Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


funcalys

Đăng ký: 03-06-2011
Offline Đăng nhập: 22-02-2015 - 19:02
****-

#531022 Find a strictly increasing function f such that $f'(1)=0$

Gửi bởi funcalys trong 29-10-2014 - 07:03

Let $f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2+x$
Then its derivative vanishes at x=1 and remains positive elsewhere. 




#503177 $\bigl(\begin{smallmatrix} 0 & b\\ a+b...

Gửi bởi funcalys trong 01-06-2014 - 09:49

À xin lỗi bạn, hqua mình vội nên nhầm qua toán tử tuyến tính

Để c/m không gian con thì bn chứng minh nó đóng với phép + và nhân vô hướng

Tức là $u+v\in M$ và $ku\in M,k\in K$

bạn nhầm qua tổng các không gian rồi, ở đây, ta chỉ cần xét vector đơn lẻ (ở đây là ma trận)

Cụ thể:
$\begin{pmatrix}0 &b \\ a+b &0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0&c \\ d+c & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 &b+c \\ a+d+b+c &0 \end{pmatrix}\in M$
$k\begin{pmatrix}0 &b \\ a+b &0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&kb \\ ka+kb &0 \end{pmatrix}\in M$
Và hiển nhiên $0\in M$
Vậy M là không gian con của $M_{22}(\mathbb{K})$
b/ Bạn viết hơi tối nghĩa:
Ta có
TÍnh độc lập tuyến tính
Giả sử $a,b\neq 0$
$\alpha\begin{pmatrix}0 &b \\ b &0 \end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}0 &0 \\ c &0 \end{pmatrix}=0\iff \alpha b=0\wedge \alpha b+\beta c=0$
Ta có $\alpha=0\Rightarrow\beta=0$

Vậy 2 vector độc lập tuyến  tính

Mọi vector đều biểu diễn được dưới tổ hợp tuyến tính của 2 vector này:

Điều này dễ thấy

Đến đây bạn kết luận được r.

 




#503106 $\bigl(\begin{smallmatrix} 0 & b\\ a+b...

Gửi bởi funcalys trong 31-05-2014 - 22:36

Câu a chứng minh $\alpha A+\beta B\in M$ với $A,B\in M$

Câu b

Một cơ sở cho M là $\left \{ \begin{pmatrix}0 &a \\ a &0 \end{pmatrix},\left (\begin{pmatrix}0 &0 \\ b &0\end{pmatrix}  \right ) \right \}$
(kiểm tra tính độc lập tuyến tính và mọi phần tử M đều biểu diễn được dưới tổ hợp tuyến tính các phần tử trong tập cơ sở)
dimM=2



#502943 Ma trận lũy linh

Gửi bởi funcalys trong 31-05-2014 - 11:31

À, phần đó được đề cập trong sách của thầy Nguyễn Hữu Việt Hưng ấy bạn, nằm trước phần dạng chuẩn tắc Jordan.

Ở đây có lẽ bạn không cần dùng đến định nghĩa và biến đổi các ma trận mà chỉ cần lập luận như trên.

Ta có định lí rằng nếu $A\in M_n(\mathbb{R})$ thì $A\approx D$ với D là một ma trận tam giác. Do A và D đồng dạng nên $\lambda_A=\lambda_D=0$ hay các phần tử trên đường chéo của ma trận này đều bằng 0.

0




#502900 Ma trận lũy linh

Gửi bởi funcalys trong 31-05-2014 - 09:03

Do A lũy linh nên ta có phân tích V thành tổng trực tiếp các không gian con cyclic đối với toán tử tuyến tính biểu diễn A:

Vậy A, đối với một phân tích nào đó, có dạng:

$\begin{pmatrix}M_1 &  &  &0 \\  &M_2  &  & \\ &  &...  & \\  0& &  &M_n \end{pmatrix}$
Với khối $M_j$ có dạng $\begin{pmatrix}0 &  &  &0 \\ 1 & 0 &  & \\  & ... &...  & \\ 0 &  &1  &0 \end{pmatrix}$
Và tổng các cấp của các khối bằng n
Vậy ta dễ có được $\det(A-\lambda I_n)=(-1)^n\lambda^n$
Do A lũy linh nên A chỉ có giá trị riêng duy nhất là 0, mà ta có mọi ma trận thực đều đồng dạng với một ma trận tam giác nào đó. Để 2 ma trận này đồng dạng bắt buộc D phải có giá trị riêng bằng 0 hay các phần tử trên đường chéo chính của nó bằng 0.



#496434 $\int_{-\infty }^{0}xe^{2x}dx$

Gửi bởi funcalys trong 01-05-2014 - 19:34

Sử dụng L'hôpital là đc

$\lim te^{2t}=\frac{1}{2}\lim \frac{2t}{e^{-2t}}=\frac{1}{2}\lim \frac{\frac{\partial }{\partial 2t}2t}{\frac{\partial }{\partial 2t} e^{-2t}}=\lim_{n\to -\infty}\frac{-1}{2}e^{2t}=0$




#492608 hỏi về vành và vành con

Gửi bởi funcalys trong 13-04-2014 - 09:33

Vành con là một tập con của vành đang xét sao cho nó vẫn giữ cấu trúc của một vành nên bản thân nó là một vành với các phép toán của vành đang xét.




