Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


N H Tu prince

Đăng ký: 23-06-2011
Offline Đăng nhập: 25-10-2017 - 13:42
****-

#487823 $\left\{\begin{matrix} x_{1}=2 & \\ x_{n}=...

Gửi bởi N H Tu prince trong 19-03-2014 - 20:01

1, Cho $X_{n}$ xác định bởi:

$X_{1}=2014 $

$X_{n+1}= \frac{1}{4-3X_{n}} với  \forall n\in N, n\geq 1$

2, Cho $X_{n}$ xác định bởi:

$X_{n}=a\in \left ( 1,2 \right )$

$X_{n+1}= 1+ X_{n}- \frac{1}{2}(X_{n})^2$

a, Chứng minh dãy có giới hạn

b, Tìm lim $X_{n}$

:wacko: :wacko: :wacko: :wacko: :wacko: :wacko: :wacko: :wacko: :wacko: :wacko:

Đặt $y_n=x_n+1\Rightarrow y_{n+1}+1=\frac{1}{1-3y_n}\Rightarrow y_{n+1}=\frac{3y_n}{1-3y_n}$

Đặt $u_n=\frac{1}{y_n}\Rightarrow u_{n+1}=\frac{1}{3}u_n-1$

$\Rightarrow u_{n+1}+\frac{3}{2}=\frac{1}{3}\left(u_n+\frac{3}{2} \right)$

Đặt $v_n=u_n+\frac{3}{2}\Rightarrow v_{n+1}=\frac{1}{3}v_n\Rightarrow v_n$ là cấp số nhân....

$\Rightarrow ....$




#464380 Tìm $x\in \mathbb{Z}$: $\sqrt{x+...

Gửi bởi N H Tu prince trong 14-11-2013 - 21:43

$PT\Rightarrow x+2x=x^{2}\Rightarrow x(x-3)=0\Rightarrow \begin{bmatrix} x=0 & \\ x=3 & \end{bmatrix}$

Cách làm sai vì có hữu hạn căn thức,giá trị trong căn không bằng $x$

 

Tìm $x\in \mathbb{Z}$: $\sqrt{x+2\sqrt{x+...+2\sqrt{x+2\sqrt{3x}}}}=x$

Gọi $n$ là số căn thức

Đặt $a_1=\sqrt{3x},a_2=\sqrt{x+2\sqrt{3x}},a_3=\sqrt{x+2\sqrt{x+\sqrt{3x}}},...,$

$a_{n}=\sqrt{x+2\sqrt{x+2\sqrt{x+...+2\sqrt{x+2\sqrt{3x}}}}}$

$a_i\ge 0$

Ta có hệ $\left\{\begin{matrix}
 a_1^2-x=2x \\
 a_2^2-x=2a_1 \\
 a_3^2-x=2a_2 \\
 .... \\
 a_n^2-x=2a_{n-1} \\
 \end{matrix}\right.$

Giả sử $x=min(x,a_i)$

Giả sử $x\le a_1\Rightarrow a_1^2\le a_2^2\Rightarrow a_1\le a_2\Rightarrow ...a_{n-1}\le a_n=x$

$\Rightarrow a_1=a_2=..=a_n=x$

$\Rightarrow \left[\begin{matrix}
 x=0 \\
 x=3
\end{matrix}\right.$




#464359 Chứng minh rằng $(C^{0}_{n})^{2}+(C^...

Gửi bởi N H Tu prince trong 14-11-2013 - 21:16

Chứng minh rằng 

$(C^{0}_{n})^{2}+(C^{1}_{n})^{2}+...+(C^{n}_{n})^{2}=(C^{n}_{2n})^{2}  \forall n\geq1$

Xuất phát từ đẳng thức $(1+x)^{n}(x+1)^{n}=(x+1)^{2n}$

$VT=\left(\sum_{k=1}^{n} C_{n}^kx^k \right)\left(\sum_{k=1}^{n} C_{n}^kx^{n-k} \right)$

Hệ số của $x^{n}$ là $(C_{n}^{0})^{2}+(C_{n}^{1})^{2}+(C_{n}^{2})^{2}+...+(C_{n}^{n})^{2}$

$VP=\sum_{i=0}^{2n} C_{2n}^i x^{2n}$

Hệ số của $x^{n}$ là $(C_{2n}^{n})^{2}$

Suy ra $Q.E.D$




#462919 $1+\frac{x}{\sqrt{3x-2}}=\f...

