N H Tu prince

1, Cho $X_{n}$ xác định bởi:

$X_{1}=2014 $

$X_{n+1}= \frac{1}{4-3X_{n}} với  \forall n\in N, n\geq 1$

2, Cho $X_{n}$ xác định bởi:

$X_{n}=a\in \left ( 1,2 \right )$

$X_{n+1}= 1+ X_{n}- \frac{1}{2}(X_{n})^2$

a, Chứng minh dãy có giới hạn

b, Tìm lim $X_{n}$

Đặt $y_n=x_n+1\Rightarrow y_{n+1}+1=\frac{1}{1-3y_n}\Rightarrow y_{n+1}=\frac{3y_n}{1-3y_n}$

Đặt $u_n=\frac{1}{y_n}\Rightarrow u_{n+1}=\frac{1}{3}u_n-1$

$\Rightarrow u_{n+1}+\frac{3}{2}=\frac{1}{3}\left(u_n+\frac{3}{2} \right)$

Đặt $v_n=u_n+\frac{3}{2}\Rightarrow v_{n+1}=\frac{1}{3}v_n\Rightarrow v_n$ là cấp số nhân....

$\Rightarrow ....$

$PT\Rightarrow x+2x=x^{2}\Rightarrow x(x-3)=0\Rightarrow \begin{bmatrix} x=0 & \\ x=3 & \end{bmatrix}$

Cách làm sai vì có hữu hạn căn thức,giá trị trong căn không bằng $x$

Tìm $x\in \mathbb{Z}$: $\sqrt{x+2\sqrt{x+...+2\sqrt{x+2\sqrt{3x}}}}=x$

Gọi $n$ là số căn thức

Đặt $a_1=\sqrt{3x},a_2=\sqrt{x+2\sqrt{3x}},a_3=\sqrt{x+2\sqrt{x+\sqrt{3x}}},...,$

$a_{n}=\sqrt{x+2\sqrt{x+2\sqrt{x+...+2\sqrt{x+2\sqrt{3x}}}}}$

$a_i\ge 0$

Ta có hệ $\left\{\begin{matrix}
 a_1^2-x=2x \\
 a_2^2-x=2a_1 \\
 a_3^2-x=2a_2 \\
 .... \\
 a_n^2-x=2a_{n-1} \\
 \end{matrix}\right.$

Giả sử $x=min(x,a_i)$

Giả sử $x\le a_1\Rightarrow a_1^2\le a_2^2\Rightarrow a_1\le a_2\Rightarrow ...a_{n-1}\le a_n=x$

$\Rightarrow a_1=a_2=..=a_n=x$

$\Rightarrow \left[\begin{matrix}
 x=0 \\
 x=3
\end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng 

$(C^{0}_{n})^{2}+(C^{1}_{n})^{2}+...+(C^{n}_{n})^{2}=(C^{n}_{2n})^{2}  \forall n\geq1$

Xuất phát từ đẳng thức $(1+x)^{n}(x+1)^{n}=(x+1)^{2n}$

$VT=\left(\sum_{k=1}^{n} C_{n}^kx^k \right)\left(\sum_{k=1}^{n} C_{n}^kx^{n-k} \right)$

Hệ số của $x^{n}$ là $(C_{n}^{0})^{2}+(C_{n}^{1})^{2}+(C_{n}^{2})^{2}+...+(C_{n}^{n})^{2}$

$VP=\sum_{i=0}^{2n} C_{2n}^i x^{2n}$

Hệ số của $x^{n}$ là $(C_{2n}^{n})^{2}$

Suy ra $Q.E.D$

Em có vài câu phương trình mong mọi người giúp đỡ

$1+\frac{x}{\sqrt{3x-2}}=\frac{1+\sqrt{3x-2}}{x}$

$\sqrt{\frac{x^3+1}{x+3}}+\sqrt{x+1}=\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x+3}$

$x^2+2x\sqrt{x-\frac{1}{x}}=3x+1$

$\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}=x(1+2\sqrt{1-x^2})$

Xin cảm ơn!!!

