Nguyễn Hữu Huy

ĐỀ THI HSG TOÁN TỈNH HÀ TĨNH NĂM 2011-2012

Bài 1a) Rút gọn biểu thức $\sqrt{5}- \sqrt{3- \sqrt{29 - 12\sqrt{5}}}$
b) Tìm các số nguyên $a,b$ sao cho $\frac{3}{a+b \sqrt{3}}- \frac{2}{a-b \sqrt{3}}=7-20 \sqrt{3}$

Bài 2a) Giải phương trình $x^2-x+12 \sqrt{1-x}=36$
b) Giải hệ phương trình
\[
\left\{ \begin{array}{l}
(x + 1)(y + 1) = 10 \\
(\sqrt x + \sqrt y )(\sqrt {xy} - 1) = 3 \\
\end{array} \right.
\]

Sao ko ai dọn 1 và 2 vậy ! Thôi thì để tiểu đệ chém thử nhá !

b)
ẹc ! Quy đồng tấn công hồi ra
$gt \Leftrightarrow a - 5b\sqrt{3} = (7 - 20\sqrt{3})(a^2 - 3b^2) \Leftrightarrow a - 5b\sqrt{3} = 7(a^2 - 3b^2) + 20\sqrt{3}(a^2 - 3b^2)$

từ đây dễ thấy
$\left\{\begin{a = 7(a^2 - 3b^2) }\\end{5b\sqrt{3} = 20\sqrt{3}(a^2 - 3b^2)}\right.$

Từ đây rút ra $\frac{a}{b} = \dfrac{7}{4}$
Thế vào là ổn !


2)
Bài PT thì em dùng liên hợp! Ai có cách nào tự nhiên hơn ko !?!

Hệ đưa về hệ đối xứng :

Bài 2:
$\left\{\begin{array}{l} \sqrt{\frac{2x}{y}}+\sqrt{\frac{2y}{x}} = 3\\ x-y+xy = 3 \end{array}\right.$
Bài 3:
$\left\{\begin{array}{l} (4x^{2}+1)x + (y-3)\sqrt{5-2y}=0 \\ 3x^{2}+4y^{2} = 4\end{array}\right.$

Kém cỏi nên chỉ có khả năng chém được bài 2 và 3
Bài 2 :

$x - y + xy = 3 \Rightarrow x( y +1) = y + 3 \Rightarrow x = \dfrac{y +3}{y +1}$

Thế vào PT phía trên :

$\sqrt{2(y +3)}{y(y +1)} + \sqrt{2y(y +1)}{y +3} = 3$

Bình phương lên ; đặt ẩn ta sẽ có PT $2t - \frac{2}{t} = 5$
Giải ra là ổn

Bài 3)
$\left\{\begin{array}{l} (4x^{2}+1)x + (y-3)\sqrt{5-2y}=0 \\ 3x^{2}+4y^{2} = 4\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} (4x^{2}+1)2x = (6 - 2y)\sqrt{5-2y}\\ 3x^{2}+4y^{2} = 4\end{array}\right.$

Đặt $2x = a$ ; $\sqrt{5 - 2y} = b$
Ta sẽ có
$a(a^2 + 1) = b(b^2 +1)$

Tới đây chắc đã ra ! Giải PT trên rồi thế vào hệ là đc

Topic này dừng được 1 tuần rồi
Bài 288: Cho 2 số thực x,y ( x khác 0) thỏa $8x^2+y^2+\frac{1}{4x^2}=4$
Xác định x,y để tích xy đạt GTNN
Đề thi HSG lớp 9 tính Thừa Thiên Huế
Bài 289: Cho các số thực a,b,c thuộc $(0;2)$. CMR có ít nhất 1 trong 3 bất đẳng thức sau là sai
$a(2-b)>1;b(2-c)>1;c(2-a)>1$

Bài 289 :
Từ gt suy ra
$abc(2 -a)(2 - b)(2 -c) > 1$

$a(2 - a) = -a^2 + 2a < 1$

Nhân 3 vế vào thì thấy liền điều vô lý => đpcm

Bài 287: Cho x,y,z là các số thực dương xyz=1
CMR: $\frac{x}{x^2+2}+\frac{y}{y^2+2}+\frac{z}{z^2+2}\leq 1$

Gọi ẩn !
$x = \dfrac{a}{b}$

$y = \dfrac{b}{c}$

$z = \dfrac{c}{a}$

$VT \Leftrightarrow \sum \dfrac{ab}{a^2 + 2b^2} \leq \sum \dfrac{ab}{2ab + b^2} = \dfrac{3}{2} - \sum \dfrac{b}{2(2a + b)} = \dfrac{3}{2} - \sum \dfrac{b^2}{4ab + 2b^2} \leq \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2} = 1$

