N H Tu prince

Giải hệ pt:

$\left\{\begin{matrix}x^{2}-xy+y^{2}=21\\ y^{2}-2xy+5=0\end{matrix}\right.$

$5.PT(1)+21.PT(2)\Leftrightarrow 5x^2-47xy+26y^2=0\Rightarrow 5\left(\frac{x}{y} \right)^2-47\frac{x}{y}+26=0$

$\Rightarrow x=\frac{1}{10}y(47\pm \sqrt{1689})$

$\Rightarrow ...$

Câu 1 (4 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số:

$$y=2x^2-4x+6\sqrt{(x+4)(6-x)}+3$$

trên đoạn $[-4;6]$.

 

Câu 2 (4 điểm)

Giải phương trình:

$$\sin 3x + \sin 2x + \sin x + 1 = \cos 3x + \cos 2x - \cos x$$

 

Câu 3 (4 điểm)

Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix}x^3-3x^2+6x-4=y^3+3y\\ \sqrt{x-3}+\sqrt{y+1}=3 \end{matrix}\right.$$

 

Câu 4 (4 điểm)

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$, cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là trung điểm $H$ của đoạn thẳng $AO$. Biết $SH=2a$.

a) Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng $(SCD)$ và $(ABCD)$.

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$.

 

Câu 5 (4 điểm)

Cho dãy số $(a_n)$ xác định như sau:

$$\left\{\begin{matrix}a_1&=&5 \\ a_{n+1} &=& \frac{a_n^2-2a_n+16}{6}\end{matrix}\right.$$

Đặt:

$$S = \sum_{i=1}^n\frac{1}{a_i+2}$$

Tìm $\lim S_n$.

Câu 1: $y'=\dfrac{6-6x}{(x+4)(6-x)}+4x-4$

$y'=0\Rightarrow 4(x-1)\sqrt{(x+4)(6-x)}=6-6x$

$\Rightarrow -16x^4+64x^3+268x^2-664x+348=0$

$\Leftrightarrow (x-1)^2(4x^2-8x-87)=0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}
 x=1 \\
 x=\frac{1}{2}(2\pm \sqrt{91})
\end{matrix}\right.$

Lập bảng biến thiên ta được $min_{y}=31$ tại $x=1,max_y=\frac{111}{2}$ tại $x=\frac{1}{2}(2\pm \sqrt{91})$

Bài 2: $\sin 3x + \sin 2x + \sin x + 1 = \cos 3x + \cos 2x - \cos x$

$\Leftrightarrow 2\cos 2x\sin x+\sin 2x+1=-2\sin 2x\sin x+\cos 2x$

$\Leftrightarrow 2\cos 2x\sin x+\sin 2x=-2\sin 2x\sin x-2\sin^2 x$

$\Leftrightarrow 2\sin x(\cos 2x+\cos x+\sin 2x+\sin x)=0$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{2}\sin x\left[\cos \left(2x+\frac{\pi}{4} \right)+\cos \left(x+\frac{\pi}{4} \right) \right]=0$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
 x=k\pi \\
 x=\frac{\pi}{2}+k2\pi \\

 x=-\frac{\pi}{6}+k2\pi \\

 x=-\frac{5\pi}{6}+k2\pi \\
\end{matrix}\right.$

Câu 3: Phương trình (1) tương đương $(x-1)^3+3(x-1)=y^3+3y\Rightarrow y=x-1$

Thay vào phương trình (2) được $\sqrt{x-3}+\sqrt{x}=3\Leftrightarrow x=4$

Câu 5: $a_{n+1}-a_n=\frac{1}{6}(a_n-4)^2\ge 0$ nên $a_n$ là dãy tăng

$\lim x_n=+\infty$

$a_{n+1}-4=\frac{1}{6}(a_n+2)(a_n-4)\Rightarrow \frac{1}{a_{n+1}-4}=\frac{1}{a_n-4}-\frac{1}{a_n+2}$

$\Rightarrow \frac{1}{a_n+2}=\frac{1}{a_{n+1}-4}-\frac{1}{a_n-4}$

$\Rightarrow S_n=\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i+2}=\frac{1}{a_{n+1}-4}-\frac{1}{a_1-4}=\frac{1}{a_{n+1}-4}-1$

$\Rightarrow \lim S_n=-1$

Giai phuong trinh:

$\left ( x-2 \right )\sqrt{x^{3}+1}= 2\sqrt{2}x^{2}-x-2$

Không biết ý đồ tác giả thế nào chứ mình làm vật vã quá

Bình phương hai vế được $x^5-12x^4+(4\sqrt{2}+1)x^3+8\sqrt{2}x^2-8x=0$

$\Leftrightarrow x\left(x^4-12x^3+(4\sqrt{2}+4)x^2+8\sqrt{2}x-8 \right)=0$

Với phương trình $x^4-12x^3+(4\sqrt{2}+4)x^2+8\sqrt{2}x-8=0$

Đặt $x=y+3$ được $y^4+(4\sqrt{2}-50)y^2+(32\sqrt{2}-192)y+60\sqrt{2}-215=0$

$\Leftrightarrow y^4=-(4\sqrt{2}-50)y^2-(32\sqrt{2}-192)y-60\sqrt{2}+215$

$\Leftrightarrow (y^2+m)^2=-(4\sqrt{2}-50)y^2-(32\sqrt{2}-192)y-60\sqrt{2}+215+2my^2+m^2=(2m-4\sqrt{2}+50)y^2-(32\sqrt{2}-192)y-60\sqrt{2}+215+m^2$(1)

Ta tìm $m$ để VP là một bình phương,khi đó phương trình sẽ đưa về bậc hai

Để $VP$ chính phương thì $\Delta=0$

$\Rightarrow (32\sqrt{2}-192)^2-4(2m-4\sqrt{2}+50)(m^2-60\sqrt{2}+215)=0$

$\Leftrightarrow m^3-(2\sqrt{2}-25)m^2+5(12\sqrt{2}-43)m+394\sqrt{2}-751=0$

Chơi liều Cardano hoặc chuyển đổi nghiệm vô tỷ sang căn thức bằng casio,ta có một nghiệm $m=-9+2\sqrt{2}$

Thay vào phương trình (1) ta phân tích (1) thành tích hai phương trình bậc hai,ta có nghiệm:

$\left[\begin{matrix}
 y=-2\sqrt{2}\pm \sqrt{21-14\sqrt{2}} \\
 y=2\sqrt{2}\pm \sqrt{13+10\sqrt{2}}
\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow x=...$

Spoiler

Giải PT:  $\sqrt{2x^{2}+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}=3x$

ĐK:$x\ge 0$

$\Leftrightarrow \sqrt{2x^2+x+1}=3x-\sqrt{x^2-x+1}$

Bình phương hai vế được: $4x^2-x=3\sqrt{x^2-x+1}$

Tiếp tuc bình phương được $16x^4-8x^3-8x^2+9x-9=0$

$\Leftrightarrow (x-1)(16x^3+8x^2+9)=0$

$\Leftrightarrow x=1\wedge x^3+\frac{1}{2}x^2+\frac{9}{16}=0$

Với phương trình $x^3+\frac{1}{2}x^2+\frac{9}{16}=0$

Đặt $x=\frac{1}{6}\left(t+\frac{1}{t} \right)-\frac{1}{6}$,phương trình trở thành:

$\dfrac{2t^6+247t^3+2}{432t^3}=0$

$\Rightarrow t_1=\frac{1}{t_2}=\dfrac{-\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{247+9\sqrt{753}}}<0$

$\Rightarrow x=\frac{1}{6}\left(t+\frac{1}{t} \right)-\frac{1}{6}<0$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $\boxed{x=1}$

$4\sqrt{1+x}-1= 3x+2\sqrt{1-x}+\sqrt{1-x^{2}}$    

Đặt $\sqrt{1-x}=a\Rightarrow x=1-a^2$ phương trình trở thành:

$3a^2-(a-4)\sqrt{2-a^2}-2a-4=0$

$\Leftrightarrow \left(a-2\sqrt{2-a^2} \right)\left(\sqrt{2-a^2}+a-2 \right)=0$

$\Rightarrow ...$

Giải phương trình $x^{3}-3x^{2}-1=0$

Đặt $x=t+\frac{1}{t}+1$, theo Cauchy $x\ge 3\wedge x\le -1$ phương trình trở thành:

$t^3+\frac{1}{t^3}-3=0\Leftrightarrow t=\sqrt[3]{\frac{1}{2}(3\pm \sqrt{5})}$

Suy ra phương trình có nghiệm: $x=\dfrac{\sqrt[3]{3-\sqrt{5}}+\sqrt[3]{3+\sqrt{5}}}{\sqrt[3]{2}}$

Với $-1\le x\le 3$ đặt $x=2\cos \alpha+1$ được:

$\cos 3\alpha=\frac{3}{2}$,vô nghiệm

$\left\{\begin{matrix}

  x^{3}+8y^{3}-4xy^{2}=1 \\

 2x^{4}+8y^{4}-2x-y=0\end{matrix}\right.$

 

Với $x=0\Rightarrow ...$

$x\ne 0$ đặt $y=kx$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
  x^{3}(8k^3-4k^2+1)=1 \\
  x^3(8k^4+2)=2+k
\end{matrix}\right.$

$(1)$ chia $(2)$ suy ra $12k^2-8k+1=0$

$\Rightarrow ...$

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.

CMR: $a^{4}+b^{4}+c^{4}+2abc\left (a+b+c \right )\geq \left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )\left ( ab+bc+ca \right )$

Cách sử dụng đao to búa lớn

Sử dụng phép thế Ravi,đặt $a=x+y,b=y+z,c=z+x$

Bất đẳng thức tương đương với:

$4(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)-4xyz(x+y+z)\ge 0$

$\Leftrightarrow 2y^2(z-x)^2+2z^2(x-y)^2+2x^2(y-z)^2\ge 0$

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} 2y^{3}+2x\sqrt{1-x}=3\sqrt{1-x}-y\\ y+1=2x^{2}+2xy\sqrt{1+x} \end{matrix}\right.$              

                                               (Đề thi thử lần 2 năm 2013 khối A và A1 của Moon.vn)

$(2)\Leftrightarrow (y-\sqrt{1-x})\left(2y^2-2y\sqrt{1-x}-2x+3 \right)=0$

$\Leftrightarrow y=\sqrt{1-x}$

$(1)\Leftrightarrow 2x^2+2x\sqrt{1-x^2}-\sqrt{1-x}-1=0$

Đặt $x=\cos 2t$ được $-\sqrt{2}\sin t+\cos 4t+2\sin t\cos 2t=0\Leftrightarrow \sin t=\sin (4t+\frac{\pi}{4})$

Giải hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{matrix} 2\sqrt{x+y^{2}+y+3}-3\sqrt{y}=\sqrt{x+2}\\ y^{3}+y^{2}-3y-5=3x-3\sqrt[3]{x+2} \end{matrix}\right.$

$PT(1)\Leftrightarrow \sqrt{x+y^{2}+y+3}=\sqrt{x+2}+3\sqrt{y}$
$VT=2\sqrt{x+y^2+y+3}=2\sqrt{(y^2+y+1)+x+2}\ge 2\sqrt{x+3y+2}$
$VP=1.\sqrt{x+2}+\sqrt{3}\sqrt{3y}\le 2\sqrt{x+3y+2}$
$\Rightarrow VT\ge VP$
Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix}
 x=-1 \\
 y=1
\end{matrix}\right.$,thoả mãn $PT(2)$
Vậy nghiệm của hệ là $\boxed{(x,y)=(-1;1)}$

Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn trong giải phương trình vô tỷ

Đã có topic nói đến phương pháp này,nhưng mình muốn nói kỹ hơn về phương pháp này

Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn là một phương pháp hay trong giải phương trình vô tỷ, phương pháp này tạo ra một lời giải đẹp và ngắn gọn,tuy nhiên cũng gây nhiều thắc mắc khi nhìn vào lời giải, nó có thể sử dụng để giải nhiều dạng phương trình khác nhau nhưng phổ biến nhất là dạng $(ax+b)\sqrt{cx^2+dx+e} = px^2+qx+t$.Bài viết này sẽ giới thiệu đến các bạn phương pháp này.

