Đến nội dung

Le Quoc Tung

Le Quoc Tung

Đăng ký: 11-06-2011
Offline Đăng nhập: 03-06-2014 - 22:12
-----

#315707 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$P=\frac{1}{\sqrt[3]...

Gửi bởi Le Quoc Tung trong 10-05-2012 - 22:35

Sử dụng kết quả quen thuộc sau $$8=(x+y)(x+z)(y+z)\geq \frac{8}{9}(x+y+z)(xz+yz+xz)\Leftrightarrow \frac{9}{x+y+z}\geq xy+xz+yz$$
Suy ra:$\frac{9}{\sqrt{xy}+\sqrt{xz}+\sqrt{yz}}\geq \frac{9}{x+y+z}\geq xy+xz+yz$

$$\frac{1}{x+2y} + \frac{1}{y+2z} + \frac{1}{z+2x}=\frac{z}{xz+2yz}+\frac{x}{xy+2xz}+\frac{y}{yz+2yx}\geq \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2}{3(xy+xz+yz)}\geq$$

$$\geq \frac{3(\sqrt{xy}+\sqrt{xz}+\sqrt{yz})}{3(xy+xz+yz)}\geq \frac{(\sqrt{xy}+\sqrt{xz}+\sqrt{yz})^2}{9}\geq \sqrt[3]{xyz}$$
$P=\sqrt[3]{xyz}+\frac{1}{\sqrt[3]{xyz}}\geq 2$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1 \,\,\,\,\,\,\, \blacksquare$

Dòng thuứ 2 từ dưới lên có sao không bạn
Làm sao mà kết luận $\frac{(\sum \sqrt{xy})^{2}}{9}\geq \sqrt[3]{xyz}$


#313704 Cho a,b,c>0.CM$\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}\le...

Gửi bởi Le Quoc Tung trong 01-05-2012 - 15:12

Vẽ các tia Ox, Oy, Oz với góc giữa Ox, Oy là ${60^0}$, góc giữa Oy, Oz là ${60^0}$. Trên Ox, Oy, Oz lần lượt lấy các điểm A, B, C sao cho OA = a, OB = b, OC = c. Ta có:

$\begin{array}{l}
AB = \sqrt {{a^2} - ab + {b^2}} \\
BC = \sqrt {{b^2} - bc + {c^2}} \\
CA = \sqrt {{c^2} + ca + {a^2}} \\
\end{array}$

Bất đẳng thức trên chính là bất đẳng thức tam giác.

Nói như bạn thì cái đề sai rồi còn gì nữa


#309974 Giải HPT:$\left\{ \begin{matrix} x^{4}+2x^{3}y+x^{2}y^{2}...

Gửi bởi Le Quoc Tung trong 12-04-2012 - 21:49

Bài này ta sẽ cộng hai pt theo vế và thêm vào $x^{2}+1$
Khi đó ta suy ra:
$(x^{2}+xy+1)^{2}=(x+4)^{2}$
Xét trường hợp $x^{2}+xy+1=x+4$
Ta có hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} x^{2}+2xy=6x+6\\ x^{2}+xy+1=x+4 \end{matrix}\right.$
Nhân 2 phương trình 2 và trừ theo vế ta có:$x^{2}+4x+4=0$
Vậy chỉ có 1 nghiệm là x=1, thay vào ta giải được y=2,5
Tương tự với trường hợp còn lại


#309971 Gỉai phương trình: $13\sqrt{x - x^{2}} + 9\sqrt{x + x^{2}} = 0...

