Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


PRONOOBCHICKENHANDSOME

Đăng ký: 21-06-2011
Offline Đăng nhập: 05-05-2016 - 17:42
***--

#452607 $x^2 - [x]x=84,25$

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 23-09-2013 - 19:52

Trong khoảng $[0;100]$ , có bao nhiêu giá trị của x thoả mãn : 

$x^2-[x]x=84,25$




#442864 Tính $ \lim_{x\rightarrow +\propto } \frac...

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 14-08-2013 - 20:43

$U_n^2 = U_{n+1} +2 =\frac{U_{n+1}^2-4}{U_{n+1}-2}=\frac{U_{n+1}^2-4}{U_n^2-4}$

$\Rightarrow \prod_{i=1}^n U_i^2 = \frac{U_{n+1}^2-4}{U_1^2-4} = \frac{U_{n+1}^2-4}{21}$

$\Rightarrow \frac{U_{n+1}^2}{\prod_{i=1}^n U_i^2} = 21 \frac{U_{n+1}^2}{U_{n+1}^2-4}$ 

Dễ dàng chứng minh $\lim U_n = +\infty$

Từ đó suy ra đc giới hạn cần tìm .




#441397 $u_{n}= \frac{n+1}{2^{n+1}}...

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 08-08-2013 - 23:42

Cho mình hỏi là ở hai dòng cuối từ Đ/l Stolz rồi bạn lại có    $\lim_{x  \rightarrow 0}{u_{n}}$

$\frac{x_n}{y_n}= u_n$ ? 




#441322 $u_{n}= \frac{n+1}{2^{n+1}}...

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 08-08-2013 - 18:34

Đặt $x_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{2^k}{k} ; y_n = \frac{2^{n+1}}{n+1}$ 

Dễ thấy : $\lim x_n = \lim y_n = +\infty$

Ta có : $\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n} = \frac{n+2}{n}$ 

Theo Stolz : $\lim \frac{x_n}{y_n} = \lim \frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n} = \lim \frac{n+2}{n} = 1$ 

Hay $ \lim u_n = 1 $ 

Điều phải chứng minh 




#439805 Tìm tất cả giá trị của $\alpha$ để $S_n$ hội tụ

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 01-08-2013 - 22:44

$S_1 = a_1 = \alpha $ 

$S_{n+1} - S_n = (S_n -2)^2$ 

$\Rightarrow S_{n+1} = S_n^2-3S_n +4$ 

Giả sử $S_2 > 2 $ 

Suy ra $S_3 > S_2 > 2 $

Dễ thấy $S_n$ tăng ngặt khi đó .

Giả sử bị $S_n$ bị chặn trên .

Suy ra tồn tại $\lim S_n = S $

Tính đc $S=2$ dẫn tới vô lý .

Suy ra $S_2 \leq 2 $

Khi và chỉ khi $\alpha ^2 - 3 \alpha +2 \leq 0 $

Khi và chỉ khi $1 \leq \alpha \leq 2 $ (*)

Ta chứng minh (*) là điều kiện cần và đủ đề $S_n$ hội tụ .

Thật vậy khi đó dễ dàng chứng minh đc $1 < S_n \leq 2 $ với mọi $n \geq 2$ .

Mặt khác $S_{n+1} \geq S_n $

Vậy $S_n$ tăng và bị chặn trên bởi 2 nên tồn tại giới hạn . 

Điều phải chứng minh  




#434874 $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b...

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 12-07-2013 - 21:06

$\frac{1}{a^2-1} = \frac{1}{2} ( \frac{1}{a-1}-\frac{1}{a+1})$

Suy ra : $\sum_{a,b,c} ( \frac{1}{a-1} -\frac{1}{a+1}) = 2 $

Mặt khác : $\frac{1}{a-1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{1} \geq \frac{9}{a+1}$

Từ đẳng thức và bất đẳng thức dễ dàng suy ra điều phải chứng minh  




#421773 Tìm GTNN $P = \frac{1}{9-5a}+\frac...