Gửi bởi N H Tu prince trong 08-11-2013 - 19:15

Em có vài câu phương trình mong mọi người giúp đỡ

$1+\frac{x}{\sqrt{3x-2}}=\frac{1+\sqrt{3x-2}}{x}$

$\sqrt{\frac{x^3+1}{x+3}}+\sqrt{x+1}=\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x+3}$

$x^2+2x\sqrt{x-\frac{1}{x}}=3x+1$

$\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}=x(1+2\sqrt{1-x^2})$

Xin cảm ơn!!!

1.Quy đồng hai vế được $\dfrac{(x-1)\left(x-2+\sqrt{3x-2} \right)}{x\sqrt{3x-2}}=0$

2.$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{x^3+1}{x+3}}-\sqrt{x+3}=\sqrt{x^2-x+1}-\sqrt{x+1}$

Bình phương hai vế là OK

3.$\Leftrightarrow x+2\sqrt{x-\frac{1}{x}}=3+\frac{1}{x}\Leftrightarrow x-\frac{1}{x}+2\sqrt{x-\frac{1}{x}}=3$

4.Bình phương hai vế được $(1-4x^2)\left(1-x^2+\sqrt{1-x^2} \right)=0$

$.....$




#462789 $f(x+y)+f(x-y)=2(f(x)+f(y))\forall x,y\in R$

Gửi bởi N H Tu prince trong 07-11-2013 - 21:56

Tìm tất cả các hàm số liên tục $f:R\rightarrow R$ thỏa: $f(x+y)+f(x-y)=2(f(x)+f(y))\forall x,y\in R$

$x=y=0\Rightarrow f(0)=0$

$y:=-y\Rightarrow f(x)=f(-x)$

$x=y\Rightarrow f(2x)=4f(x)$

Đặt $f(x)=g(x).x^2$

$\Rightarrow g(2x)=g(x)$

$f$ liên tục $\Rightarrow g$ liên tục

$\Rightarrow g(2x)=g(x)=g\left(\frac{x}{2} \right)=...=g\left(\frac{x}{2^n} \right)$

$n\rightarrow +\infty\Rightarrow \frac{x}{2^n}\rightarrow 0$

$\Rightarrow g(x)=g(0)=c=const$

$\Rightarrow f(x)=cx^2$




#462764 $4\sqrt{x^2+x+1}=1+5x+4x^2-2x^3-x^4$

Gửi bởi N H Tu prince trong 07-11-2013 - 21:27

1) $4\sqrt{x^2+x+1}=1+5x+4x^2-2x^3-x^4$

4) $729x^4+8\sqrt{1-x^2}=36$

1.Phân tích biểu thức ngoài căn thành nhân tử ngon lành

$\Leftrightarrow x(x+1)(x^2+x-5)+4\sqrt{x^2+x+1}=1$

Đặt $\sqrt{x^2+x+1}=t\Rightarrow (t^2-1)(t^2-6)+4t=1\Leftrightarrow t^4-7t^2+4t+5=0\Leftrightarrow (t^2-t-1)(t^2+t-5)=0$

4.Đặt $a=27x^2,b=\sqrt{1-x^2}$ ta có hệ:

$\left\{\begin{matrix}
 a^2+8b=36 \\
 a+27b^2=27 \\
\end{matrix}\right.$

Thế $a=27-27b^2$ vào $PT1\Rightarrow 729b^4-1458b^2+8b+693=0\Leftrightarrow (9b^2+2b-9)(81b^2-18b-77)=0$




#462752 Giải pt: $\sqrt{(x+2)(2x-1)}-3\sqrt{x+6}=4...

