daicahuyvn

$\frac{1}{1+a}<1\Rightarrow \frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge 1 \Rightarrow bc\le 1$

$2=\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\le \frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+\sqrt{bc}}\Rightarrow a\le \frac{1}{2\sqrt{bc}}-\frac{1}{2}$

Đặt $\sqrt{bc}=x$.$b^2+c^2\ge 2bc=2x^2$

$P\ge \frac{3x^2}{3x^2-4x+2}+\frac{64x^2+10}{(8x^2+1)^2}=f(x)$

f(x) nhỏ nhất khi $x\approx 0,581196$ là nghiệm của 1 pt bậc 7.

$\min P \approx 3,778$

Cho $x,y,z$ là các số thực thoả mãn $xy+yz+zx=xyz$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$A=\frac{x\sqrt{(y+z)^3}}{2yz+zx+xy}+\frac{y\sqrt{(z+x)^3}}{2zx+xy+yz}+\frac{z\sqrt{(x+y)^3}}{2xy+yz+zx}$

Đặt $a=\frac{1}{x},b=\frac{1}{y},c=\frac{1}{z}$ thì $a+b+c=1$

$\frac{x\sqrt{(y+z)^3}}{2yz+zx+xy}=\frac{\sqrt{\frac{(b+c)^3}{bc}}}{2a+b+c}\ge \frac{2\sqrt{b+c}}{2a+b+c}=\frac{2\sqrt{1-a}}{a+1}$

$\frac{\sqrt{1-a}}{1+a}\ge \frac{3(1-a)\sqrt{6}}{8}\Leftrightarrow (1-a)(3a+1)^2(3a+5)\ge 0$

$\Rightarrow A\ge \frac{3\sqrt{6}}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi x=y=z=3.Vậy GTNN của A là $\frac{3\sqrt{6}}{2}$.

Cho $x,y,z>0$ thỏa $5(x^2+y^2+z^2)=6(xy+xz+yz)$. Tìm GTNN của $$P=(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$$

5(x+y+z)^2=16(xy+yz+zx).Chuẩn hoá x+y+z=4 thì có xy+yz+zx=5

$P=\frac{4(xy+yz+zx)}{xyz}=\frac{20}{xyz}$

Vậy chỉ cần tìm max của xyz.

$yz=5-x(y+z)=5-x(4-x)=x^2-4x+5\le \frac{(y+z)^2}{4}=\frac{(4-x)^2}{4}\Rightarrow \frac{2}{3}\le x \le 2$

$xyz=x(x^2-4x+5)=2+(x-1)^2(x-2)\le 2\Rightaroow P\ge 10$

Đẳng thức xảy ra khi x=2y=2z hoặc y=2z=2x hoặc z=2x=2y.

GTNN của P là 10.

Cho a,b,c dương thỏa a+b+c = 2. Tìm GTLN của

P =$\frac{ab}{\sqrt{2c+ab}}+\frac{bc}{\sqrt{2a+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{2b+ac}}$

2c+ab=c(a+b+c)+ab=(a+c)(b+c)

$P=\frac{ab}{\sqrt{(a+c)(b+c)}}+\frac{bc}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{ca}{\sqrt{(a+b)(b+c)}}\le \frac{1}{2}\sum (\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c})=\frac{1}{2}\sum (\frac{ab}{a+c}+\frac{bc}{a+c})=\frac{a+b+c}{2}=1$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{2}{3}$ hoặc $a=b=1,c=0$

Vậy GTLN của P là 1.

Cho các các số thực dương x, y. Tìm giá trị nhỏ nhất của: $P=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{x^2+y^2}+5ln(\sqrt{xy})$

$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}-\frac{2}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}-\frac{1}{2xy}=(x-y)^2(\frac{1}{x^2y^2}-\frac{1}{2xy(x^2+y^2)})\ge (x-y)^2(\frac{1}{x^2y^2}-\frac{1}{4x^2y^2})\ge0 \Leftrightarrow \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{x^2+y^2}\ge \frac{5}{2xy}$

$P\ge \frac{5}{2xy}+5\ln(\sqrt{xy})=\frac{5}{2xy}-\frac{5}{2}\ln (\frac{1}{xy}) $

Đặt $t=\frac{1}{xy}$. $P\ge \frac{5}{2}t-\frac{5}{2}\ln t\ge \frac{5}{2}$

Dấu = xảy ra khi x=y=1. GTNN của P là 5/2.