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 28-05-2013 - 19:46

Ta chứng minh bất đẳng thức : $\frac{1}{9-5a} \geq \frac{5a^2+3}{32}$ $\forall 0<a<\sqrt{3}$

Thật vậy chứng minh bằng biến đổi tương đương ta thấy bất đẳng thức trên tương đương với : $(25a+5)(a-1)^2 \geq 0$ 

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi $a=1$ 

Lập các bất đẳng thức tương tự với b,c . 

Ta có $P_{min} = \frac{3}{4}$ khi $a=b=c=1$ 




#412835 $lim\frac{n(1-x_n.n)}{x_n}$

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 15-04-2013 - 19:58

$f_n(x)=\ln (1+x^2)+nx-1$ 

$f_n(x)'=\frac{2x}{1+x^2}+n \geq 0 $ 

Suy ra $f_n(x)$ đồng biến . 

Suy ra $f_n(x)=0$ có nhiều nhất 1 nghiệm .

Mà $f_n(0)=-1<0 , f_n(\frac{1}{n})=\ln (1+\frac{1}{n^2}) > \ln 1 =0$ , $f_n(x)$ liên tục .

Vậy $f_n(x)$ có nghiệm duy nhất $x_n \in (0 ; \frac{1}{n})$

Mặt khác $\lim \frac{1}{n} = 0$ 

Suy ra $\lim x_n = 0 $

Ta có : 

$\frac{n(1-nx_n)}{x_n}=\frac{nx_n(1-nx_n)}{x_n^2}=\frac{[1-\ln (1+x_n^2)]\ln (1+x_n^2)}{x_n^2}$

Suy ra $\lim \frac{n(1-nx_n)}{x_n}=\lim_{t \to 0^+} \frac{\ln(1+t)-\ln ^2(1+t)}{t}$

Mà $ \lim_{t \to 0} \frac{\ln (1+t) -\ln ^2(1+t)}{t}= \lim_{t \to 0} \frac{1-2\ln (1+t)}{1+t} =1 $ ( Định nghĩa đạo hàm )

Vậy $\lim \frac{n(1-nx_n)}{x_n} = \lim_{t \to 0^+} \frac{\ln (1+t) -\ln ^2(1+t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\ln (1+t) - \ln ^2(1+t)}{t} =1 $ 




#411402 $$u_{n}=\int_{0}^{\frac{...

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 08-04-2013 - 22:17

Mình mới nghĩ ra công thức truy hồi thôi , còn giới hạn thì chưa biết tính ^^ . 

Với $ n \in \mathbb{N}^{+} $ , đặt $u_n = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^{2n}xdx $ 

Xét $I_n = \int \tan^{2n}xdx $ 

Ta có : 

$I_{n+1} = \int \tan^{2n+2}xdx=\int (\frac{1}{\cos^2 x}-1)\tan^{2n}xdx=\int \tan^{2n}xd(\tan x ) - I_n = \frac{\tan^{2n+1}x}{2n+1} - I_n$ 

Cho các cận vào thì suy ra : 

$u_{n+1} = \frac{1}{2n+1} - u_n $ 

$u_1 = 1- \frac{\pi}{4}$ 




#411053 Cho dãy số $(u_n)$ thỏa: $u_{n+1}=u_n(1-u_n)$....

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 07-04-2013 - 15:45

Giả sử $u_2 < 0 \Rightarrow u_3-u_2 = -u_2^2 < 0 $ hay $u_3<u_2<0$ 

... Suy ra $u_n$ giảm ngặt , giả sử $u_n$ bị chặn dưới , khi đó $\exists \lim u_n = L$

$\Leftrightarrow L=L(1-L) \Leftrightarrow L=0 $ ( vô lý vì $u_n$ giảm và $u_n<0$).

Vậy $u_2 \geq 0 \Leftrightarrow u_1(1-u_1) \geq 0 \Leftrightarrow 0 \leq u_1 \leq 1$ (*)

Ta chứng minh (*) là điều kiện cần và đủ để $u_n$ có giới hạn hữu hạn . 

Thật vây ( không xét trường hợp đơn giản là $u_1=0;1$) 

$u_2 =u_1(1-u_1) > 0 ; u_2 -u_1 = -u_1^2 < 0$ hay $u_2<u_1<1 \Rightarrow 0<u_2<u_1<1$

...