Gửi bởi N H Tu prince trong 07-11-2013 - 20:57

Giải pt: $\sqrt{(x+2)(2x-1)}-3\sqrt{x+6}=4-\sqrt{(x+6)(2x-1)}+3\sqrt{x+2}$

Đặt $a=\sqrt{x+2},b=\sqrt{x+6},c=\sqrt{2x-1}$,ta có hệ

$\left\{\begin{matrix}
 (a+b)(c-3)=4 \\
 a^2-b^2=-4 \\
 2a^2-b^2=5 \\
 2b^2-c^2=13 \\
\end{matrix}\right.$

Giải ba phương trình sau ta được $a=3,b=c=\sqrt{13}$

$\Rightarrow ...$




#462743 $\sqrt{1+\frac{2}{x}}=-2x-4+...

Gửi bởi N H Tu prince trong 07-11-2013 - 20:45

 ai giúp e phương trình này với

bài 1:$\sqrt{1+\frac{2}{x}}=-2x-4+\frac{3}{x}$

 

bài 2: $4(2x^{2}+1)+3(x^{2}-2x)\sqrt{2x-1}=2(x^{3}+5x)$

1.Nhân hai vế cho $x\Rightarrow 2x^2+4x-3+\sqrt{x^2+2x}=0\Leftrightarrow (2\sqrt{x^2+2x}+3)(\sqrt{x^2+2x}-1)=0$

2.$PT\Leftrightarrow (2-x)(2x^2-4x+2-3x\sqrt{2x-1})=0$

$\Leftrightarrow (2-x)(x-2\sqrt{x-1})(2x+\sqrt{x-1})=0$




#462727 $C_{n}^{0}.C_{n}^{k}+C_{n...

Gửi bởi N H Tu prince trong 07-11-2013 - 19:55

Chứng minh $(C_{2n}^{0})^{2}-(C_{2n}^{1})^{2}+(C_{2n}^{2})^{2}-...+(C_{2n}^{2n})^{2}=(-1)^{n}(C_{2n}^{n})^{2}$

Chứng minh $C_{n}^{0}.C_{n}^{k}+C_{n}^{1}.C_{n}^{k+1}+...+C_{n}^{n-k}.C_{n}^{n}=C_{n+k}^{2n}$

1.Xuất phát từ đẳng thức $(1+x)^{2n}(x-1)^{2n}=(x^2-1)^{2n}$

$VT=\left(\sum_{k=1}^{2n} C_{2n}^kx^k \right)\left(\sum_{k=1}^{2n} C_{2n}^k(-1)^kx^{2n-k} \right)$

Hệ số của $x^{2n}$ là $(C_{2n}^{0})^{2}-(C_{2n}^{1})^{2}+(C_{2n}^{2})^{2}-...+(C_{2n}^{2n})^{2}$

$VP=\sum_{i=0}^{2n} C_{2n}^i(-x)^{2n}$

Hệ số của $x^{2n}$ là $(-1)^{n}(C_{2n}^{n})^{2}$

Suy ra ...

2.Chắc đề thế này $C_{n}^{0}.C_{n}^{k}+C_{n}^{1}.C_{n}^{k+1}+...+C_{n}^{n-k}.C_{n}^{n}=C_{2n}^{n+k}$

Xuất phát từ đẳng thức $(1+x)^n(1+x)^n=(1+x)^{2n}$

So sánh hệ số của $x^k$




#462721 $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^...

Gửi bởi N H Tu prince trong 07-11-2013 - 19:31

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+xy+2x=5y\\ x^{3}+x^{2} y-x^{2}+2xy-6x+3y=0 \end{matrix}\right.$

Với $y=0\Rightarrow ....$

Với $y\ne 0$ chia hai phương trình cho y

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
 \frac{x^2+2x}{y}+(x+y-3)=2 \\
 \frac{x^2+2x}{y}.(x+y-3)+3=0 \\
\end{matrix}\right.$




#458223 $8x^{2}-13x+7=(x+\frac{1}{x})\sq...

