N H Tu prince

1, Cho $X_{n}$ xác định bởi:

$X_{1}=2014 $

$X_{n+1}= \frac{1}{4-3X_{n}} với  \forall n\in N, n\geq 1$

2, Cho $X_{n}$ xác định bởi:

$X_{n}=a\in \left ( 1,2 \right )$

$X_{n+1}= 1+ X_{n}- \frac{1}{2}(X_{n})^2$

a, Chứng minh dãy có giới hạn

b, Tìm lim $X_{n}$

Đặt $y_n=x_n+1\Rightarrow y_{n+1}+1=\frac{1}{1-3y_n}\Rightarrow y_{n+1}=\frac{3y_n}{1-3y_n}$

Đặt $u_n=\frac{1}{y_n}\Rightarrow u_{n+1}=\frac{1}{3}u_n-1$

$\Rightarrow u_{n+1}+\frac{3}{2}=\frac{1}{3}\left(u_n+\frac{3}{2} \right)$

Đặt $v_n=u_n+\frac{3}{2}\Rightarrow v_{n+1}=\frac{1}{3}v_n\Rightarrow v_n$ là cấp số nhân....

$\Rightarrow ....$

Diễn đàn đã có topic $Cauchy-Schwarz$ ở đây

Tốt nhất nên tập trung thảo luận ở một topic để khỏi lặp

phương trình x+y+z+t=17 có bao nhiêu nghiệm nguyên

Với $x,y,z$ bất kì thì luôn tồn tại $t\in \mathbb{Z}$ là nghiệm

Nếu nghiệm không âm thì đây là trường hợp của bài toán chia kẹo $\text{Euler}$

Có $C_{20}^3$ nghiệm

$PT\Rightarrow x+2x=x^{2}\Rightarrow x(x-3)=0\Rightarrow \begin{bmatrix} x=0 & \\ x=3 & \end{bmatrix}$

Cách làm sai vì có hữu hạn căn thức,giá trị trong căn không bằng $x$

Tìm $x\in \mathbb{Z}$: $\sqrt{x+2\sqrt{x+...+2\sqrt{x+2\sqrt{3x}}}}=x$

Gọi $n$ là số căn thức

Đặt $a_1=\sqrt{3x},a_2=\sqrt{x+2\sqrt{3x}},a_3=\sqrt{x+2\sqrt{x+\sqrt{3x}}},...,$

$a_{n}=\sqrt{x+2\sqrt{x+2\sqrt{x+...+2\sqrt{x+2\sqrt{3x}}}}}$

$a_i\ge 0$

Ta có hệ $\left\{\begin{matrix}
 a_1^2-x=2x \\
 a_2^2-x=2a_1 \\
 a_3^2-x=2a_2 \\
 .... \\
 a_n^2-x=2a_{n-1} \\
 \end{matrix}\right.$

Giả sử $x=min(x,a_i)$

Giả sử $x\le a_1\Rightarrow a_1^2\le a_2^2\Rightarrow a_1\le a_2\Rightarrow ...a_{n-1}\le a_n=x$

$\Rightarrow a_1=a_2=..=a_n=x$

$\Rightarrow \left[\begin{matrix}
 x=0 \\
 x=3
\end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng 

$(C^{0}_{n})^{2}+(C^{1}_{n})^{2}+...+(C^{n}_{n})^{2}=(C^{n}_{2n})^{2}  \forall n\geq1$

Xuất phát từ đẳng thức $(1+x)^{n}(x+1)^{n}=(x+1)^{2n}$

$VT=\left(\sum_{k=1}^{n} C_{n}^kx^k \right)\left(\sum_{k=1}^{n} C_{n}^kx^{n-k} \right)$

Hệ số của $x^{n}$ là $(C_{n}^{0})^{2}+(C_{n}^{1})^{2}+(C_{n}^{2})^{2}+...+(C_{n}^{n})^{2}$

$VP=\sum_{i=0}^{2n} C_{2n}^i x^{2n}$

Hệ số của $x^{n}$ là $(C_{2n}^{n})^{2}$

Suy ra $Q.E.D$