=a^2+b^2$
Với $a,b$ cùng chẵn hoặc cùng lẻ thì ta có $ p vdots 2$ ( trái với gt)

Hình như bạn đã hiểu sai yêu cầu của bài toán. Bài toán yêu cầu không thể biểu diển bất kì số nguyên tố nào thành tổng bình phương của 2 số số tự nhiên theo các cách khác nhau.
Tức là phải giả sử p= a² + b² = c² + d² ( a khác c;d và b khác c;d)

Bài tập 20 ( Đề thi chọn HSG Hungary, 1915 )
Chứng minh rằng nếu a, b là những số dương thì phương trình :

$ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x - a} + \dfrac{1}{x + b} = 0$

có hai nghiệm $ x_1, x_2 ( x_1 > x_2 )$ sao cho : $ \dfrac{a}{3} < x_1 < \dfrac{2a}{3}$ và $ \dfrac{-2b}{3} < x_2 < \dfrac{- b}{3}$.

Ta có:$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x - a}} + \dfrac{1}{{x + b}} = 0$
$ \Leftrightarrow 3x^2 - 2x(a - b) - ab = 0$
$\Delta ' = (a - b)^2 - 3( - ab) = (a + \dfrac{b}{2})^2 + \dfrac{{3b^2 }}{4} > 0$ (vì $b>0$)
Phương trình có 2 ngiệm phân biệt, theo Vi-ét ta có:
$\left\{ \begin{array}{l} x_1 + x_2 = \dfrac{{2(a - b)}}{3} \\ x_1 x_2 = \dfrac{{ - ab}}{3} < 0 \\ \end{array} \right.$
Suy ra:$x_1 > 0 > x_2 $
Ta có: $\dfrac{1}{{a - x_1 }} = \dfrac{1}{{x_1 }} + \dfrac{1}{{x_1 + b}} > 0$

Lại có: $\dfrac{1}{{x_1 }} + \dfrac{1}{{x_1 + b}} > \dfrac{1}{{2x_1 }}$
$ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{a - x_1 }} > \dfrac{1}{{2x_1 }}$
$ \Leftrightarrow a - x_1 < 2x_1 $
$ \Leftrightarrow a < 3x_1 $
$ \Leftrightarrow \dfrac{a}{3} < x_1 $
Cm tương tự ta được $x_1 < \dfrac{{2a}}{3}$


Đặt: $ - x_2 = c > 0$ Ta có:
$\dfrac{1}{{b - c}} = \dfrac{1}{{a + c}} + \dfrac{1}{c} > 0$
Cần Cm $\dfrac{{2b}}{3} > c > \dfrac{b}{3}$
Ta có: $a + c > c$
$ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{a + c}} < \dfrac{1}{c}$
$ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{a + c}} + \dfrac{1}{c} < \dfrac{2}{c}$
$ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{b - c}} < \dfrac{2}{c}$
$ \Leftrightarrow b - c > \dfrac{c}{2}$
$ \Leftrightarrow b > \dfrac{{3c}}{2}$
$ \Leftrightarrow \dfrac{{2b}}{3} > c$
Tiếp tục Cm tương tự ta có;$c > \dfrac{b}{3}$