Gửi bởi N H Tu prince trong 17-10-2013 - 20:24

 $8x^{2}-13x+7=(1+\frac{1}{x})\sqrt[3]{3x^{2}-2}$

 

 

$\Leftrightarrow 8x^3-13x^2+7x=(x+1)\sqrt[3]{3x^2-2}$

$\Leftrightarrow (2x-1)^3-(x^2-x-1)=(x+1)\sqrt[3]{(x+1)(2x-1)+(x^2-x-1)}$

Đặt $a=2x-1,b=\sqrt[3]{3x^2-2}$ ta có hệ:

$\left\{\begin{matrix}
 a^3-(x^2-x-1)=(x+1)b \\
 b^3-(x^2-x-1)=(x+1)a \\
\end{matrix}\right.$

Đây là hệ đối xứng loại 2,trừ (1) cho (2) được $a^3-b^3+ax-bx+a-b=0$

$\Leftrightarrow (a-b)(a^2+ab+b^2+x+1)=0$

Với $a=b$ suy ra $(2x-1)^3=3x^2-2\Leftrightarrow ...$

Với $a^2+ab+b^2+x+1=0$ trường hợp này chưa biết phải sử lí sao :lol:




#458040 ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG QG TP.HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2013-2014

Gửi bởi N H Tu prince trong 16-10-2013 - 22:36

Ngày 1.

Thời gian: 180 phút

Bài 1. Giải hệ phương trình: 

$$\begin{cases} x^2+y^2+xy+1=4y \\ y(x+y)^2=2x^2+7y+2\end{cases}$$

Bài 2. Cho dãy $(x_n)$ thỏa

$$\begin{cases} x_1 = a>1 \\ 2014x_{n+1}=x_n^2+2013x_n\end{cases}$$

Tìm $$\lim \left ( \frac{x_1}{x_2-1}+\frac{x_2}{x_3-1}+...+\frac{x_n}{x_{n+1}-1}\right)$$

Bài 3. Tìm số thực $p,q$ sao cho phương trình $x^2+px+1=0$ và $x^2+qx+2=0$ có nghiệm chunng và $A=2|p|+3|q|$ nhỏ nhất.

Bài 5. Tìm $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa $$f(2013f(x+y)) = f(x+y) +2013f(x)f(y) - \frac{xy}$

Câu 5 đề bị lỗi

Câu 1: Với $y=0$ thì phương trình vô nghiệm,chia hai vế hai phương trình cho y ta có hệ mới:

$\left\{\begin{matrix}
 \frac{x^2+1}{y}+(x+y)=4 \\
 (x+y)^2=2\frac{x^2+1}{y}+7
\end{matrix}\right.$

Câu 2: $2014x_{n+1}-2014=(x_n-1)(x_n+2014)$

$\Rightarrow \frac{1}{2014(x_{n+1}-1)}=\frac{2014}{2015}\left(\frac{1}{x_n-1}-\frac{1}{x_n+2014} \right)=-\frac{1}{2015} \left(\frac{2014}{x_n+2014}+\frac{1}{x_n-1}-\frac{2015}{(x_n-1)} \right)=\frac{1}{x_n-1}-\frac{x_n}{2014(x_{n+1}-1)}$

$\Rightarrow \frac{x_n}{x_{n+1}-1}=\frac{1}{2014}\left(\frac{1}{x_n-1}-\frac{1}{x_{n+1}-1} \right)$

Khi đó $\lim \left ( \frac{x_1}{x_2-1}+\frac{x_2}{x_3-1}+...+\frac{x_n}{x_{n+1}-1}\right)=\frac{2014}{a-1}$

Câu 3: Giả sử $x_0$ là nghiệm chung thỏa hệ $\left\{\begin{matrix}
 x_0^2+px_0+1=0 \\
 x_0^2+qx_0+2=0
\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow (p-q)x_0=1$

Nếu $p=q$ hoặc $x_0=0$ vô lí

$\Rightarrow x_0=\frac{1}{p-q}$

Thay vào hai phương trình được $2p^2-3pq+q^2+1=0$

Dùng miền giá trị suy ra $min A=4$ tại $q=3$

$\Rightarrow ...$




#457959 $8x^{2}-13x+7=(x+\frac{1}{x})\sq...