Gửi bởi Le Quoc Tung trong 12-04-2012 - 21:36

Phương trình này có 1 nghiệm duy nhất x=0 vì rõ ràng hai hạng tử đều lớn hơn hoặc bằng không


#309079 Đề thi OLYMPIC 30/4 LỚP 10 NĂM HỌC 2011-2012

Gửi bởi Le Quoc Tung trong 08-04-2012 - 22:06

Bài số học thấy cũng hài hài.
Theo giả thiết bài toán: $2^{p}\equiv 3^{p}$ (mod $x^{y+1}$)(1)
Nếu giả sử x chia hết cho p.
Theo định lý Fecma ta có 5 chia hết cho p dẫn đến p=5. Thay vào ta thấy ngay vô lý.
Nếu x không chia hết cho p.(2)
(1) (2) suy ra $2\equiv -3$ (mod $x^{y+1}$)
Lại kéo theo 5 chia hết cho p. Thay vào thấy vô lý luôn
Vậy bài toán luôn luôn không có nghiệm
  • LNH yêu thích


#309068 Đề thi OLYMPIC 30/4 LỚP 10 NĂM HỌC 2011-2012

Gửi bởi Le Quoc Tung trong 08-04-2012 - 21:46

Câu 1: Dùng phân tích $x^{4}+4=\left ( x^{2}-2x+2 \right )\left ( x^{2}+2x+2 \right )$
Sau đó đặt các ẩn phụ là $\sqrt{}\left ( x^{2}-2x+2 \right )=a$ và $\sqrt{}\left ( x^{2}+2x+2 \right )=b$
Ta có phương trình $a^{2}-7ab+b^{2}=0$
Giải phương trình này rồi thế x vào là xong


#308922 Đề thi HSG lớp 10 tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2011-2012

Gửi bởi Le Quoc Tung trong 08-04-2012 - 09:45

Đề này cũng rất hay. Mình chém vài bài đã.
Bài 1: Bài này thì dễ rồi. Cauchy cho VT của phương trình 1 rồi vận dụng ĐK ở phương trình 2.
Từ đây, hệ lại quy về trở thành $\left\{\begin{matrix} (2x+3)^{2}(4x-1)=(2y+3)^{2}(4y-1)\\ x+y=4xy \end{matrix}\right.$
Hai vế của phương trình 1 trên rõ ràng là đồng biến theo x,y nên x=y.
Thay vào pt dưới là xong


#307483 Đề thi chọn đội tuyển lớp 10 trường THPT chuyên Lê Quí Đôn Quảng Trị

Gửi bởi Le Quoc Tung trong 01-04-2012 - 11:13

Đề thi chọn đội tuyển lớp 10 trường THPT chuyên Lê Quí Đôn Quảng Trị
$$*******$$
Câu 1: Giải hệ phương trình sau:
$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y=\frac{2}{y}\\ y^{2}+x=\frac{2}{x} \end{matrix}\right.$

Câu 2: Với a,b,c thuộc đoạn $\left [ 0;1 \right ]$. Chứng minh:
$a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+1$

Câu 3: Cho tam giác $AB$C nội tiếp đường tròn O. D là một điểm nằm ở trên cung Bc không chứa A. Lấy P, Q lần lượt là điểm đối xứng của D qua các đoạn thẳng $AB, AC$. Chứng minh $PQ$ luôn đi qua 1 điểm cố định.

Câu 4: cho $x,y$ là các số nguyên dương chẵn. Hãy tìm $x,y$ sao cho $x^{2}+1\vdots y+1$ và $y^{2}+1\vdots x+1$.

Câu 5: Hãy tính tổng tất cả các số có 7 chữ số sao cho các số đó chia hết cho 4 và được viết từ 7 chữ số $1,2,3,4,5,6,7$.


#306497 $x^{2}-x-1000\sqrt{1+8000x}=1000$

Gửi bởi Le Quoc Tung trong 26-03-2012 - 22:06

Cho mình hỏi câu 1 có vấn đề về đề không. Sao mà mình không đưa về hệ đối xứng được.
Có lẽ đề thế này àk: $8x^{2}+8x+1=\sqrt{x+1}$ phải không


#306328 Đề thi HSG lớp 10 tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu năm học 2011 - 2012