Phương trình $(ax+b)\sqrt{cx^2+dx+e} = px^2+qx+t$ có thể giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ, bài viết cách này đang trôi nổi ở một nơi nào đó trên diễn đàn,em xin post lại

Chúng ta có thể đặt một ẩn phụ hoặc hai ẩn phụ để giải quyết phương trình, Mục đích là đưa phương trình trở thành một phương trình bậc hai hai ẩn,có biệt thức $\Delta$ là một biểu thức chính phương

Ví dụ mở đầu:

Giải phương trình $3x^2+x+3+(8x-3)\sqrt{2x^2+1}=0$

-Lời giải: Phương trình tương đương với $(3\sqrt{2x^2+1}-x)(\sqrt{2x^2+1}+3x-1)=0$

Đến đây phương trình đã trở nên đơn giản,dễ dàng giải tiếp

Khi nhìn vào lời giải trên không ít người thắc mắc về cách phân tích thành nhân tử phương trình trên,một lời giải khá gọn và đẹp nhưng tại sao lại có cách phân tích trên,chúng ta sẽ đi tìm lời giải đáp.

Mặc dù máy tính Casio có thể tìm được nghiệm của phương trình,chúng ta có thể dựa vào nghiệm vô tỷ hoặc nghiệm phức để tìm ra nhân tử,nhưng nếu phương trình không có nghiệm vô tỷ thì sao.phương pháp này có thể áp dụng cho cả hai trường hợp

Bài toán trên còn có một lời giải khác:

Đặt $\sqrt{2x^2+1}=t$,phương trình trở thành:

$3t^2+(8x-3)t-3x^2+x=0$

Ta có $\Delta_t=100x^2-60x+9=(10x-3)^2$

Từ đây dễ dàng giải tiếp

Nhìn hai cách giải trên có gì đó liên quan đến nhau.Từ lời giải 2 dễ dàng suy ra lời giải 1

Ở cách giải thứ 2,hệ số của $t^2$ là $3$,nếu hệ số khác có làm cho $\Delta$ chính phương không,đáp án là không.Vậy những số nào có thể thỏa mãn

Chúng ta gọi hệ số đó là $m$,khi đó phương trình trở thành

$mt^2+(8x-3)t+3x^2+x+3-m(2x^2+1)=0$

Chúng ta tìm $m$ để $\Delta_t$ chính phương

$\Delta_t=(8x-3)^2-4m[3x^2+x+3-m(2x^2+1)]=(8m^2-12m+64)x^2- (4m+48 )x+4m^2-4m+9$

$\Delta_t$ chính phương khi phương trình $\Delta=0$ có nghiệm duy nhất,tức là:

$\Delta_{\Delta_t}=0\Leftrightarrow -16m(8m^3-36m^2+117m-243)=0$

Dễ dàng thấy phương trình trên có nghiệm $m=3$,từ đó suy ra cách biến đổi phương trình để có hai lời giải trên

Tổng quát: Phương trình $(ax+b)\sqrt{cx^2+dx+e}=px^2+qx+t$

Viết lại phương trình thành $px^2+qx+t-(ax+b)\sqrt{cx^2+dx+e}=0$

Đặt $\sqrt{cx^2+dx+e}=t$

Ta sẽ biến đổi phương trình thành $mt^2-(ax+b)t+P_{(x)}=0 (1)$

Với $P_{(x)}=x^2+qx+t-m(cx^2+dx+e)$ và $\Delta_t$ là một biểu thức chính phương,nhiệm vụ của chúng ta là phải tìm một giá trị m thoả mãn yêu cầu

Viết lại phương trình $(1)$ thành $mt^2-(ax+b)\sqrt{cx^2+dx+e}+(1-mc)x^2+(q-md)x+(t-e)=0$

$\Delta_t=(ax+b)^2-4m\left[(1-mc)x^2+(q-md)x+(t-e) \right]$

$=(a^2-4m+4m^2c)x^2+(2ab-4mq+4m^2d)x+(b^2-4mt+4me)=Ax^2+Bx+C$

Để $\Delta_t$ chính phương khi phương trình $\Delta=0$ có nghiệm duy nhất,tức $\Delta_{\Delta_t}=0$

Hay $B^2-4AC=0\Rightarrow (2ab-4mq+4m^2d)^2-4(a^2-4m+4m^c)(b^2-4mt+4me)=0$

Khai triển vế trái của phương trình trên ta được một phương trình có dạng $m(a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4)=0$,phương trình này luôn có ít nhất hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm $m=0$

