N H Tu prince

tìm GTNN và GTLN của các biểu thức
$A=\frac{x^2+1}{x^2-x+1}$
$B=\frac{x^2}{x^2-5x+7}$
tìm GTNN của các biểu thức
$C=\frac{x}{x^2+2}$
$D=\frac{x^2}{(x^2+2)^3}$
$E=x^2+\frac{2}{x^3}$ Với $x>0$
$F=\frac{x+6\sqrt{x}+34}{\sqrt{x}+3}$ Với $x>0$
$G=\frac{x^3+2000}{x}$ Với $x>0$
$H=\frac{x^2+2x+17}{2(x+1)}$ Với $x>0$



p/c em mới mày mò học sơ sơ mấy cái này, xin mấy anh đừng làm tắt quá em không hiểu. Nếu được, xin cho em xin cái phương pháp làm mấy bài tập này thì em xin cảm ơn

Phương pháp chung của các bài toán này là biến đổi các biểu thức về một phương trình ẩn x, tham số là biểu thức, sau đó tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm
VD$A=\frac{x^2+1}{x^2-x+1}<=>x^2+1=A(x^2-x+1)<=>(1-A)x^2+Ax+1-A=0$
Pt có nghiêm khi $\delta \geq0$$<=>3A^2-8A+4\leq0$$<=>$$ \frac{2}{3}$$ \leq$$A\leq2$

Giới thiệu chút về trường mình

Tìm hai chữ số tân cùng của số :$14^{^{14^{14}}}$
Ai có cách dùng máy casio giải thì chỉ giùm mình . cám ơn trước nhé

$14^6=7529536$ tận cùng bằng 6
$7^{10}=282475249$ tận cùng bằng 9
$2^{10}=1024$ tận cùng bằng 4
$\rightarrow14^{10}$ tận cùng bằng 6
$\rightarrow14^{190}$ tận cùng bằng 6
$\rightarrow14^{14^{2}}=14^6.14^{190}$ tận cùng bằng 6
$14^{14^{14}}=14^{(14^2)^7}$ có hai chữ số tận cùng là hai chữ số tận cùng của $6^7(=2279936)$ là 36

Nhưng mà em có chỗ chưa hiểu mong các anh và các bạn hướng dẫn giúp
Nếu như vậy thì mọi giá trị của x đều làm cho biểu thức đó dương chứ ? Tại sao lại là khác 2 ?

Nếu $x=2$ thì biểu thức ban đầu không xác định do mẫu bằng $0$.

C/mR : biểu thức sau có giá trị dương với mọi x khác 2

$\frac{x^3-2x^2+3x-6}{5x-10}$

$\frac{x^3-2x^2+3x-6}{5x-10}$
$=\frac{(x-2)(x^2+3)}{5(x-2)}=x^2+3>0=>dpcm$
Nhờ các MOD xóa đi một bài

$\rightarrow$ xyz=2mn.(m^{2}-n^{2}).(m^{2}+n^{2}).d^{3} $\vdots$ 4

-$m,n$ khác tính chẵn lẻ$=>mn\vdots2=>dpcm$
-$m,n$ cùng chẵn $=>mn\vdots8\vdots4=>dpcm$
-$m,n$ cùng lẻ$=>m^2-n^2\vdots4=>dpcm$

Cầu cứu GS Ngô Bảo Châu giải toán… lớp 3

(ĐVO) Cộng đồng mạng kêu gọi sự “can thiệp” của giáo sư Ngô Bảo Châu nhằm chấm dứt “cuộc chiến” toán học đang gây tranh cãi dai dẳng, với đề bài được cho là của học sinh lớp 3.

Phép toán được ra như sau: 6 ÷ 2 (1+2) = ?, với hai đáp án được đưa ra lựa chọn là 1 và 9.

Tưởng như quá đơn giản, nhưng khi được đưa ra trên mạng xã hội Facebook, phép toán đã nhận được trên 120.000 lượt người trả lời chỉ sau vài ngày. Đáng ngạc nghiên là cả hai đáp án đều được lựa chọn với số người gần như chia đều. Kéo theo đó là hàng nghìn bình luận, tranh cãi xem kết quả đúng là 1 hay 9.

Trên Facebook, trên 120.000 người đã bầu chọn kết quả phép toán, trong đó khoảng 68.000 người ủng hộ kết quả là 9, 52.000 người chọn kết quả 1.

“Phe” ủng hộ kết quả là 1 cho rằng, phép toán này có thể viết dưới dạng phân số với “6” là tử số và “2(1+2)” là mẫu số, do vậy kết quả cuối cùng phải là 6 : 6 = 1. Hoặc áp dụng nguyên tắc nhân chia trước, cộng trừ sau, kết quả cũng ra 1. “Tính thử bằng Casio FX500ms cũng thấy nó bằng một”, thành viên vankiepsau cho biết.

