Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Le Quoc Tung

Đăng ký: 11-06-2011
Offline Đăng nhập: 03-06-2014 - 22:12
-----

#315707 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$P=\frac{1}{\sqrt[3]...

Gửi bởi Le Quoc Tung trong 10-05-2012 - 22:35

Sử dụng kết quả quen thuộc sau $$8=(x+y)(x+z)(y+z)\geq \frac{8}{9}(x+y+z)(xz+yz+xz)\Leftrightarrow \frac{9}{x+y+z}\geq xy+xz+yz$$
Suy ra:$\frac{9}{\sqrt{xy}+\sqrt{xz}+\sqrt{yz}}\geq \frac{9}{x+y+z}\geq xy+xz+yz$

$$\frac{1}{x+2y} + \frac{1}{y+2z} + \frac{1}{z+2x}=\frac{z}{xz+2yz}+\frac{x}{xy+2xz}+\frac{y}{yz+2yx}\geq \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2}{3(xy+xz+yz)}\geq$$

$$\geq \frac{3(\sqrt{xy}+\sqrt{xz}+\sqrt{yz})}{3(xy+xz+yz)}\geq \frac{(\sqrt{xy}+\sqrt{xz}+\sqrt{yz})^2}{9}\geq \sqrt[3]{xyz}$$
$P=\sqrt[3]{xyz}+\frac{1}{\sqrt[3]{xyz}}\geq 2$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1 \,\,\,\,\,\,\, \blacksquare$

Dòng thuứ 2 từ dưới lên có sao không bạn
Làm sao mà kết luận $\frac{(\sum \sqrt{xy})^{2}}{9}\geq \sqrt[3]{xyz}$


#313704 Cho a,b,c>0.CM$\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}\le...

Gửi bởi Le Quoc Tung trong 01-05-2012 - 15:12

Vẽ các tia Ox, Oy, Oz với góc giữa Ox, Oy là ${60^0}$, góc giữa Oy, Oz là ${60^0}$. Trên Ox, Oy, Oz lần lượt lấy các điểm A, B, C sao cho OA = a, OB = b, OC = c. Ta có:

$\begin{array}{l}
AB = \sqrt {{a^2} - ab + {b^2}} \\
BC = \sqrt {{b^2} - bc + {c^2}} \\
CA = \sqrt {{c^2} + ca + {a^2}} \\
\end{array}$

Bất đẳng thức trên chính là bất đẳng thức tam giác.

Nói như bạn thì cái đề sai rồi còn gì nữa


#309974 Giải HPT:$\left\{ \begin{matrix} x^{4}+2x^{3}y+x^{2}y^{2}...

Gửi bởi Le Quoc Tung trong 12-04-2012 - 21:49

Bài này ta sẽ cộng hai pt theo vế và thêm vào $x^{2}+1$
Khi đó ta suy ra:
$(x^{2}+xy+1)^{2}=(x+4)^{2}$
Xét trường hợp $x^{2}+xy+1=x+4$
Ta có hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} x^{2}+2xy=6x+6\\ x^{2}+xy+1=x+4 \end{matrix}\right.$
Nhân 2 phương trình 2 và trừ theo vế ta có:$x^{2}+4x+4=0$
Vậy chỉ có 1 nghiệm là x=1, thay vào ta giải được y=2,5
Tương tự với trường hợp còn lại


#309971 Gỉai phương trình: $13\sqrt{x - x^{2}} + 9\sqrt{x + x^{2}} = 0...