Gửi bởi N H Tu prince trong 16-10-2013 - 19:23



Giải phương trình:

$8x^{2}-13x+7=(x+\frac{1}{x})\sqrt[3]{3x^{2}-2}$

Mình nghĩ đề là $8x^{2}-13x+7=(1+\frac{1}{x})\sqrt[3]{3x^{2}-2}$




#456717 Đề thi chọn đội tuyển Trà Vinh tham dự VMO 2014

Gửi bởi N H Tu prince trong 10-10-2013 - 23:19

 

Bài 1. (4 điểm) Tính các góc của tam giác $ABC$, biết tam giác $ABC$ thỏa cả $3$ điều kiện sau:
 
$\widehat{A}> \widehat{B}> \widehat{C}$
$cos3A+cos3B+cos3C=1$
$sin5A+sin5B+sin5C=0$
 
Bài 2. (4 điểm) Giải các phương trình sau:
 
1. $x^{2}-2xsin(xy)+1= 0$
2. $\sqrt{4x^{2}+5x+1}-2\sqrt{x^{2}-x+1}= 9x-3$
 
Bài 3. (2.5 điểm) Giải bất phương trình : $4\left ( x^{3}-2x+1 \right )\left ( sinx+2cosx \right )\geqslant 9\left | x^{3}-2x+1 \right |$
 
Bài 4. (3.5 điểm) Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa $a+b+c\leqslant \frac{3}{2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$S= \sqrt{a^{2}+\frac{1}{a^{2}}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{ b^{2}}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{c^{2}}}$
 
Bài 5. (3 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho điểm $A\left ( 2;2 \right )$ và hai đường thẳng $d_{1}:x+y-2= 0,d_{2}:x+y-8= 0$. Tìm $B,C$ tương ứng trên $d_{1}$ và$d_{2}$ sao cho tam giác $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$.
 
Bài 6. (3.0 điểm) Cho hình thang $ABCD$,đáy lớn $AB$ cố định $($với $AB=a$$)$,đáy nhỏ $CD$ có độ dài $CD=b$ không đổi. $CD$ chuyển động sao cho hai cạnh bên $AD+BC=1$. Giả sử $M$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$. Tìm quỹ tích của điểm $M$.

Theo mathsope

 

Câu 1: $1=\cos 3A+\cos 3B+\cos 3C=2\cos \frac{3(A+B)}{2}\cos \frac{3(A-B)}{2}+1-2\sin^2 \frac{3C}{2}$

$\Rightarrow 1=-2\sin \frac{3C}{2}\cos \frac{3(A-B)}{2}=1-2\sin \frac{3C}{2}\left(\cos \frac{3(A+B)}{2}-\cos \frac{3(A-B)}{2} \right)$

$\Rightarrow 1=1+4\sin \frac{3A}{2}\sin \frac{3B}{2}\sin \frac{3C}{2}\Rightarrow \sin \frac{3A}{2}\sin \frac{3B}{2}\sin \frac{3C}{2}=0$

 

$0=\sin 5A+\sin 5B+\sin 5C=2\sin \frac{5(A+B)}{2}\cos \frac{5(A-B)}{2}+2\sin \frac{5C}{2}\cos \frac{5C}{2}$

$=2\cos \frac{5C}{2}\left(\cos \frac{5(A-B)}{2}+\cos \frac{5C}{2} \right)$

$\Rightarrow \cos \frac{5A}{2}\cos \frac{5B}{2}\cos \frac{5C}{2}=0$

 