“Phe” ủng hộ con số 9 thì lập luận: “Theo trật tự các phép tính thì đầu tiên thực hiện phép tính trong ngoặc trước rồi sau đó thực hiện các phép nhân/chia theo thứ tự từ trái qua phải. Tôi nghĩ đáp án là 9” (lời thành viên Love_Autopsy). “Phe số 9” dường như được nhiều người ủng hộ hơn “phe số 1”.

Ngay cả những công cụ tính toán tự động cũng chia ra làm hai “phe”. “Dán vào vào Google thì ra 9, nhưng dùng phần mềm calculator (gcalctool 5.32.0) thì lại ra 1”, thành viên Keosoft90 bối rối.

Có ý kiến cho rằng không thể giải phép toán vì cách viết ở phép toán sai nguyên tắc. “Từ bé thầy giáo mình đã dạy: nếu đề bài không rõ ràng thì đừng làm. Và từ bé tới giờ mình cũng chưa thấy ai lại viết dấu chia kiểu kia (keyboard cũng không có mà gõ ra) đi kèm với dấu nhân kiểu viết liền. Một đề toán mà không chính xác/rõ ràng thì làm sao có lời giải chính xác?”, thành viên kissme nhận xét.

Nhiều người thừa nhận rằng mình không thế chắc chắn kết quả nào là đúng. Thành viên TanNg, quản trị viên của một diễn đàn nổi tiếng chia sẻ: “Chịu. Vừa chạy đi hỏi con thì cả hai đứa đều ngủ. Mai mới có câu trả lời chính xác”. Thành viên heroic than thở: “Mình xuống lớp 1 đây”.

Do sự hóc búa của của “bài toán lớp 3” này mà trên diễn đàn Linkhay, thành viên nick Dora đã kêu gọi sự “can thiệp” của giáo sư Ngô Bảo Châu nhằm chấm dứt “cuộc chiến” toán học đang gây tranh cãi dai dẳng trên cộng đồng mạng. Thậm chí, thành viên ttkc000 còn "treo" giải thưởng: “Giáo sư giải quyết được vụ này thì tặng thêm căn hộ nữa trên Vincom!”.

6÷ 2 (1+2)=? kết quả như thế nào là đúng?
6÷ 2 (1+2)=? kết quả như thế nào là đúng?

Mấy ngày nay, cư dân mạng truyền nhau một bài toán được cho là của học sinh lớp 3 nhưng hàng trăm nghìn người cũng phải phân vân để giải bài toán. Đề bài được ra như sau: 6÷ 2 (1+2)=?. Tác giả cũng đưa ra hai đáp án để có thể lựa chọn là 1 và 9.
Dù mới đưa ra trên mạng được khoảng 2 tuần nhưng đã có hơn 120.000 lượt truy cập để đưa ra ý kiến tranh luận. Vẫn có nhiều ý kiến tranh luận xung quanh kết quả của bài toán này. Trong số đó có 68.115 người nhận định kết quả là 9 và có 51.686 người cho rằng kết quả là 1.
Bài toán được cho là của học sinh lớp 3 đang làm nóng cư dân mạng

Trên diễn đàn linkhay.com, nick namhyhoangphong đã viết: “Cảm ơn đã đưa bài toán này. Cách đây gần 1 năm có 1 phụ huynh đã phone hỏi mua đĩa CD Học Toán kèm điều kiện tôi giải giúp họ bài toán này. Tôi bận và không trả lời rồi quên. Nay thấy bài toán này. Tôi đã bổ sung nó vào phần thí dụ 7 ở bài Trật tự các phép toán (1 thí dụ rất hay về quy tắc BODMAS)”.

Một bạn có nick name Love - Autospy nói: "Theo trật tự các phép tính thì đầu tiên thực hiện phép tính trong ngoặc trước rồi sau đó thực hiện các phép nhân/chia theo thứ tự từ trái qua phải. Tôi nghĩ đáp án là 9".

Đồng tình với ý kiến này, nick TTKC000 cũng khẳng định: “nhân chia trước cộng trừ sau, trong ngoặc trước ngoài ngoặc sau, nhân chia thứ tự từ trái qua phải =9”.

Nick gwens83 lại nghĩ nên có cách hiểu khác: “đọc xuống thấy chủ yếu quan tâm vào nhân chia thứ tự thế nào, tức coi nhân chia ở đây là như bình thường .Vấn đề là toán tử nhân đã bị ẩn theo kiểu juxtaposition a.b=ab, mà kiểu ký pháp ẩn này khi đã dùng thì ngầm xác định thứ tự ưu tiên của nó là đầu tiên rồi. Nếu muốn thứ tự trái sang phải, phải viết tường minh vầy cơ $\frac{6}{ 2(2+1)}$. Kết quả ở đây phải bằng 1”.