1.Quy đồng hai vế được $\dfrac{(x-1)\left(x-2+\sqrt{3x-2} \right)}{x\sqrt{3x-2}}=0$

2.$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{x^3+1}{x+3}}-\sqrt{x+3}=\sqrt{x^2-x+1}-\sqrt{x+1}$

Bình phương hai vế là OK

3.$\Leftrightarrow x+2\sqrt{x-\frac{1}{x}}=3+\frac{1}{x}\Leftrightarrow x-\frac{1}{x}+2\sqrt{x-\frac{1}{x}}=3$

4.Bình phương hai vế được $(1-4x^2)\left(1-x^2+\sqrt{1-x^2} \right)=0$

$.....$

Tìm tất cả các hàm số liên tục $f:R\rightarrow R$ thỏa: $f(x+y)+f(x-y)=2(f(x)+f(y))\forall x,y\in R$

$x=y=0\Rightarrow f(0)=0$

$y:=-y\Rightarrow f(x)=f(-x)$

$x=y\Rightarrow f(2x)=4f(x)$

Đặt $f(x)=g(x).x^2$

$\Rightarrow g(2x)=g(x)$

$f$ liên tục $\Rightarrow g$ liên tục

$\Rightarrow g(2x)=g(x)=g\left(\frac{x}{2} \right)=...=g\left(\frac{x}{2^n} \right)$

$n\rightarrow +\infty\Rightarrow \frac{x}{2^n}\rightarrow 0$

$\Rightarrow g(x)=g(0)=c=const$

$\Rightarrow f(x)=cx^2$

1) $4\sqrt{x^2+x+1}=1+5x+4x^2-2x^3-x^4$

4) $729x^4+8\sqrt{1-x^2}=36$

1.Phân tích biểu thức ngoài căn thành nhân tử ngon lành

$\Leftrightarrow x(x+1)(x^2+x-5)+4\sqrt{x^2+x+1}=1$

Đặt $\sqrt{x^2+x+1}=t\Rightarrow (t^2-1)(t^2-6)+4t=1\Leftrightarrow t^4-7t^2+4t+5=0\Leftrightarrow (t^2-t-1)(t^2+t-5)=0$

4.Đặt $a=27x^2,b=\sqrt{1-x^2}$ ta có hệ:

$\left\{\begin{matrix}
 a^2+8b=36 \\
 a+27b^2=27 \\
\end{matrix}\right.$

Thế $a=27-27b^2$ vào $PT1\Rightarrow 729b^4-1458b^2+8b+693=0\Leftrightarrow (9b^2+2b-9)(81b^2-18b-77)=0$

Giải pt: $\sqrt{(x+2)(2x-1)}-3\sqrt{x+6}=4-\sqrt{(x+6)(2x-1)}+3\sqrt{x+2}$

Đặt $a=\sqrt{x+2},b=\sqrt{x+6},c=\sqrt{2x-1}$,ta có hệ

$\left\{\begin{matrix}
 (a+b)(c-3)=4 \\
 a^2-b^2=-4 \\
 2a^2-b^2=5 \\
 2b^2-c^2=13 \\
\end{matrix}\right.$

Giải ba phương trình sau ta được $a=3,b=c=\sqrt{13}$

$\Rightarrow ...$

 ai giúp e phương trình này với

bài 1:$\sqrt{1+\frac{2}{x}}=-2x-4+\frac{3}{x}$

 

bài 2: $4(2x^{2}+1)+3(x^{2}-2x)\sqrt{2x-1}=2(x^{3}+5x)$

1.Nhân hai vế cho $x\Rightarrow 2x^2+4x-3+\sqrt{x^2+2x}=0\Leftrightarrow (2\sqrt{x^2+2x}+3)(\sqrt{x^2+2x}-1)=0$

2.$PT\Leftrightarrow (2-x)(2x^2-4x+2-3x\sqrt{2x-1})=0$

$\Leftrightarrow (2-x)(x-2\sqrt{x-1})(2x+\sqrt{x-1})=0$

Chứng minh $(C_{2n}^{0})^{2}-(C_{2n}^{1})^{2}+(C_{2n}^{2})^{2}-...+(C_{2n}^{2n})^{2}=(-1)^{n}(C_{2n}^{n})^{2}$

