daicahuyvn

Cho $x,y,z>0$ thoả mãn $x^2+y^2+z^2=1$

Tìm GTLN của $P=\frac{xy}{1+z^2}+\frac{yz}{1+x^2}-\frac{y^3(x^3+z^3)}{24x^3z^3}$

$\frac{xy}{1+z^2}=\frac{xy}{x^2+y^2+2z^2}\le \frac{(x+y)^2}{4(x^2+z^2+y^2+z^2)}\le \frac{1}{4}(\frac{x^2}{x^2+z^2}+\frac{y^2}{y^2+z^2})\le \frac{x^2}{4(x^2+z^2)}+\frac{y}{8z}$

Tương tự: $\frac{yz}{1+x^2}\le \frac{z^2}{4(x^2+z^2)}+\frac{y}{8x}$

Suy ra $\frac{xy}{1+z^2}+\frac{yz}{1+x^2}\le \frac{1}{4}+\frac{1}{8}(\frac{y}{x}+\frac{y}{z})$

$\frac{y^3(x^3+z^3)}{x^3z^3}=\frac{y^3}{x^3}+\frac{y^3}{z^3}\ge \frac{1}{4}(\frac{y}{x}+\frac{y}{z})^3$

Đặt $t=\frac{y}{x}+\frac{y}{z}$.Ta có $P\le \frac{1}{4}+\frac{t}{8}-\frac{t^3}{96}=f(t)$

$f(t)\le \frac{5}{12}\Leftrightarrow \frac{t^3}{96}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}\ge \frac{t}{8}$(đúng theo AM-GM)

Đẳng thức xảy ra khi x=y=z.

Vậy GTLN của P là 5/12.

 

Bài 99:Cho $x;y>0$ và $3(x+y)^2=4(x^2+y^2+1)$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\frac{x+2y}{x^2+2y^2}+\frac{2x+y}{2x^2+y^2}$

 

Bài 100:Cho $x;y>0$ và $x+y\geq 1$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P= \frac{21x^2+1}{3y}+\frac{3y^3+1}{4x}$

 

99. $P\le \frac{3}{x+2y}+\frac{3}{2x+y}=\frac{9(x+y)}{2x^2+2y^2+5xy}=\frac{9(x+y)}{\frac{17}{4}(x+y)^2+\frac{1}{2}}$

$3(x+y)^2=4(x^2+y^2+1)\ge 2(x+y)^2+4\Rightarrow x+y\ge 2$

$\frac{9(x+y)}{\frac{17}{4}(x+y)^2+\frac{1}{2}}\le 2 \Leftrightarrow (x+y-2)(17x+17y-2)\ge 0$ (đúng)

Dấu = xảy ra khi x=y=1.Vậy max P=2

100. Bài này P nhỏ nhất khi x,y là nghiệm của pt bậc 5

Đề của page yêu toán học 

Cho x,y$\varepsilon (0;1]$,z$\geq 1$ thoả mãn điều kiện $24x^{2}y^{2}+10z(x^{3}z+y^{2}-xy)+z^{2}=0$

Tìm giá trị lớn nhất của N=$6\sqrt{10}(\frac{1}{\sqrt{x^{4}+1}}+\frac{1}{\sqrt{y^{4}+1}}+\frac{2z}{\sqrt{z^{2}+1}})-\frac{125x^{2}y^{2}}{z^{2}}$

Bạn xem lại đk đi

$24x^2y^2+10z(x^3+y^2-xy)+z^2=(5xy-z)^2+10z(x^3+y^2)-x^2y^2>10y^2-x^2y^2>0$

Bài tiếp 

Cho các số thực a,b thoả mãn $a^{3}+2b^{3}+ab=0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

            P=$a^{2}+b^{2}+a+b+ab$

$6P=(2a+b+1)^2+(2b+a+1)^2+(a-b)^2-2\ge -2 \Rightarrow P\ge \frac{-1}{3}$

Dấu = xảy ra khi a=b=-1/3 , thoả màn đk a^3+2b^3+ab=0.

