Tìm kiếm
Bí mật
Bài toán: Tính toán 2 tổng sau:
- $S_1=\sum_{k=1}^n k^n{n\choose k}$
- $S_2=\sum_{k=1}^n k^k{n\choose k}$
Ký hiệu ${n\choose k}=\complement_n^k$ là số tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử
1,2 .Nhận xét
2/ $(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}.a^{n-k}.b^{k}$
chọn $\left\{\begin{matrix} a=1 & \\ b=k & \end{matrix}\right.$
ta có
$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}.k^{k}=(k+1)^{k}$
$\Rightarrow \sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}.k^{k}=(k+1)^{k}-1$
1/ ta có $\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}.k^{n}=\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}.k^{k}.k^{n-k}$
Mà theo câu 2 $\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}.k^{k}=(k+1)^{k}-1$
$\Rightarrow \sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}.k^{n}=((k+1)^{k}-1).k^{n-k}$