Chứng minh $C_{n}^{0}.C_{n}^{k}+C_{n}^{1}.C_{n}^{k+1}+...+C_{n}^{n-k}.C_{n}^{n}=C_{n+k}^{2n}$

1.Xuất phát từ đẳng thức $(1+x)^{2n}(x-1)^{2n}=(x^2-1)^{2n}$

$VT=\left(\sum_{k=1}^{2n} C_{2n}^kx^k \right)\left(\sum_{k=1}^{2n} C_{2n}^k(-1)^kx^{2n-k} \right)$

Hệ số của $x^{2n}$ là $(C_{2n}^{0})^{2}-(C_{2n}^{1})^{2}+(C_{2n}^{2})^{2}-...+(C_{2n}^{2n})^{2}$

$VP=\sum_{i=0}^{2n} C_{2n}^i(-x)^{2n}$

Hệ số của $x^{2n}$ là $(-1)^{n}(C_{2n}^{n})^{2}$

Suy ra ...

2.Chắc đề thế này $C_{n}^{0}.C_{n}^{k}+C_{n}^{1}.C_{n}^{k+1}+...+C_{n}^{n-k}.C_{n}^{n}=C_{2n}^{n+k}$

Xuất phát từ đẳng thức $(1+x)^n(1+x)^n=(1+x)^{2n}$

So sánh hệ số của $x^k$

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+xy+2x=5y\\ x^{3}+x^{2} y-x^{2}+2xy-6x+3y=0 \end{matrix}\right.$

Với $y=0\Rightarrow ....$

Với $y\ne 0$ chia hai phương trình cho y

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
 \frac{x^2+2x}{y}+(x+y-3)=2 \\
 \frac{x^2+2x}{y}.(x+y-3)+3=0 \\
\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow 8x^3-13x^2+7x=(x+1)\sqrt[3]{3x^2-2}$

$\Leftrightarrow (2x-1)^3-(x^2-x-1)=(x+1)\sqrt[3]{(x+1)(2x-1)+(x^2-x-1)}$

Đặt $a=2x-1,b=\sqrt[3]{3x^2-2}$ ta có hệ:

$\left\{\begin{matrix}
 a^3-(x^2-x-1)=(x+1)b \\
 b^3-(x^2-x-1)=(x+1)a \\
\end{matrix}\right.$

Đây là hệ đối xứng loại 2,trừ (1) cho (2) được $a^3-b^3+ax-bx+a-b=0$

$\Leftrightarrow (a-b)(a^2+ab+b^2+x+1)=0$

Với $a=b$ suy ra $(2x-1)^3=3x^2-2\Leftrightarrow ...$

Với $a^2+ab+b^2+x+1=0$ trường hợp này chưa biết phải sử lí sao

Ngày 1.

Thời gian: 180 phút

Bài 1. Giải hệ phương trình: 

$$\begin{cases} x^2+y^2+xy+1=4y \\ y(x+y)^2=2x^2+7y+2\end{cases}$$

Bài 2. Cho dãy $(x_n)$ thỏa

$$\begin{cases} x_1 = a>1 \\ 2014x_{n+1}=x_n^2+2013x_n\end{cases}$$

Tìm $$\lim \left ( \frac{x_1}{x_2-1}+\frac{x_2}{x_3-1}+...+\frac{x_n}{x_{n+1}-1}\right)$$

Bài 3. Tìm số thực $p,q$ sao cho phương trình $x^2+px+1=0$ và $x^2+qx+2=0$ có nghiệm chunng và $A=2|p|+3|q|$ nhỏ nhất.