Vậy GTNN của P là -1/3

Cho x,y,z là số dương thỏa mãn: xyz = 8. Tìm GTLN:

P = $\frac{1}{2x+y+6}+\frac{1}{2y+z+6}+\frac{1}{2z+x+6}$

Đặt x=2a^2, y=2b^2, z=2c^2 với a,b,c >0 thì abc=1 và 

$P=\frac{1}{2}(\frac{1}{2a^2+b^2+3}+\frac{1}{2b^2+c^2+3}+\frac{1}{2c^2+a^2+3})\le \frac{1}{2}(\frac{1}{2ab+2a+2}+\frac{1}{2bc+2b+2}+\frac{1}{2ca+2c+2})=\frac{1}{4}$

Dấu = xảy ra khi x=y=z=2. Vậy max P=0,25

Cho các số thực không âm thoả mãn $z\geq y\geq x$, xy+yz+zx> 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

$2\sqrt{\frac{x}{y+z}}+2\sqrt{\frac{y}{x+z}}+3\sqrt[3]{\frac{z}{x+y}}$.

 

 

Bài này cầng chứng minh bổ đề $\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}\geq \sqrt{\frac{x+y}{z}}$ nhưng mình không biết xuất phát từ đâu tìm ra bổ đề đó. Mong mọi người giúp !!!1

Cái này là dồn biến thôi mà , kiểu $f(x,y,z)\ge f(0,x+y,z)$

cho 3 số a,b,c dương và abc=1 

tìm max 

 

$\frac{\sqrt{a^{2}+1}+\sqrt{b^{2}+1}+\sqrt{c^{2}+1}}{a+b+c}$

 

em thấy cách chứng minh của đáp án đề thi thông qua việc xét hàm số 

 

$f(t)=\sqrt{t^{2}+1}-\sqrt{2t}+\frac{\sqrt{2}\ln t}2$

 

e thắc mắc là tại sao lại liên tưởng đến hàm này và có cách giải khác ko 

Cách đấy là dùng tiếp tuyến.Dự đoán max đạt được khi $a=b=c=1$. Nếu tìm được số k sao cho $\sqrt{x^2+1}\le x\sqrt{2}+k\ln x \forall x>0$ thì sẽ xong vì lắp $a,b,c$ vào BDT trên và cộng lại ta sẽ được đpcm.

Bây giờ ta sẽ tìm k. Đặt $f(x)=\sqrt{x^2+1}-x\sqrt{2}-klnx$ .Vì với $x>0,f(x)$ đạt max khi $x=1$ và f(x) liên tục với $x>0$ nên $f'(1)=0$

Ta có $f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-\sqrt{2}-\frac{k}{x}\Rightarrow f'(1)=-\frac{\sqrt{2}}{2}-k$ suy ra $k=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Tiếp theo ta sẽ cm $f(x)\le 0\forall x<0$.Xét $f''(x)=\frac{1}{(x^2+1)^\frac{3}{2}}-\frac{\sqrt{2}}{2x^2}$. Nếu chứng minh được f''(x)<0 $\forall x>0$ thì $f'(x)$ có nghiệm dương duy nhất  là $x=1$, do đó $f'(x)>0$ khi $0<x<1$ và $f'(x)<0$ khi $x>1$.Từ đó suy ra max của $f(x)$ đạt được tại 1.

$f''(x)<0 \Leftrightarrow (x^2+1)^3> 2x^4$ luôn đúng vì $(x^2+1)^3=x^6+3x^4+3x^2+1>2x^4 \forall x>0$ 

Cho ba số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a^3+8b^3+27c^3-18abc-1=0$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$P=a^2+4b^2+9c^2$$
P/s.Không biết có cần điều kiện $a,b,c$ không âm không nhỉ

Đặt $x=a,y=2b,z=3c$ thì $x^3+y^3+z^3-3xyz=1$ và $P=x^2+y^2+z^2$
$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)[\frac{3}{2}(x^2+y^2+z^2)-\frac{1}{2}(x+y+z)^2]$
Đặt $Q=x+y+z$ thì $Q^3-3PQ+2=0$ hay $P=\frac{Q^3+2}{3Q}$
Vì $3(x^2+y^2+z^2)\ge (x+y+z)^2$ nên $P\ge \frac{Q^2}{3}\Rightarrow \frac{Q^3+2}{3Q}\ge \frac{Q^2}{3}\Rightarrow \frac{2}{3Q}\ge 0 \Rightarrow Q>0$
Vì $Q>0$ nên $P=\frac{Q^3+2}{3Q}\ge 1$
$P=x^2+y^2+z^2=1$ thì $Q=x+y+z=1$ suy ra $x,y,z$ có $2$ số bằng $0$, số còn lại bằng $1$. Khi đó $(a,b,c)$ là $(1,0,0) \vee (0,\frac{1}{2},0) \vee (0,0,\frac{1}{3}) $
KL $\min P=1$

