Đến nội dung

PRONOOBCHICKENHANDSOME

PRONOOBCHICKENHANDSOME

Đăng ký: 21-06-2011
Offline Đăng nhập: 05-05-2016 - 17:42
***--

#279174 Giúp em các bài cực trị ứng dụng pp vectơ !

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 16-10-2011 - 12:26

Bài 2 : $(1+a^2)(1+b^2)=1+a^2+b^2+a^2b^2=(1-2ab+a^2b^2)+(a^2+b^2+2ab)=(1-ab)^2+(a+b)^2\geq 2|(a+b)(1-ab)|$
$\Rightarrow Q.E.D$


#279124 toán 9

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 15-10-2011 - 23:21

Bài 1:
$VT \overset{Cauchy-Schwarz}{\geq}\sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{2011}a_{i}^2}{\sum_{i=1}^{2011}a_{i}}}=\sqrt{\sum_{i=1}^{2011}a_{i}}$
$VP^2 \overset{Cauchy-Schwarz}{\leq} \dfrac{1}{2011}.2011.\sum_{i=1}^{2011}a_{i}=\sum_{i=1}^{2011}a_{i}$
$\Rightarrow VP \leq \sqrt{\sum_{i=1}^{2011}a_{i}}$
$\Rightarrow VT \ge VP $ $(Q.E.D)$

Bài 2 :
$y^2 \overset{Cauchy-Schwarz}{\leq} (9+16)(x-1+5-x)=100$
$\Rightarrow y \le 10 $ (do y >0)
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow x=\dfrac{61}{25}$
$y^2 = 9(x-1)+16(5-x)+24\sqrt{(x-1)(5-x)}=36+7(5-x)+24\sqrt{(x-1)(5-x)}\ge 36$ (do$ 5-x \ge 0$)
$\Rightarrow y\ge6$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow x=5 $


#279058 $abc=1$

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 15-10-2011 - 16:02

$Q.E.D\Leftrightarrow (a^3+1)(b^3+1)(c^3+1)\ge 8$
Mình nghĩ bđt này không khó quá khó để cm


#277828 Tìm GTNN của $$P = \dfrac{a^{2011}}{b^{1000}}+\dfrac{b^{2...

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 04-10-2011 - 20:42

Cho 3 số dương a,b,c thỏa : $\sum a^{10} = 3 $ . Tìm min :
$P = \dfrac{a^{2011}}{b^{1000}}+\dfrac{b^{2011}}{c^{1000}}+\dfrac{c^{2011}}{a^{1000}}$


#277658 Bất đẳng thức dành cho các em chuẩn bị thi đại học

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 02-10-2011 - 15:19

Cho các số thực dương $a,b,c > 0 $ thoả mãn $abc+a+c=b$ . Tìm GTLN của biểu thức

$P = \dfrac{2}{a^2+1}-\dfrac{2}{b^2+1}+\dfrac{3}{c^2+1}$

$abc+a+c=b\Rightarrow ac + \dfrac{a}{b} +\dfrac{c}{b} =1$
$a,b,c>0 \Rightarrow \exists A,B,C \in (0; \pi) : A+B+C = \pi ; a=tan \dfrac{A}{2} , \dfrac{1}{b} = tan \dfrac{B}{2} , c=tan \dfrac{C}{2}$
...
$\Rightarrow P= -3sin^{2}\dfrac{C}{2} +2sin\dfrac{C}{2}cos\dfrac{A-B}{2} +3$
$= -3(sin\dfrac{C}{2} -\dfrac{1}{3}cos\dfrac{A-B}{2})^2 + \dfrac{1}{3}cos^2\dfrac{A-B}{2}+3$
$\le \dfrac{1}{3}cos^2\dfrac{A-B}{2}+3$
$\le \dfrac{1}{3} +3 = \dfrac {10}{3}$


#277168 bdt

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 26-09-2011 - 18:03

Dùng bđt này cũng đc bạn ơi :
$\sum \dfrac{ab}{a+3b+2c}=\sum ab\left ( \dfrac{1}{(a+c)+(b+c)+2b} \right )\overset{Cauchy-Schwarz}{\leq} \dfrac{1}{9}\sum ab.\left ( \dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{2b} \right )$


#277124 Cho 1 đa thức : $f(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^{n-i}$ Thỏa mãn điều...