Gửi bởi Le Quoc Tung trong 12-04-2012 - 21:36

Phương trình này có 1 nghiệm duy nhất x=0 vì rõ ràng hai hạng tử đều lớn hơn hoặc bằng không


#309079 Đề thi OLYMPIC 30/4 LỚP 10 NĂM HỌC 2011-2012

Gửi bởi Le Quoc Tung trong 08-04-2012 - 22:06

Bài số học thấy cũng hài hài.
Theo giả thiết bài toán: $2^{p}\equiv 3^{p}$ (mod $x^{y+1}$)(1)
Nếu giả sử x chia hết cho p.
Theo định lý Fecma ta có 5 chia hết cho p dẫn đến p=5. Thay vào ta thấy ngay vô lý.
Nếu x không chia hết cho p.(2)
(1) (2) suy ra $2\equiv -3$ (mod $x^{y+1}$)
Lại kéo theo 5 chia hết cho p. Thay vào thấy vô lý luôn
Vậy bài toán luôn luôn không có nghiệm
  • LNH yêu thích


#309068 Đề thi OLYMPIC 30/4 LỚP 10 NĂM HỌC 2011-2012

Gửi bởi Le Quoc Tung trong 08-04-2012 - 21:46

Câu 1: Dùng phân tích $x^{4}+4=\left ( x^{2}-2x+2 \right )\left ( x^{2}+2x+2 \right )$
Sau đó đặt các ẩn phụ là $\sqrt{}\left ( x^{2}-2x+2 \right )=a$ và $\sqrt{}\left ( x^{2}+2x+2 \right )=b$
Ta có phương trình $a^{2}-7ab+b^{2}=0$
Giải phương trình này rồi thế x vào là xong


#308922 Đề thi HSG lớp 10 tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2011-2012

Gửi bởi Le Quoc Tung trong 08-04-2012 - 09:45

Đề này cũng rất hay. Mình chém vài bài đã.
Bài 1: Bài này thì dễ rồi. Cauchy cho VT của phương trình 1 rồi vận dụng ĐK ở phương trình 2.
Từ đây, hệ lại quy về trở thành $\left\{\begin{matrix} (2x+3)^{2}(4x-1)=(2y+3)^{2}(4y-1)\\ x+y=4xy \end{matrix}\right.$
Hai vế của phương trình 1 trên rõ ràng là đồng biến theo x,y nên x=y.
Thay vào pt dưới là xong


#307483 Đề thi chọn đội tuyển lớp 10 trường THPT chuyên Lê Quí Đôn Quảng Trị

Gửi bởi Le Quoc Tung trong 01-04-2012 - 11:13

Đề thi chọn đội tuyển lớp 10 trường THPT chuyên Lê Quí Đôn Quảng Trị
$$*******$$
Câu 1: Giải hệ phương trình sau:
$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y=\frac{2}{y}\\ y^{2}+x=\frac{2}{x} \end{matrix}\right.$

Câu 2: Với a,b,c thuộc đoạn $\left [ 0;1 \right ]$. Chứng minh:
$a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+1$

Câu 3: Cho tam giác $AB$C nội tiếp đường tròn O. D là một điểm nằm ở trên cung Bc không chứa A. Lấy P, Q lần lượt là điểm đối xứng của D qua các đoạn thẳng $AB, AC$. Chứng minh $PQ$ luôn đi qua 1 điểm cố định.

Câu 4: cho $x,y$ là các số nguyên dương chẵn. Hãy tìm $x,y$ sao cho $x^{2}+1\vdots y+1$ và $y^{2}+1\vdots x+1$.

Câu 5: Hãy tính tổng tất cả các số có 7 chữ số sao cho các số đó chia hết cho 4 và được viết từ 7 chữ số $1,2,3,4,5,6,7$.


#306497 $x^{2}-x-1000\sqrt{1+8000x}=1000$

Gửi bởi Le Quoc Tung trong 26-03-2012 - 22:06

Cho mình hỏi câu 1 có vấn đề về đề không. Sao mà mình không đưa về hệ đối xứng được.
Có lẽ đề thế này àk: $8x^{2}+8x+1=\sqrt{x+1}$ phải không


#306328 Đề thi HSG lớp 10 tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu năm học 2011 - 2012