Bài 5. Tìm $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa $$f(2013f(x+y)) = f(x+y) +2013f(x)f(y) - \frac{xy}$

Câu 5 đề bị lỗi

Câu 1: Với $y=0$ thì phương trình vô nghiệm,chia hai vế hai phương trình cho y ta có hệ mới:

$\left\{\begin{matrix}
 \frac{x^2+1}{y}+(x+y)=4 \\
 (x+y)^2=2\frac{x^2+1}{y}+7
\end{matrix}\right.$

Câu 2: $2014x_{n+1}-2014=(x_n-1)(x_n+2014)$

$\Rightarrow \frac{1}{2014(x_{n+1}-1)}=\frac{2014}{2015}\left(\frac{1}{x_n-1}-\frac{1}{x_n+2014} \right)=-\frac{1}{2015} \left(\frac{2014}{x_n+2014}+\frac{1}{x_n-1}-\frac{2015}{(x_n-1)} \right)=\frac{1}{x_n-1}-\frac{x_n}{2014(x_{n+1}-1)}$

$\Rightarrow \frac{x_n}{x_{n+1}-1}=\frac{1}{2014}\left(\frac{1}{x_n-1}-\frac{1}{x_{n+1}-1} \right)$

Khi đó $\lim \left ( \frac{x_1}{x_2-1}+\frac{x_2}{x_3-1}+...+\frac{x_n}{x_{n+1}-1}\right)=\frac{2014}{a-1}$

Câu 3: Giả sử $x_0$ là nghiệm chung thỏa hệ $\left\{\begin{matrix}
 x_0^2+px_0+1=0 \\
 x_0^2+qx_0+2=0
\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow (p-q)x_0=1$

Nếu $p=q$ hoặc $x_0=0$ vô lí

$\Rightarrow x_0=\frac{1}{p-q}$

Thay vào hai phương trình được $2p^2-3pq+q^2+1=0$

Dùng miền giá trị suy ra $min A=4$ tại $q=3$

$\Rightarrow ...$

Giải phương trình:

$8x^{2}-13x+7=(x+\frac{1}{x})\sqrt[3]{3x^{2}-2}$

Mình nghĩ đề là $8x^{2}-13x+7=(1+\frac{1}{x})\sqrt[3]{3x^{2}-2}$

 

Bài 1. (4 điểm) Tính các góc của tam giác $ABC$, biết tam giác $ABC$ thỏa cả $3$ điều kiện sau:

 

$\widehat{A}> \widehat{B}> \widehat{C}$

$cos3A+cos3B+cos3C=1$

$sin5A+sin5B+sin5C=0$

 

Bài 2. (4 điểm) Giải các phương trình sau:

 

1. $x^{2}-2xsin(xy)+1= 0$

2. $\sqrt{4x^{2}+5x+1}-2\sqrt{x^{2}-x+1}= 9x-3$

 

Bài 3. (2.5 điểm) Giải bất phương trình : $4\left ( x^{3}-2x+1 \right )\left ( sinx+2cosx \right )\geqslant 9\left | x^{3}-2x+1 \right |$

 

Bài 4. (3.5 điểm) Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa $a+b+c\leqslant \frac{3}{2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$S= \sqrt{a^{2}+\frac{1}{a^{2}}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{ b^{2}}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{c^{2}}}$

 

Bài 5. (3 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho điểm $A\left ( 2;2 \right )$ và hai đường thẳng $d_{1}:x+y-2= 0,d_{2}:x+y-8= 0$. Tìm $B,C$ tương ứng trên $d_{1}$ và$d_{2}$ sao cho tam giác $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$.

 

Bài 6. (3.0 điểm) Cho hình thang $ABCD$,đáy lớn $AB$ cố định $($với $AB=a$$)$,đáy nhỏ $CD$ có độ dài $CD=b$ không đổi. $CD$ chuyển động sao cho hai cạnh bên $AD+BC=1$. Giả sử $M$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$. Tìm quỹ tích của điểm $M$.

Theo mathsope

 

Câu 1: $1=\cos 3A+\cos 3B+\cos 3C=2\cos \frac{3(A+B)}{2}\cos \frac{3(A-B)}{2}+1-2\sin^2 \frac{3C}{2}$

$\Rightarrow 1=-2\sin \frac{3C}{2}\cos \frac{3(A-B)}{2}=1-2\sin \frac{3C}{2}\left(\cos \frac{3(A+B)}{2}-\cos \frac{3(A-B)}{2} \right)$

$\Rightarrow 1=1+4\sin \frac{3A}{2}\sin \frac{3B}{2}\sin \frac{3C}{2}\Rightarrow \sin \frac{3A}{2}\sin \frac{3B}{2}\sin \frac{3C}{2}=0$