Từ đó suy ra $A=120^o,B=36^o,C=24^o$

 

Câu 2:

1)$\Leftrightarrow (x-\sin xy)^2+\cos^2 xy=0$

Câu 3: ĐK:$VT\ge 0$

Bình phương đưa về dạng $(x^3-2x+1)^2\left[4(\sin x+2\cos x)^2-81 \right]\ge 0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
 x^3-2x+1=0 \\
 4(\sin x+2\cos x)^2-81\ge 0
\end{matrix}\right.$

Câu 5: $B(a;2-a);C(b;8-b)$

$\overrightarrow{AB}=(a-2;-a),\overrightarrow{AC}=(b-2;6-b)$

$AB=AC\Rightarrow (a-2)^2+a^2=(b-2)^2+(6-b)^2$ (1)

$AB\perp AC\Rightarrow (a-2)(b-2)+(-a)(6-b)=0$ (2)

Lấy $2.(1)-3.(2)\Rightarrow (a-2b+7)(2a+b-6)=0$




#456414 Đề thi chọn HSG tỉnh An Giang năm học 2013 - 2014

Gửi bởi N H Tu prince trong 09-10-2013 - 20:08

 

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH AN GIANG_Vòng 1
 
Bài 1 (4 điểm). Cho hàm số $y=x^3-3x$ có đồ thị $($$C$$)$ và đường thẳng $(d):y=m(x-1)+2$. Tìm $m$ để $(d)$ cắt $($$C$$)$ tại $3$ điểm phân biệt.
 
Bài 2 (3 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số với $x>0$ 
 
$$y=f(x)=2x+\dfrac{1}{x}+\sqrt{2\left(1+\dfrac{1}{ x^2}\right)}$$
 
Bài 3 (6 điểm). Giải phương trình và hệ phương trình sau:
 
a) $\sin{2x}+\dfrac{1}{2}\tan{x}=\dfrac{3}{2}-\cos{2x}$
 
b) $\begin{cases} y^2-5\sqrt{x}+5=0 \\ \sqrt{x+2}=\sqrt{y^2+2y+3}-\dfrac{1}{5}y^2+y \end{cases}$
 
Bài 4 (3 điểm). Trong mặt phẳng $Oxy$ cho hai đường thẳng $(\Delta):x-y+2=0,(d):3x+y-4=0$ và điểm $A(2;2)$. Viết phương trình $($$C$$)$ đi qua điểm $A$ có tâm nằm trên đường thẳng $(d)$ và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$.
 
Bài 5 (4 điểm). Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA=SB=SD=BD=2a,AB=BC=a, \widehat{CBD}=2\widehat{ADB}, \widehat{ABD}=2\widehat{BDC}$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ theo $a$.

Nguồn: Mathscope

 

 

Câu 2: Áp dụng $\text{AM-GM}$

$y\ge 2x+\frac{1}{x}+1+\frac{1}{x}\ge 5$

Đẳng thức xảy ra khi $x=1$

Câu 3:

a.Với $\cos x=0$ thì phương trình vô nghiệm,chia hai vế cho $\cos^2 x=\frac{1}{1+\tan^2 x}$

$\Rightarrow 2\tan x+\frac{1}{2}\tan x(1+\tan^2 x)=\frac{3}{2}(1+\tan^2 x)-(\tan^2 x-1)$

$\Leftrightarrow \tan^3 x-5\tan^2 x+5\tan x-1=0$

$\Leftrightarrow (\tan x-1)(\tan^2 x-4\tan x+1)=0$

b.Từ phương trình (1) thay $y^2=5\sqrt{x}-5$ vào phương trình (2) được:

$\sqrt{x+2}+\sqrt{x}=\sqrt{(y+1)^2+2}+\sqrt{(y+1)^2}\Leftrightarrow x=(y+1)^2\Rightarrow \sqrt{x}=y+1$