Cho các số thực$ x,y$ thỏa:
$(x+\sqrt{1+y^{2}})(y+\sqrt{1+x^{2}})=1$
C/m:$(x+\sqrt{1+x^{2}})(y+\sqrt{1+y^{2}})=1$

$Gt \Leftrightarrow \dfrac{x^2 - y^2 -1}{x - \sqrt{1 + y^2}} . \dfrac{y^2 - x^2 -1}{y - \sqrt{1 + x^2}} = 1$

$\Leftrightarrow 1 - (x^2 - y^2)^2 = xy - x.\sqrt{1 + x^2} - y .\sqrt{1 + y^2} + \sqrt{(1 + x^2)(1 + y^2)}$

$\Leftrightarrow 1 - (x^2 - y^2)^2 = 2(xy + \sqrt{(1 + x^2)(1 + y^2)}) - (x+\sqrt{1+y^{2}})(y+\sqrt{1+x^{2}}) $

$\Leftrightarrow 2(1 - xy) - (x^2 - y^2)^2 = 2\sqrt{(1 + x^2)(1 + y^2)} \leq 2(1 - xy)$

Bình phương 2 vế lên ta sẽ có : $1 + x^2y^2 + x^2 + y^2 \leq x^2y^2 - 2xy + 1$
$ \Leftrightarrow (x + y)^2 \leq 0 \Rightarrow x + y = 0 \Rightarrow x = -y$

tới đây chắc ra ùi chớ ! thay vào xem sao !?

Giải Pt : $\sqrt[5]{27}x^{10}-5x^6+\sqrt[5]{864}=0$

Bài này "hiền" quá

$PT \Leftrightarrow \sqrt[5]{27}x^{10} + 2\sqrt[5]{27} = 5x^6$

Tới đây ta sẽ sử dụng BĐT AM- GM
X
Theo AM - GM ta sẽ có :

$\dfrac{x^{10}}{\sqrt[5]{3^2}} + \dfrac{x^{10}}{\sqrt[5]{3^2}} + \dfrac{x^{10}}{\sqrt[5]{3^2}} + \sqrt[5]{27} + \sqrt[5]{27} \geq 5x^6$

$\Leftrightarrow VT \geq VP$

$\Rightarrow$ Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x^{10} = \sqrt[5]{3^2}. \sqrt[5]{27} = \sqrt[5]{3^5} = 3$
$\Rightarrow x = \sqrt[10]{3}$ Hoặc $x = -\sqrt[10]{3}$

Kết quả:
D-B=8h
E=6
F=0
S=58

Bài 262: Cho a,b,c là 3 số thực dương thay đổi thỏa mãn a+b+c=3
CMR: $$A = \frac{{a^3 }}{{b(2c + a)}} + \frac{{b^3 }}{{c(2a + b)}} + \frac{{c^3 }}{{a(2b + c)}} \ge 1$$

Bài 262: Cho a,b,c là 3 số thực dương thay đổi thỏa mãn a+b+c=3
CMR: $$A = \frac{{a^3 }}{{b(2c + a)}} + \frac{{b^3 }}{{c(2a + b)}} + \frac{{c^3 }}{{a(2b + c)}} \ge 1$$

Áp dụng BĐT holer ta sẽ có

$A[ b + c + a][(2c + a) + (2a + b) + (2b + c)] \geq (a + b + c)^3$

Thế a + b +c = 3 vào là đc !

___
Bài toán này không cần sử dụng tới kiến thức cao siêu đâu!!

Như chúng ra đã biết , tự nhiên luôn tạo ra những điều thú vị và bất ngờ
Nó luôn chắt lọc những cái gì tinh túy nhất , tốt nhất
Và 1 dẫn chứng mà mình tìm ra đc trong những điều thú vị và bất ngờ đó
Chính là :
Mối liên hệ giữa quang học (đối với gương phẳng) và cực trị hình học

Đầu tiên là t/c :
KHi chiếu 1 tia sáng đi từ 1 điểm S tới gương phẳng AB , sao cho tia phản xạ nhận đc đi qua điểm O cho trước
Gọi hình chiếu của S là K
Gọi C là giao OK
Thì ta luôn nhận đc chu vi tam giác AOC la nhỏ nhất (*)

VD1 :
Cho 2 điểm A và B nằm trên 1 nửa mặt phẳng bờ đg thẳng d
Tìm 1 điểm C thuộc d sao cho AC + BC đạt giá trị nhỏ nhất !