Vậy ta có $u_n$ giảm thật sự và bị chặn dưới bởi 0 $\Leftrightarrow \exists \lim u_n = L \Leftrightarrow L = 0 $ ( thoả mãn ) 

Vậy (*) là điều kiện cần và đủ để $u_n$ hội tụ , điều phải chứng minh . 




#411024 $\mathop {\lim }\limits_{n \to \...

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 07-04-2013 - 12:51

Đề bài phải là $\lim \sqrt[n]{f(\frac{1}{n})f(\frac{2}{n})...f(\frac{n}{n})}=e^{\int_0^1\ln f(x)dx}$ . ( Nếu đề như trên cho $f(x)=x$ thấy sai ngay : $\lim VT= 0 , VP=\frac{1}{e}$)

Khi đó lấy loga nepe 2 vế :

$\Leftrightarrow \lim \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln f(\frac{k}{n}) =\int_0^1 \ln f(x)dx $

Đúng theo định nghĩa tổng tích phân Riemann . 




#401825 $\lim_{x \to 0}\cos \frac{m}...

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 03-03-2013 - 21:13

Xét $x_k = \frac{m}{2nk\pi}$
Dễ thấy $\lim_{k \to +\infty} x_k = 0$
Ta có : $\cos \frac{m}{n x_k} =\cos k2\pi = 1 $ với mọi k hay $ \lim_{k \to +\infty} \cos \frac{m}{n x_k} = 1 $
Tương tự chọn dãy : $x_k = \frac{m}{(2k+1)n\pi}$ thì $\lim_{k \to +\infty} \cos \frac{m}{n x_k} = -1$
Nhắc lại định nghĩa giới hạn của hàm số :
1 hàm số $f(x)$ được gọi là có giới hạn là L khi $x$ dần tới $x_0$ nếu với mọi dãy $x_n : \lim x_n = x_0$ thì ta có : $lim f(x_n) = L $
Vậy theo định nghĩa giới hạn của hàm số thì suy ra không tồn tại $ \lim_{x \to 0} \cos \frac{m}{nx}$


#383898 Tính $a_{2013}$

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 05-01-2013 - 19:18

1. Sau khi mò mẫm cuối cùng cũng ra $a_n$ tuần hoàn với chu kì 6 . Cái này thì có thể chứng minh trực tiếp từ truy hồi hoặc dựa vào công thức tổng quát cũng được.
Đến đấy thì suy ra $a_{2013}=a_{15}=82$ không hiểu cho $a_{20}$ với $a_{30}$ để làm gì . chắc phải tính $a_{2011}$ nhỉ .
2. Đã thấy trên mathscope , nhưng mà không tìm thấy

@Dark templar :Chắc để tìm CTTQ :))


#381076 $lim\frac{u_{n}}{\sqrt{n}...

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 28-12-2012 - 00:15

Dễ thấy $u_n >0 , \forall n$
Mặt khác : $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{u_n} >0$ Vậy $u_n$ tăng
Giả sử $u_n$ có giới hạn hữu hạn là L . Suy ra : $L=L+\frac{1}{L}$ (vô lý)
Vậy $\lim u_n = +\infty$
Ta có : $\lim \frac{u_n^2}{n}=\lim (u_{n+1}^2-u_n^2)=\lim (2+\frac{1}{u_n^2})=2$
Hay $\lim \frac{u_n}{\sqrt{n}}=\sqrt{2}$
ĐPCM


#380570 Hãy tìm $\frac{x_0}{x_1}+\frac{x_1...

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 26-12-2012 - 12:06

$x_2=\frac{1}{2}=\frac{1}{2!} , x_3=\frac{1}{6} =\frac{1}{3!}$
Dễ dàng chứng minh bằng quy nạp theo công thức truy hồi :$x_n =\frac{1}{n!} , \forall n \geq 2 $
Vậy $\frac{x_0}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}+...+\frac{x_{50}}{x_{51}}=\frac{1}{2}+4+(3+4+...+51)=1327,5$