Sau khi tìm được giá trị $m$,ta dễ dàng giải quyết phương trinh $(1)$

VD: Giải phương trình $-4x^2+7+(2x-4)\sqrt{2-a^2}=0$

Đặt $\sqrt{2-a^2}=t$

Bước tiếp theo đi tìm m

$\Delta_t=(2x-4)^2-4m[-4x^2+7-m(2-x^2)]=(-4m^2+16m+4)x^2-16x+8m^2-28m+16$

$\Delta'_{\Delta_t}=64-(-4m^2+16m+4)(8m^2-28m+16)=32m^4-240m^3+480m^2-144m=m(32m^3-240m^2+480m-144)$

Giải phương trình $m(32m^3-240m^2+480m-144)=0$,ta tìm được nghiệm $m=3$

Phương trinh viết lại thành $3t^2+(2x-4)t-4x^2+7-3(2-x^2)=0$

$\Leftrightarrow 3t^2+2(x-2)t-x^2+1=0$

$\Delta'=(x-2)^2-3(1-x^2)=(2x-1)^2$

$\Rightarrow \left[\begin{matrix}
t=1-x \\
t=\frac{x+1}{3}
\end{matrix}\right.$

Vậy là bài toán được giải quyết

Một số phương trình

1.$(x+3)\sqrt{(4-x)(12+x)}=28 - x$

2.$2\sqrt{8-2x^2}+4x=\sqrt{9x^4-36x^2+52}$

3.$x\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}=1+\sqrt{x^2-1}+x\sqrt{x-1}$

4.$\sqrt{x^3-x}=2x^2-x-2$

5.$(1-2x)\sqrt{x+\frac{1}{4}}=x^2-2x$

6.$-4x^2+21x-22=\sqrt{3x-2}$

7.$4\sqrt{x+1}-1=3x+2\sqrt{1-x}+\sqrt{1-x^2}$

Giải phương trình sau:

$(8x-3)\sqrt{2x^{2}+1}+3x^{2}+x+3=0$

$\Leftrightarrow (3\sqrt{2x^2+1}-x)(\sqrt{2x^2+1}+3x-1)=0$

Dùng ẩn phụ lượng giác, giải phương trình: $$\sqrt{2-2\sqrt{1-x^2}}=x\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}$$

Đặt $x=\sin t,t\in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right]$

$\Leftrightarrow \sqrt{2-2\cos t}=\sin t\sqrt{1+\cos t}$

$\Leftrightarrow 2\sin \frac{t}{2}=\sqrt{2}\sin t\cos \frac{t}{2}$

$\Leftrightarrow 2\sin \frac{t}{2}\left(1-\sqrt{2}\cos^2 \frac{t}{2} \right)=0$

Giải 2 phương trình:

a, $x^9-12x^5-729=0$

b, $3y^3-4y+3=0$

 

P/s: Đối với pt b thì có thể giải bằng cardano hoặc lượng giác(thường dùng)..ko biết còn cách nào khác ko nhỉ ???

 Cardano và lượng giác vẫn có thể post lên

b,$\Leftrightarrow y^3-\frac{4}{3}+1=0$

Với $|y|<\frac{2}{3}$,đặt $y=\frac{4}{3}\cos t$,phương trình trở thành $\cos 3t=-\frac{27}{16}<-1$,vô nghiệm

Với $|y|\ge \frac{2}{3}$,đặt $y=\frac{2}{3}\frac{t^2+1}{t}$,phương trình trở thành $\frac{8t^6+27t^3+8}{27t^3}=0$

Đây là phương trình trùng phương có nghiệm $t=-\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(27\pm\sqrt{463} \right)}$

Từ đây ta tìm được nghiệm của phương trình ban đầu $y=-\frac{4}{3}\sqrt[3]{\frac{2}{27+\sqrt{463}}}-\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(27+\sqrt{463} \right)}$

$\frac{1}{sin^{2}x+sinx}+\frac{3}{cos^{2}x+cosx}=\frac{1}{sin2x}$

ĐK:...

$\Leftrightarrow \frac{6\sin^2 x-\sin x\cos x+5\sin x+2\cos^2 x+\cos x-1}{\sin 2x(\sin x+1)(\cos x+1)}=0$

$\Rightarrow 6\sin^2 x-\sin x\cos x+5\sin x+2\cos^2 x+\cos x-1=0$

$\Leftrightarrow 3\sin^2 x-2\sin x\cos x+10\sin x-5\cos^2 x+2\cos x+7=0$

$\Leftrightarrow (\sin x+\cos x+1)(3\sin x-5\cos x+7)=0$