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 25-09-2011 - 21:38

Cho 1 đa thức : $f(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^{n-i}$
Thỏa mãn điều kiện $|f(x)| \le 1 \forall x \in [-1:1] $
CMR : với đa thức $f'(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^{i}$
Thì ta có : $ |f'(x)| \le 2^{n-1} \forall x \in [-1:1]$


#276509 Bài toán trong sách tài liệu chuyên Toán

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 20-09-2011 - 20:55

Đặt $a_i=\dfrac{1}{1+x_i^2} \Rightarrow x_i=\sqrt{\dfrac{1-a_i}{a_i}}$
Bất đẳng thức trở thành :
$\sum_{i=1}^{n}\sqrt{\dfrac{1-a_i}{a_i}}\geq(n-1)(\sum_{i=1}^{n}\sqrt{\dfrac{a_i}{1-a_i}})$
Thật vậy :
$LHS= \sum_{i=1}^{n}\sqrt{\dfrac{a_1+a_2+...+a_{i-1}+a_{i+1}+..+a_n}{a_i}}$
$\overset {Cauchy-Schwarz}{\ge}\sum_{i=1}^{n}\dfrac{\sqrt{a_1}+...+\sqrt{a_{i-1}}+\sqrt{a_{i+1}}+...\sqrt{a_n}}{\sqrt{n-1}\sqrt{a_i}}$
$=\sum_{i=1}^{n}\dfrac{\sqrt{a_i}}{\sqrt{n-1}}.(\dfrac{1}{\sqrt{a_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{a_{i-1}}}+\dfrac{1}{\sqrt{a_{i+1}}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{a_n}})$
$\geq \dfrac{(n-1)\sqrt{a_i}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_i}-a_i}=(n-1)(\sum_{i=1}^{n}\sqrt{\dfrac{a_i}{1-a_i}})$
$Q.E.D$


#275186 Chuyên đề: Tính giá trị biểu thức

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 04-09-2011 - 15:35

Chuyên đề : Tính giá trị biểu thức


Yêu cầu về bài viết trong topic:
- Viết bằng Tiếng Việt có dấu, viết hoa đầu dòng, tuyệt đói không dùng ngôn ngữ chat.
- Viết rõ ràng bằng latex ( nếu không viết được có thể nhờ Mod sửa hộ nhưng phải đầy đủ thông tin). Không để font, size, màu quá lớn. Hạn chế tải thêm các hình ảnh không liên quan.
- Không SPAM.
- Bài viết đầy đủ thông tin. Phương pháp làm, Lo-gic và Kết quả. tránh tình trạng bỏ dở.

Bài 1: http://diendantoanho...showtopic=61533
Bài 2. Hãy tính tổng $ S = ab + cd$ biết rằng $ a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = 2005$ và $ ac + bd = 0$

Bài 3. Cho $ a^2 + b^2 = 4282; c^2 + d^2 = 1658; ac + bd = 2384$.
Tính $ad - bc$

Bài 4. Cho $a + b + c = 0$.
Tính giá trị biểu thức: $ M = a^3 + b^3 + a^2c + b^2c - abc$

Bài 5. Tính tổng $ 1^3 + 5^3 + 9^3 + … + ( 4n + 1 )^3$

Bài 6. Tính tích số :
$ P = 101.10001.100000001… 1\underset{2^n - 1 }{\underbrace{00…00}1}$

Bài 7. Một dãy số tự nhiên được phân thành nhóm như sau:
(1), (2, 3), ( 4, 5, 6), (7, 8, 9, 10), …
Gọi $ S_k$ là tổng các số ở nhóm thứ k.
Tính tổng $ S = S_1 + S_2 + S_3 + … + S_{2n - 1}$

Bài 8. Gọi n là số tự nhiên, $n \geq 1$. Tính tích số sau theo n:
$( 1 - \dfrac{1}{2} )( 1 - \dfrac{1}{3})( 1 - \dfrac{1}{4})…( 1 - \dfrac{1}{n + 1 })$
(Đề thi HSG toàn quốc 1977 - 1978)

Bài 9. Cho $f(x) = ax^2 + bx + c$ có tính chất:
f(x) nhận giá trị nguyên khi x là số nguyên.
Hỏi các hệ số a, b, c có nhất thiết là các số nguyên hay không?
Tại sao?
(Đề thi vào lớp 10 chuyên Trường Đại học KHTN Hà Nội năm học 2002 - 2003)

