Tạ Hồng Quảng

Cho $ a, b, c > 0  $ và $m = \min (\left| {a - b} \right|,\left| {a - c} \right|,\left| {c - b} \right|) $ . Chứng minh rằng:

a (dễ chứng minh):

\[\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} + 6 \ge \frac{{27(ab + bc + ca + {m^2})}}{{{{(a + b + c)}^2}}}\]

b (khó):

\[\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} + 6 \ge \frac{{27(ab + bc + ca + {m^2})}}{{{{(a + b + c)}^2}}}+ {\frac {{m}^{2}}{ \left( a+b+c \right) ^{2}} \left( {\frac {a}{b}}+{
\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}+{\frac {b}{a}}+{\frac {c}{b}}+{\frac {a}{
c}}-6 \right) }
\]

Cho $a,b,c $ là các số thực và  $s = \sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca}}{7}}  $. Chứng minh rằng:

$$ \left( {a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2} \right) ^{2} \ge 3\left( {a}^{3}b+{b}^{3}c+{c}^{3}a \right) +{\frac {7{s}^{2} \left( a+b+c-7\,s \right) ^{2}}{9}} $$