Giải : Rất đơn giản nếu như ta áp dụng 1 số định lí quang học
Xem d như gương phẳng
Hãy vẽ 1 tia sáng đi từ A tới d và phản xạ tới B
Điều này quá dễ dàng
Ta lấy ảnh của A (qua D)
Sao đó nối ảnh của A vs B ta sẽ tìm đc điểm D

VD2 :
Cho điểm M nằm trong tam giác ABC
Gọi N ; P ; Q là các điểm thuộc AB ; BC ; AC
Hãy tìm Min của chu vi tứ giác MNPQ

Giải :
Xem các cạnh AB . BC . CA là các gương phẳng
Vậy áp dụng tính chất (*) ta có
Vẽ ảnh của M qua AB là K
Vẽ ảnh của M qua AC là H
Lấy ảnh của H qua BC là R
Nối KR cắt AB ; BC lần lượt ở E ; F
HE cắt AC ở T
Vậy E ; F ; T là những điểm cần tìm (trùng với N ; P ; Q)

Mở rộng ra cho M nằm trong tứ giác ABCD ;
Tìm các điểm K ; H ; P ; Q thuộc các cạnh AB ; BC ; CD ; AD sao cho chu vi tứ giác KHPQ là nhỏ nhất !
Và liệu với đa giác n cạnh ta có thể giải đc hay ko ?! Hãy cùng suy ngẫm nhé

Và còn nhiều ứng dụng hơn nữa ! Mong các bạn cùng tham gia đóng góp ý kiến và ý tưởng của mình để cùng nhau chia sẻ kinh nghiệm !

Chú lớp 8 mà khiếp!
Bài 20
Cho các số$a,b,c \geq 0$ .CMR:
$(\dfrac{a}{a+b})^3+(\dfrac{b}{c+b})^3+(\dfrac{c}{a+c})^3 \geq \dfrac{3}{8}$

Nếu như em ko nhầm thìi
Giả sử $\dfrac{a}{a + b}$ $\dfrac{b}{ b + c}$ $\dfrac{c}{a + c}$
Áp dụng bdt chebyshev ta có

$(\dfrac{a}{b +c})^3 + (\dfrac{b}{b +c})^3 + (\dfrac{c}{a +c})^3$ $\dfrac{1}{3}.(\dfrac{a}{b +c} + \dfrac{b}{ b + c} + \dfrac{c}{a + c}).[(\dfrac{a}{b +c})^2 + (\dfrac{b}{b + c})^2 + (\dfrac{c}{c +a})^2) ] $ $ \dfrac{1}{2}[ (\dfrac{a}{a + b})^2 + (\dfrac{b}{b + c})^2 + (\dfrac{c}{a + c})^2 ] $ $ \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}.(\dfrac{a}{a + b} + \dfrac{b}{ b + c} + \dfrac{c}{a + c})(\dfrac{a}{a + b} + \dfrac{b}{ b + c} + \dfrac{c}{a + c}) $ $\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{3}{2}.\dfrac{3}{2}$ = $\dfrac{3}{8}$

$Because \dfrac{a}{a + b} + \dfrac{b}{ b + c} + \dfrac{c}{a + c}$ $\dfrac{3}{2}$
Cái ni em ko chắc lắm ! Ai chứng minh hộ em cái BĐT phụ này với ạ ! Hình như bđt này sai thì phỉa ! Lỡ có sai anh chị thông cảm nhé !

Típ!
Bài 19
$\left{a;b;c>0\\{a+b+c=1} .Prove \sum_{cyc}\dfrac{a}{\sqrt[3]{a+2b}} \geq1$

Đặt $A = \sum_{cyc}\dfrac{a}{\sqrt[3]{a+2b}}$
Ta có
$ A^3.[a(a + 2b) + b(b + 2c) + c(c + 2a)] = A^3 $
Do
$a(a + 2b) + b(b + 2c) + c(c + 2a) = (a + b + c)^2 = 1$

Áp dụng bđt holder ta có :

$ A^3.[a(a + 2b) + b(b + 2c) + c(c + 2a)$ $(a + b + c)^4 = 1$

Kết hợp với A 1 (đpcm)

Típ nè!
Bài 18
Suppose $a,b,c\in \mathbb R^+$. Prove that :$(\dfrac ab+\dfrac bc+\dfrac ca)^2\geq (a+b+c)(\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c)$
p\s: Bài này không khó lém!

hihiiii! Chụp đc bài ni !

$(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a})^2$ $(a + b + c)(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c})$

$\dfrac{a^2}{b^2} + \dfrac{b^2}{c^2} + \dfrac{c^2}{a^2} + \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{b}$ $3 + \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a}$

Dễ dàng chứng minh đc

$\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{b}$ $3$

$ (\dfrac{a^2}{b^2} + 1) + (\dfrac{b^2}{c^2} + 1) + (\dfrac{c^2}{a^2} + 1)$ $2(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a})$

mà $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a}$ $3$

$\dfrac{a^2}{b^2} + \dfrac{b^2}{c^2} + \dfrac{c^2}{a^2}$ $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a}$