Gửi bởi Le Quoc Tung trong 25-03-2012 - 20:18

Bài 3.1: Trước hết ta có một bổ đề là: Với 2 tam giác ABC và A'B'C'. 2 tam giác này có cùng trọng tâm khi và chỉ khi $\sum \vec{AA'}$ = 0.
Áp dụng vào bài này với 2 tam giác ABC và MNP thì rõ ràng $\sum \vec{AM}$ = 0.
Vậy hai tam giác trên chung trọng tâm


#306326 Đề thi HSG lớp 10 tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu năm học 2011 - 2012

Gửi bởi Le Quoc Tung trong 25-03-2012 - 20:15

Mình cũng chém một bài:
Câu BĐT nhé:
Nhân cả hai vế cho abc bất đẳng thức cần chứng minh chuyển về:
$\sum \frac{a^{3}}{b}\geq \sum ab$
Giờ là một bài BĐT lớp 9 rất quen thuộc


#305530 $xyz = 1$ . Chứng minh rằng : $$\dfrac{1}{x^2 + x +...

Gửi bởi Le Quoc Tung trong 20-03-2012 - 20:28

Bạn làm chi tiết hơn đi, mình chưa hiểu lắm

Uk, làm tiếp thế này nhé. Thay vào thì BĐT của ta tương đương với:
$\sum \frac{1}{\frac{(ab)^{^{2}}}{c^{4}}+\frac{ab}{c^{^{2}}}+1}\geq 1$
Áp dụng C.S ta có:
$\sum \frac{1}{\frac{(ab)^{^{2}}}{c^{4}}+\frac{ab}{c^{^{2}}}+1}= \sum \frac{c^{4}}{(ab)^{2}+abc^{2}+c^{4}}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\sum (ab)^{2}+\sum a^{4}+\sum abc^{2}}$
Vậy ta chỉ cần chứng minh $\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\sum (ab)^{2}+\sum a^{4}+\sum abc^{2}}\geq 1$
Mà điều này hiển nhiên ( quy đồng là xong ngay )
Vậy ta có đpcm


#305194 Cho các số nguyên $a,b,c,d$ thoả mãn

Gửi bởi Le Quoc Tung trong 18-03-2012 - 22:55

Câu a) Ta có $a=b+c-d$
Suy ra:$a^{2}=(b+c-d)^{2}=b^{2}+c^{2}+d^{2}+2bc-2cd-2bd$
Tương đương:$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=2b^{2}+2c^{2}+2d^{2}+2bc-2cd-2bd=(b+c)^{2}+(c-d)^{2}+(b-d)^{2}$
b) Đặt a+d = b+c = A
Ta có b= $\frac{A}{2}-n$; c=$\frac{A}{2}+n$
a=$\frac{A}{2}-m$;d=$\frac{A}{2}+m$
với m>n. Nhân lại với nhau hiển nhiên bc>ad


#304819 Đề thi HSG lớp 10 TP. Đà Nẵng 2011-2012

Gửi bởi Le Quoc Tung trong 17-03-2012 - 20:10

Câu 3a: Bình phương 2 vế và thu gọn, ta được
$3x^{3}+7x^{2}-x-15=0$.
Phương trình này ta giải bằng công thức, kết quả thu được 1 nghiệm.


#304767 Đề thi HSG lớp 10 TP. Đà Nẵng 2011-2012

Gửi bởi Le Quoc Tung trong 17-03-2012 - 16:35

Câu 5 cũng không chắc nhưng mạn phép chém vậy
Đặt $\sqrt{x-1}=a$, $\sqrt{y+2}=b$
Bài toán chuyển về thành: $(a-1)^{2}+(b-1)^{2}=1$
Cần tìm min của :$\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}$
Mà dễ thấy $\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}\geq \frac{4}{a^{2}+b^{2}+2}= \frac{4}{1+2a+2b}$
Giờ cần tìm max của (a+b).
Mà dựa vào điều kiện của bài, dễ dàng tìm đc giác trị đó bằng 2+$\sqrt{2}$
Vậy tìm đc min. Dấu bằng xảy ra thì dài dòng, đến đây thôi