Bài 97 Cho các số không am thoả mãn a+b+c=1. Tìm giá trị nhỏ nhát của 

 F=$\frac{1}{(a-b)^{2})}+\frac{1}{(b-c)^{2})}+\frac{1}{(c-a)^{2})}$

Giả sử $c=min\{a,b,c\}$

$F\ge \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b+\frac{c}{2})^2}+\frac{1}{(a+\frac{c}{2})^2}$

Đặt $x=a+\frac{c}{2};y=b+\frac{c}{2}$ ta có $x+y=a+b+c=1$

và $F\ge \frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(1-x)^2}+\frac{1}{(1-2x)^2}=f(x)$

$f'(x)=\frac{-2}{x^3}+\frac{-2}{(x-1)^3}+\frac{-4}{(2x-1)^3}=0\Lètrightarrow (3x^2-3x+1)(6x^4-12x^3+12x^2-6x+1)=0$

$\Leftrightarrow 6x^4-12x^3+12x^2-6x+1=0\Leftrightarrow 6(x^2-x)^2+6(x^2-x)+1=0\Rightarrow x^2-x=\frac{-3+\sqrt{3}}{6}$(loại nghiệm kia vì $x^2-x\ge -\frac{1}{4}$)

$\Leftrightarrow x=\frac{1\pm \sqrt{-1+\frac{2}{\sqrt{3}}}}{2}$

Từ đó suy ra GTNN của F là $9+6\sqrt{3}$

GTNN đó đạt được khi (a,b,c) là hoán vị của $(\frac{1+ \sqrt{-1+\frac{2}{\sqrt{3}}}}{2};\frac{1- \sqrt{-1+\frac{2}{\sqrt{3}}}}{2};0)$ 

Ủng hộ hai bài

Bài 96 Cho các số thực không âm thoả mãn $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca+1}=\frac{ab+bc+ca}{2}$

Tìm giá trị lớn nhất của $P=2\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}-\left | a-b \right |-\left | b-c| \right-\left | c-a \right | $

Giả sử $a\ge b\ge c$

$2\sqrt{a^2+b^2+c^2}-2(a-c)$

Đặt s=ab+bc+ca, dễ thấy $s\ge1; a^2+b^2+c^2=\frac{s(s+1)}{2}; (a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=s(s-1)$

Lại có $(a-c)^2=(a-b+b-c)^2\ge (a-b)^2+(b-c)^2\Rightarrow 2(a-c)^2\ge \sum (b-c)^2=s(s-1)\Rightarrow 2|a-c|\ge\sqrt{2s(s-1)}$

Suy ra $P\le \sqrt{2s(s+1)}-\sqrt{2s(s-1)}$

Dễ dàng cm hàm số trên nghịch biến khi $s\ge 1$, từ đó suy ra P\le 2

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Vậy GTLN của P là 2.

Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $a+b+c=1$ và $ab+bc+ca>0$

Tìm GTNN của $P=\frac{2}{\left | a-b \right |}+\frac{2}{\left | b-c \right |}+\frac{2}{\left | c-a \right |}+\frac{5}{\sqrt{ab+bc+ca}}$

Ta có: $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)=2(a+b+c)^2-6(ab+bc+ca)\Rightarrow ab+bc+ca=\frac{2-(a-b)^2-(b-c)^2-(c-a)^2}{6}$

Giả sử $a>b>c$.Đặt $x=a-b, y=b-c$ có $a-c=x+y;x,y>0$

Suy ra $ab+ba+ca=\frac{2-x^2-y^2-(x+y)^2}{6}=\frac{1-x^2-y^2-xy}{3}$

Do đó $P=\frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{2}{x+y}+\frac{5\sqrt3}{\sqrt{1-x^2-y^2-xy}}$

Sử dụng các BĐT $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{4}{x+y}$ và $4(x^2+y^2+xy)\ge 3(x+y)^2$ ta được