Nick vodka_hanoi lại chia sẻ: “ lên cấp 2 học đại số, nhồi vào đầu cả đống kiến thức về đa thức nên bây giờ bối rối thế này đây.Tự nhiên nhớ trong đa thức có dạng như thế này”

Tuy nhiên, nhiều ý kiến khác lại tỏ ra khá phân vân giữa cả 2 đáp án là 1 và 9. Một số người khác lại khẳng định rằng đề bài sai.

Các chuyên gia nói gì

Chia sẻ bài toán có phần “đơn giản” này với anh Thanh Hùng, một nhân viên văn phòng thì chúng tôi nhận được câu trả lời có phần lúng túng của anh “ Mình cũng không nhớ rõ về quy tắc lắm. Trường hợp này đáp án 1 và 9 thì đều có khả năng. Để tối mình về thử hỏi cháu ở nhà xem thế nào. Lâu rồi mình cũng không dám khẳng định kết quả”.

Trái với ý kiến của anh Hùng, anh Lê Thuận (sinh viên năm cuối ĐH Giao thông vận tải) khẳng định: “Đối với bài toán này, thì ưu tiên trong ngoặc trước rồi sau đó còn lại phép nhân và phép chia thì thực hiện theo quy tắc từ trái qua phải. Kết quả là 9”.

Anh Thuận cũng đưa ra nhận xét về trường hợp nhầm lẫn của nhiều người đối với bài toán đơn giản này: “ Phép tính này khiến nhiều người có kiến thức không vững bị ảo giác là sẽ làm trong ngoặc trước rồi sau đó phép tính gần nhất liên quan với ngoặc đó sẽ được ưu tiên thực hiện trước”.

Cùng quan điểm này, bạn Hồng Thiện, sinh viên năm cuối ĐH Ngoại Thương, đã có kinh nghiệm nhiều năm đi dạy ra sư cho các cấp học khẳng định chắc chắn : “Đối với bài toán này cứ thực hiện theo đúng quy tắc ưu tiên tính trong ngoặc rồi thực hiện từ trái qua phải. Kết quả là 9”.
Khi tra trên công cụ tính toán của Google thì cũng cho kết quả là 9
Một điều khá thú vị là khi đưa phép tính này tra trên Google, thì bằng nhiều cách, công cụ tìm kiếm lớn nhất thế giới đều cho ra kết quả là 9.

Trao đổi về vấn đề này, TS.Lê Thống Nhất tỏ ra khá thú vị trước hiện tượng một bài toán đơn giản nhưng thu hút được hàng trăm nghìn người theo dõi và trong đó có gần một nửa lại cho kết quả sai.

TS. Lê Thống Nhất khẳng định lại lời giải: “Nguyên tắc là phép tính trong ngoặc thực hiện trước 2 + 1 = 3. Sau đó, nếu dãy phép tính chỉ gồm phép trừ và phép cộng hoặc phép nhân và phép chia thì phải thực hiện từ trái sang phải. Vậy thực hiện như sau 6 : 2 x 3 = 3 x 3 = 9”.

Lý giải trước việc có hàng chục nghìn người cũng đưa ra kết quả sai đối với bài toán này, TS. Lê Thống Nhất cho rằng : “Có lẽ cũng lâu năm rồi không động đến sách vở nên nhiều phụ huynh cũng không nhớ chính xác các quy tắc. Vì vậy trước bài toán đơn giản này mới có những kết quả khác nhau”.

TS. Lê Thống Nhất cũng đưa ra lời khuyên cho các bậc phụ huynh và các em học sinh khi giải bất cứ bài toán gì cũng cần thực hiện từng bước theo đúng quy tắc.

Nguồn: http://www.nhomai.vn/forum/

Bài 3.$y(x-2)-(x^2-4)=5\Leftrightarrow(x-2)(y-x-2)=5$, ta có phương trình ước số
$=>(x,y)=)(3;0);(7;14);(1;-2);(-3;-2)$

1/Chứng minh rằng:$\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{(a+b)^2}}=\left | \frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{a+b} \right |$ (với $a,b\neq 0;a+b\neq 0$

$\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{(a+b)^2}}=\left | \frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{a+b} \right |$
$\Leftrightarrow \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{(a+b)^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{(a+b)^2}+2(\frac{1}{ab}-\frac{1}{a(a+b)}-\frac{1}{b(a+b)}$
$2(\frac{1}{ab}-\frac{1}{a(a+b)}-\frac{1}{b(a+b)}=0 =>dpcm$
b.Áp dụng câu a
$S=\frac{2012}{2013}+2012\sqrt{1+\frac{1}{2012^2}+\frac{1}{2013^2}}$
$S=\frac{2012}{2013}+2012(1+\frac{1}{2012}-\frac{1}{2013})=\frac{2012}{2013}+2012(\frac{2013}{2012}-\frac{1}{2013}=2013$