#489972 căn nguyên thuỷ bậc n của đơn vị

Gửi bởi funcalys trong 01-04-2014 - 13:25

Bạn giải nghiệm của đa thức ra, được $F=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5},\frac{-1}{2}+i \frac{\sqrt 3}{2})$

Ta có đa thức tối tiểu của $\frac{-1}{2}+i \frac{\sqrt 3}{2}$ là $x^2+x+1$

đa thức tối tiểu của $\sqrt[3]{5}$ là $x^3-5$

Áp dụng quy tắc tháp, ta có;

$\left [ \mathbb{Q}(\sqrt[3]{5},\frac{-1}{2}+i \frac{\sqrt 3}{2}):\mathbb{Q} \right ]=\left [ \mathbb{Q}(\sqrt[3]{5},\frac{-1}{2}+i \frac{\sqrt 3}{2}):\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5}) \right ]\left [\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5}):\mathbb{Q}  \right ]=6$




#485789 Tìm sách về độ đo và tích phân Lebesgue

Gửi bởi funcalys trong 04-03-2014 - 12:57

Bắt đầu thì nên đọc Elements of Measure and Integration (k biết mình nhớ đúng tên k) của Bartles

Nâng cao theo mình thấy có cuốn của Folland và Royden

Còn để tham khảo là chính thì có bộ 2 volumes của Bogachev

Những cuốn n` đều có trên libgen hoặc bookfi :)




#481220 Ứng dụng của Weierestrass Approximation Theorem

Gửi bởi funcalys trong 05-02-2014 - 20:06

Theo định lí xấp xỉ đa thức của Wierstrass, ta có:

$\forall \varepsilon >0, \exists N: \forall n\geq N\Rightarrow \left \| P_n(x)-f \right \|< \varepsilon $

Do mỗi đa thức đều biểu diễn được dưới dạng tổng các đơn thức nên

$\int_{0}^{1}f(x)P_n(x)dx=\sum_{j=0}^{k_n}\int_{0}^{1}f(x)x^jdx=0\to\int_{0}^{1}f^2dx\Rightarrow \int_{0}^{1}f^2dx=0$

Đến đây thì dễ thấy r.

 




#480489 $x_{n}$= $\Sigma 3^{k-1}sin^{3...

Gửi bởi funcalys trong 02-02-2014 - 20:44

1. $\lim x_n= \sum_1^{\infty}3^{k-1}\sin^3{\frac{\alpha}{3^k}}=\frac{1}{4}\sum_1^{\infty}\left ( 3^k\sin\frac{\alpha}{3^k}-3^{k-1}\sin {\frac{\alpha}{3^{k-1}}}  \right )$

$=\frac{1}{4}\sum_1^{\infty} \left (3^k\sin\frac{\alpha}{3^k}-\sin {\alpha}  \right )=\frac{1}{4}(\alpha-\sin \alpha)$

2. Bài 2 L'Hopital 2 lần là đc.




#476607 Xét sự hội tụ của chuỗi $\sum_{n=2}^{\infty...

Gửi bởi funcalys trong 10-01-2014 - 22:47

Bạn giải thích cụ thể hơn được không? 

 

Mình xét giới hạn của tỉ số $\lim_{n \to \infty} \dfrac{\frac{1}{n\ln n}}{\frac{1}{ln 2^n}}=\lim_{n \to \infty} \dfrac{\ln 2}{\ln n}=0$, vậy thì việc $\sum \dfrac{1}{\ln 2^n}$ phân kì không kết được sự phân kì của chuỗi ban đầu :(

Mình xét theo tiêu chuẩn tụ Cauchy ấy bạn, sự phân kì của chuỗi $\sum a_n$ tương đương với sự hội tụ chuỗi $\sum 2^ka_{2^k}$




#476284 Xét sự hội tụ của chuỗi $\sum_{n=2}^{\infty...

Gửi bởi funcalys trong 09-01-2014 - 13:27

Ta có sự hội tụ của chuỗi trên tương đương với sự hội tụ của $\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{\ln 2^k}$ mà chuỗi này phân kì nên chuỗi đề bài cho phân kì.




#473404 CMR: Hệ $S=\left \{ e^{x}, e^{2x}, e^{3x} \right \}...

Gửi bởi funcalys trong 28-12-2013 - 12:53

Để ý rằng $e^x$ luôn dương với $x\in \mathbb{R}$




#472506 Chứng minh 1 tập hợp là 1 tập compact

Gửi bởi funcalys trong 23-12-2013 - 19:45

Ta có $A=[0,5]\times [0,4]$, cả 2 tập đều compact trong $R^2$ nên A compact.