Bài 10. Cho
$\left\{\begin{array}{l}4\alpha^2 = 2( b^2 + c^2) - a^2\\4\beta^2 = 2( c^2 + a^2) - b^2\\ 4\gamma^2 = 2( a^2 + b^2) - c^2 \end{array}\right.$
Hãy tính các biểu thức sau theo a, b, c:
a, $T_1 = \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$
b, $T_2 =\alpha^2\beta^2 + \beta^2\gamma^2 + \alpha^2\gamma^2$
c, $ T_3 = \alpha^4 + \beta^4 + \gamma^4$

Bài 3 :
$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=4282.1658=7099556$
$\Leftrightarrow (ac+bd)^2 +(ad-bc)^2 = 7099556$
Mà $ac+bd =2384$
$\Leftrightarrow (ad-bc)^2 = 7099556 - 2384^2 = 1416100$
$\Leftrightarrow \left | ad-bc \right | =1190$
Bài 4 :
$a+b+c=0$
$\Rightarrow a^3+b^3+c^3 = 3abc $
$\Rightarrow M = (a^3+b^3+c^3)-abc -c^3 +a^2c+b^2c = c(a^2+b^2+2ab -c^2) = 0 $
Bài 7 :
Nhận xét : $S_1$ có 1 số hạng , $S_2$ có 2 số hạng ...$ \Rightarrow$ $S_{2n-1}$ có $2n-1$ số hạng
$\Rightarrow$ Số hạng cuối cùng của $S_{2n-1}$ là :$\dfrac {(1+2n-1)(2n-1)}{2}=n(2n-1)$
$\Rightarrow S=\sum_{i=1}^{2n-1}S_i=\dfrac{[1+n(2n-1)]n(2n-1)}{2}$


#273986 Topic về Bất đẳng thức, cực trị THCS

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 25-08-2011 - 22:30

Tìm GTLN, GTNN của $x^2 + y^2 + z^2$, biết $x, y, z \in [0;1]$ và $x+y+z=2$.

$x^2+y^2+z^2\geq \dfrac{(x+y+z)^2}{3}=\dfrac{4}{3}$
$\Rightarrow \min P=\dfrac{4}{3}\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{2}{3}$
$x(x-1)\leq 0\Rightarrow x^2\leq x$
Tuong tu :$\Rightarrow \sum x^2\leq \sum x=2 $


#273304 Cauchy-Schwarz

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 20-08-2011 - 23:14

Bài trên dùng kĩ thuật cauchy ngược dấu. Đây là 1 kĩ thuật khá hiệu quả với các bdt hoán vị.
Để rèn luyện kĩ thuật trên, các bạn có thể giải các ví dụ đơn giản sau:

1. Mở rộng bài trên với 4 biến: $a,b,c,d>0$, $ a+b+c+d=4$
CMR:

$ \dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+d^2}+\dfrac{d}{1+a^2} \ge 2$

2. ( Đề thi thử môn Toán lần 2- THPT Chuyên Nguyễn Huệ 2007-2008)
$a,b,c,d>0$, $ a+b+c=3$
CMR:

$\dfrac{a+b+c}{a^2+abc}+\dfrac{a+b+c}{b^2+abc}+\dfrac{a+b+c}{c^2+abc} \ge \dfrac{9}{2} $

3.$ a,b,c>0$, $ a+b+c=3$
CMR:

$\dfrac{a+1}{b^2+1}+\dfrac{b+1}{c^2+1}+\dfrac{c+1}{a^2+1} \ge 3$


Tương tự có thể cm bdt 3 với 4 biến

1.CM tương tự : $VT\geq (a+b+c+d)- \dfrac{ab+bc+cd+da}{2}=4-\dfrac{(b+d)(c+a)}{2}\geq 4-\dfrac{\dfrac{(b+d+c+a)^2}{4}}{2}=4-2=2.$
3.Có $VT = \sum \dfrac{a}{b^2+1} +\sum \dfrac{1}{a^2+1} \geq \dfrac{3}{2}+\sum \dfrac{1}{a^2+1}.$
Mà $\dfrac{1}{a^2+1}=1-\dfrac{a^2}{a^2+1}\geq 1-\dfrac{a^2}{2a}=1-\dfrac{a}{2}$
$\therefore \sum \dfrac{1}{a^2+1}\geq 3-\dfrac{\sum a}{2}=\dfrac{3}{2}$
$\therefore VT\geq 3\therefore Q.E.D$

2. Có $a+b+c=3$
$\therefore abc\leq \dfrac{(a+b+c)^3}{27}=1$
$\therefore Q.E.D\Leftrightarrow \sum \dfrac{1}{a^2+1}\geq \dfrac{3}{2}$
Đã Cm ở trên