$P\ge \frac{10}{x+y}+\frac{5\sqrt3}{\sqrt{1-\frac{3}{4}(x+y)^2}}=\frac{5}{\frac{x+y}{2}}+\frac{5}{\sqrt{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}(x+y)^2}}$

$\ge \frac{20}{\frac{x+y}{2}+\sqrt{\frac{1}{3}-(\frac{x+y}{2})^2}}\ge \frac{20}{\sqrt{\frac{2}{3}}}=10\sqrt{6}$

Dấu = đạt được khi $a=\frac{1}{3}+\frac{1}{\sqrt{6}},b=\frac{1}{3}, c=\frac{1}{3}-\frac{1}{\sqrt{6}}$

Vậy GTNN của P là $10\sqrt{6}$

cho các số thực không âm x,y thỏa 
$\left\{\begin{matrix} 2x+y \leqslant 6\\ x+y \leqslant 4 \end{matrix}\right.$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$P= x^2-(y-6)^{2}$

 

nguồn: Đề thi thử đại học môn toán lần 2 (4/5/2014) của THPT chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai

Dễ thấy $y\le 6$

$P\le (4-y)^2-(y-6)^2=4y-20\le 16-20=-4$

Dấu = xảy ra khi x=0,y=4

không cần dùng đến $2x+y\le 6$

Bài 1  http://diendantoanho...ọc-2014/page-12 #237

Bài 2

Dự đoán P min khi a=2, b=1

$P=a+b+\frac{6}{ab}\ge 2\sqrt{(a+b).\frac{6}{ab}}=2\sqrt{6}.\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$

Dễ thấy $a^2\ge 4a-4$ và $16b^3-18b^2\ge 12b-14$

Do đó $0=a^2-a+16b^3-18b^2\ge 3a-4+12b-14\Rightarrow a+4b\le 6$

Suy ra $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a}+\frac{4}{4b}\ge \frac{9}{a+4b}\ge \frac{3}{2}$

$\Rightarrow P\ge 6$

cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $3a+57b+7c=3abc+\frac{100}{a}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=a+b+c

$57P=57a+57b+57c=54a+50c+3abc+\frac{100}{a}\ge 54a+\frac{100}{a}\ge 2\sqrt{54a.\frac{100}{a}}=60\sqrt{6}$

$\Rightarrow P\ge \frac{20\sqrt{6}}{19} \approx 2,57$

Đẳng thức xảy ra khi $a=\frac{5\sqrt{6}}{9}, b=\frac{85\sqrt{6}}{171}, c=0$

Tối qua dùng Lagrange giải trâu ra điểm cực trị là (5, 5/3, 5); kiểm tra lại thì ko phải min cũng ko phải max.Cuối cùng nghĩ ra cách này

Bài 95. Cho $a,b,c>0;a\leq b\leq 3\leq c;c\geq b+1;a+b\geq c$. Tìm min $Q=\frac{2ab+a+b+c(ab-1)}{(a+1)(b+1)(c+1)}$

Bài này là đề thi vào 10 KHTN năm 2012 vòng 1

Rút gọn $Q=1-\frac{1}{1+a}-\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge 1-\frac{1}{1+a}-\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+a+b}=\frac{ab}{a+b+1}(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1})$

Ta có: $a+b\ge c\ge 3; a+b\ge c\ge b+1\Rightarrow b\ge a \ge 1$

Đặt s=a+b, p=ab

$(a-1)(b-1)\ge0 \Rightarrow s\le p+1$ và $p=(1+a-1)(1+b-1)=1+a+b-2+(a-1)(b-1)\ge 2$

Do đó $Q\ge \frac{ab(a+b+2)}{(a+b+1)(a+b+ab+1)}=\frac{p(s+2)}{(s+1)(s+p+1)}\ge \frac{p(s+2)}{2(s+1)(p+1)}$

Dự đoán min Q đạt được khi a=1,b=2,c=3

Ta sẽ Cm $\frac{p(s+2)}{(p+1)(s+1)}\ge \frac{5}{6}$ hay $p(s+7)\ge 5(s+1)$

Lại có $p(s+7)\ge 10p$ và $5(s+1)\le 5(p+2)$, vì vậy chỉ cần CM $10p\ge 5(p+2)\Leftrightarrow p\ge 2$(đúng)

Vậy min Q=5/12