$0=\sin 5A+\sin 5B+\sin 5C=2\sin \frac{5(A+B)}{2}\cos \frac{5(A-B)}{2}+2\sin \frac{5C}{2}\cos \frac{5C}{2}$

$=2\cos \frac{5C}{2}\left(\cos \frac{5(A-B)}{2}+\cos \frac{5C}{2} \right)$

$\Rightarrow \cos \frac{5A}{2}\cos \frac{5B}{2}\cos \frac{5C}{2}=0$

Từ đó suy ra $A=120^o,B=36^o,C=24^o$

Câu 2:

1)$\Leftrightarrow (x-\sin xy)^2+\cos^2 xy=0$

Câu 3: ĐK:$VT\ge 0$

Bình phương đưa về dạng $(x^3-2x+1)^2\left[4(\sin x+2\cos x)^2-81 \right]\ge 0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
 x^3-2x+1=0 \\
 4(\sin x+2\cos x)^2-81\ge 0
\end{matrix}\right.$

Câu 5: $B(a;2-a);C(b;8-b)$

$\overrightarrow{AB}=(a-2;-a),\overrightarrow{AC}=(b-2;6-b)$

$AB=AC\Rightarrow (a-2)^2+a^2=(b-2)^2+(6-b)^2$ (1)

$AB\perp AC\Rightarrow (a-2)(b-2)+(-a)(6-b)=0$ (2)

Lấy $2.(1)-3.(2)\Rightarrow (a-2b+7)(2a+b-6)=0$

 

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH AN GIANG_Vòng 1

 

Bài 1 (4 điểm). Cho hàm số $y=x^3-3x$ có đồ thị $($$C$$)$ và đường thẳng $(d):y=m(x-1)+2$. Tìm $m$ để $(d)$ cắt $($$C$$)$ tại $3$ điểm phân biệt.

 

Bài 2 (3 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số với $x>0$ 

 

$$y=f(x)=2x+\dfrac{1}{x}+\sqrt{2\left(1+\dfrac{1}{ x^2}\right)}$$

 

Bài 3 (6 điểm). Giải phương trình và hệ phương trình sau:

 

a) $\sin{2x}+\dfrac{1}{2}\tan{x}=\dfrac{3}{2}-\cos{2x}$

 

b) $\begin{cases} y^2-5\sqrt{x}+5=0 \\ \sqrt{x+2}=\sqrt{y^2+2y+3}-\dfrac{1}{5}y^2+y \end{cases}$

 

Bài 4 (3 điểm). Trong mặt phẳng $Oxy$ cho hai đường thẳng $(\Delta):x-y+2=0,(d):3x+y-4=0$ và điểm $A(2;2)$. Viết phương trình $($$C$$)$ đi qua điểm $A$ có tâm nằm trên đường thẳng $(d)$ và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$.

 

Bài 5 (4 điểm). Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA=SB=SD=BD=2a,AB=BC=a, \widehat{CBD}=2\widehat{ADB}, \widehat{ABD}=2\widehat{BDC}$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ theo $a$.

Nguồn: Mathscope

 

 

Câu 2: Áp dụng $\text{AM-GM}$

$y\ge 2x+\frac{1}{x}+1+\frac{1}{x}\ge 5$

Đẳng thức xảy ra khi $x=1$

Câu 3:

a.Với $\cos x=0$ thì phương trình vô nghiệm,chia hai vế cho $\cos^2 x=\frac{1}{1+\tan^2 x}$

$\Rightarrow 2\tan x+\frac{1}{2}\tan x(1+\tan^2 x)=\frac{3}{2}(1+\tan^2 x)-(\tan^2 x-1)$

$\Leftrightarrow \tan^3 x-5\tan^2 x+5\tan x-1=0$

$\Leftrightarrow (\tan x-1)(\tan^2 x-4\tan x+1)=0$

b.Từ phương trình (1) thay $y^2=5\sqrt{x}-5$ vào phương trình (2) được:

$\sqrt{x+2}+\sqrt{x}=\sqrt{(y+1)^2+2}+\sqrt{(y+1)^2}\Leftrightarrow x=(y+1)^2\Rightarrow \sqrt{x}=y+1$