-------------------------------

Cũng dễ thôi, mình chưa nghĩ ra cái nào khó hơn

Quy nạp

Đề thi tuyển sinh chuyên Thăng Long Đà Lạt 2012
Câu 1.(1,5) Cho hàm số $y=(m^2-2m+3)x^2$, chứng minh hàm số luôn nghịch biến khi x<0
Câu 2.(2) Rút gọn $A=\sqrt{(x^2-3)^2+12x^2}-\sqrt{(x+5)^2-20x}$
Câu 3.(1,5) Cho tam giác ABC vuông tại A, biết $sinB=\frac{3}{4}sinC$, tính CosC
Câu 4.(2) Tính $A=\frac{1}{10}+\frac{1}{15}+\frac{1}{21}+...+\frac{1}{120}$
Câu 5(1,5). Giải phương trình $\frac{x^2}{4}+\frac{1}{x^2}=\frac{x}{2}-\frac{1}{x}+1$
Câu 6.(1,5) Cho tam giác ABC$(AB<AC)$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), vẽ đường cao AH. CMR:$\angle HAO$+$\angle ACB$=$\angle ABC$
Câu 7.(2) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}
& \\ x^2+y^2+xy=37
& x+y+xy=19
\end{matrix}\right.$
Câu 8.(1,5) cho x,y là hai số dương thỏa: $x^3+y^3=x-y$.CM $x^2+y^2<1$
Câu 9.(1,5) Chứng minh rằng không tồn tại các số tự nhiên m,n sao cho
$\frac{1}{4}(m-n)(m+n)[1+(-1)^{m+n}]=2013$
Câu 10.(1,5) cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH, vẽ $HE\perp AC$. Gọi I là hình chiếu của A trên BE, tia AI cắt HE tại M. Chứng minh ME=MH
Câu 11.(1,5) Cho phương trình $x^2-2(m-2)x+m^2+2m-3=0$
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa:
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{5}$
Câu 12.(1,5) Từ điểm A ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB,AC với đường tròn (O)(B,C là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm AB, IC cắt (O) tại M. Chứng minh:$MB^2=MA.MC$

Cho $x,y,z$ thỏa mãn $3z+4y+5z=15$, tìm GTLN của biểu thức:
$P=\frac{xy}{xy+x+y}+\frac{2xz}{xz+x+z}+\frac{3yz}{yz+y+z}$

Đề thi tuyển sinh chuyên Thăng Long Đà Lạt 2009
Câu 1(1,5đ): Rút gọn :$P=\sqrt{10-3\sqrt{11}}-\sqrt{10+3\sqrt{11}}$
Câu 2(1,5đ):Tìm n thỏa mãn: $(10^{2009}+25)^2-(10^{2009}-25)^2=10^n$
Câu3(1,5đ) Giải Pt:$x^6+19x^3-216=0$
Câu 4(1,5đ): Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix}
& x^2y+xy^2=120\\
& x+y=8
\end{matrix}\right.$
Câu 5(1,5đ) Hai đường tròn đồng tâm O có các bán kính R và r(R>r). AB là một dây của (O;R) đồng thời tiếp xúc với đường tròn (O;r), tính diện tích hình vành khăn biết AB=20cm
Câu 6(1,5đ): Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:$Q=x^2-2\sqrt{5}x+6$

Câu7(1,5đ): cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, $\widehat{\widehat{B}}=60^0$. Chứng minh AB+BH=HC
Câu8(1,5đ):Cho x,y$\neq 0$, chứng minh không tồn tại: $(x^2+y^2)^3=(x^3+y^3)^2$
Câu 9(1,5đ): tìm nghiệm nguyên:xy+x-2y=5
Câu 10(1,5đ): cho a,b là các số thực thỏa mãn a>3b và ab=1
Chứng minh:$\frac{a^2+9b^2}{a-3b}\geqslant 2\sqrt{6}$
Câu 11(1,5đ):Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, chứng minh AB+AC-BC<AH
Câu 12(1,0đ):cho hai phương trình;
$x^2+bx+c=0$
$x^2+cx+b=0$
biết $bc\geqslant2(b+c)$, chứng minh ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm
Câu 13(1,25đ):Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh AB,BC,CA lần lượt là 4,5,6. chứng minh $\widehat{B}=2\widehat{C}$
Câu 14(1,25đ): Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng chứa đường tròn bờ AB, kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn. Từ điểm trên nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt Ax tại C. gọi H là hình chiếu của H lên AB, giao điểm của CB và EH là M. Chứng minh M là trung điểm của EH

Đề này thì đơn giản thôi, cũng có vài câu hơi khó nhằn chút, mọi người cùng giải hen