Takitori Chishikato

Cho tứ giác lồi ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA.
CMR: ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi $MP+ NQ= \frac{1}{2} ( AB+ BC+ CD+DA)$

GHPT:

$$\left\{\begin{array}{l} x^2+y^2+xy+1=4y \\y(x+y)^2=2x^2+7y+2\end{array}\right.$$

hpt $$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} (x^2+1)+y(x+y)=4y \\y(x+y)^2-2(x^2+1)=7y\end{array}\right.$$

NX: y=0 không TM hệ

Với y#0 chia cả 2 vế của 2 pt cho y đc

$$\left\{\begin{array}{l} \frac{x^2+1}{y}+(x+y)=4 \\y(x+y)^2-2\frac{x^2+1}{y}=7\end{array}\right.$$

Đặt $$\left\{\begin{array}{l} \frac{x^2+1}{y}=a \\x+y=b\end{array}\right.$$ giải là xong.

1)
$\left\{\begin{matrix} y^2 + x + xy -6y + 1 = 0 & \\ y^3x - 8y^2 + x^2y + x = 0 & \end{matrix}\right.$

hpt

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (y^2+x)+(xy+1) = 6y & \\ (x+y^2)(xy+1)= 9y^2 & \end{matrix}\right.$

Đặt $ a= x+y^2; b= xy+1$ hpt trở thành: $\left\{\begin{matrix} a+b = 6y & \\ ab= 9y^2 & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow$ a, b là nghiệm của pt : $t^2-6yt+9y^2 = 0$

$\Leftrightarrow t= 3y

\Leftrightarrow a=b= 3y

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y^2+x = 3y & \\ xy+1= 3y & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = 3y-y^2 & \\ y(3-y^2)+1=3y & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = 3y-y^2 & \\ y=1 & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = 2 & \\ y=1 & \end{matrix}\right.$

Gõ nhầm đừng kêu ^v^

$1) \left ( 3-x \right )\sqrt[3]{\frac{3-x}{x-1}} + \left (x-1 \right )\sqrt[3]{\frac{x-1}{3-x}} =2$

LG:
Đặt: $ a = \sqrt[3]{3-x} ; b = \sqrt[3]{x-1} \Rightarrow a^3+b^3=2$
Ta có pt:
$\dfrac{a^4}{b} + \dfrac{b^4}{a} = a^3+b^3$
PT này đến đây nhân chéo xong là giải đc thui ^v^