Gửi bởi Le Quoc Tung trong 25-03-2012 - 20:18

Bài 3.1: Trước hết ta có một bổ đề là: Với 2 tam giác ABC và A'B'C'. 2 tam giác này có cùng trọng tâm khi và chỉ khi $\sum \vec{AA'}$ = 0.
Áp dụng vào bài này với 2 tam giác ABC và MNP thì rõ ràng $\sum \vec{AM}$ = 0.
Vậy hai tam giác trên chung trọng tâm


#306326 Đề thi HSG lớp 10 tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu năm học 2011 - 2012

Gửi bởi Le Quoc Tung trong 25-03-2012 - 20:15

Mình cũng chém một bài:
Câu BĐT nhé:
Nhân cả hai vế cho abc bất đẳng thức cần chứng minh chuyển về:
$\sum \frac{a^{3}}{b}\geq \sum ab$
Giờ là một bài BĐT lớp 9 rất quen thuộc


#305530 $xyz = 1$ . Chứng minh rằng : $$\dfrac{1}{x^2 + x +...

Gửi bởi Le Quoc Tung trong 20-03-2012 - 20:28

Bạn làm chi tiết hơn đi, mình chưa hiểu lắm

Uk, làm tiếp thế này nhé. Thay vào thì BĐT của ta tương đương với:
$\sum \frac{1}{\frac{(ab)^{^{2}}}{c^{4}}+\frac{ab}{c^{^{2}}}+1}\geq 1$
Áp dụng C.S ta có:
$\sum \frac{1}{\frac{(ab)^{^{2}}}{c^{4}}+\frac{ab}{c^{^{2}}}+1}= \sum \frac{c^{4}}{(ab)^{2}+abc^{2}+c^{4}}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\sum (ab)^{2}+\sum a^{4}+\sum abc^{2}}$
Vậy ta chỉ cần chứng minh $\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\sum (ab)^{2}+\sum a^{4}+\sum abc^{2}}\geq 1$
Mà điều này hiển nhiên ( quy đồng là xong ngay )
Vậy ta có đpcm


#305194 Cho các số nguyên $a,b,c,d$ thoả mãn

Gửi bởi Le Quoc Tung trong 18-03-2012 - 22:55

Câu a) Ta có $a=b+c-d$
Suy ra:$a^{2}=(b+c-d)^{2}=b^{2}+c^{2}+d^{2}+2bc-2cd-2bd$
Tương đương:$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=2b^{2}+2c^{2}+2d^{2}+2bc-2cd-2bd=(b+c)^{2}+(c-d)^{2}+(b-d)^{2}$
b) Đặt a+d = b+c = A
Ta có b= $\frac{A}{2}-n$; c=$\frac{A}{2}+n$
a=$\frac{A}{2}-m$;d=$\frac{A}{2}+m$
với m>n. Nhân lại với nhau hiển nhiên bc>ad


#304819 Đề thi HSG lớp 10 TP. Đà Nẵng 2011-2012

Gửi bởi Le Quoc Tung trong 17-03-2012 - 20:10

Câu 3a: Bình phương 2 vế và thu gọn, ta được
$3x^{3}+7x^{2}-x-15=0$.
Phương trình này ta giải bằng công thức, kết quả thu được 1 nghiệm.


#304767 Đề thi HSG lớp 10 TP. Đà Nẵng 2011-2012

Gửi bởi Le Quoc Tung trong 17-03-2012 - 16:35

Câu 5 cũng không chắc nhưng mạn phép chém vậy
Đặt $\sqrt{x-1}=a$, $\sqrt{y+2}=b$
Bài toán chuyển về thành: $(a-1)^{2}+(b-1)^{2}=1$
Cần tìm min của :$\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}$
Mà dễ thấy $\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}\geq \frac{4}{a^{2}+b^{2}+2}= \frac{4}{1+2a+2b}$
Giờ cần tìm max của (a+b).
Mà dựa vào điều kiện của bài, dễ dàng tìm đc giác trị đó bằng 2+$\sqrt{2}$
Vậy tìm đc min. Dấu bằng xảy ra thì dài dòng, đến đây thôi