N H Tu prince

cho e hỏi sao lại nghĩ ra cách tách như thế ạ

Trước hết phải biết hết nghiệm của phương trình

Sau đó phân tích về dạng $(2x+1)(2x-3)(...)=0$

Nhóm $(\sqrt{8+4x}+A)+(\sqrt{12-8x}+B)+C=0$

Thay hai nghiệm vào phương trình,tìm $A,B$ sao cho $\sqrt{8+4x}=\pm A,\sqrt{12-8x}=\pm B$ cho cả hai nghiệm

Nhân liên hợp,Đặt nhân tử chung

Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
$$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+1} + \sqrt[4]{x -1} -\sqrt{y^4+2}=y\\ x^2 +2x(y-1)+y^2-6y+1=0\end{matrix}\right. \forall x, y \in \mathbb{R}$$

Bài cũng có thể giải bằng cách nhân lượng liên hợp

$$PT(1)\Leftrightarrow \sqrt{x+1} - \sqrt{y^4+2} = y - \sqrt[4]{x-1}$$

$$\Leftrightarrow (x-y^4-1)(\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{y^4+2}}+\frac{1}{(\sqrt[4]{x-1}+y)(\sqrt{x+1}+y^2)})=0$$

$$\Leftrightarrow x=y^4+1$$

Giải pt: $$\sqrt{4+8x}+\sqrt{12-8x}=(1-2x)^2$$

$Cauchy-Schwarz\Rightarrow LHS\le 4$

$x\ge -\frac{1}{2}\Rightarrow RHS\ge 4$

$\Rightarrow ...$

Giải phương trình:    $x^{2}+9x+20=\sqrt{3x+10}$

 

________________
MOD: Chú ý ghi nguồn của bài và gõ Latex nha bạn ^^

Bình phương hai vế được $\frac{1}{16}(2x+7)^2(4x^2+44x+127)+\frac{17}{16}=0\Rightarrow $Vô nghiệm

Bài 22 : Tìm $f : \mathbb{R^+}\rightarrow \mathbb{R^+}$ thỏa $f(f(x)+y)=f(x^2-y)+4f(x)y$

$y=-f(x)\Rightarrow f(x^2+f(x))-4f(x)^2=f(0)$

$y=x^2\Rightarrow f(x^2+f(x))=f(0)+4x^2f(x)$

$\Rightarrow 4f(x)^2=4x^2f(x)\Rightarrow 4f(x)(f(x)-x^2)=0$

$\Rightarrow \left[\begin{matrix}
 f(x)=0 \\
 f(x)=x^2
\end{matrix}\right.$
Thử lại thấy cả hai hàm đều thỏa mãn

Trường THPT chuyên Thăng Long Đà Lạt  

                                    ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN LỚP 10 NĂM HỌC 2013-2014

                                            Thời gian:150 phút

Bài 1(2đ): Giải phương trình

$$3x^2+3x+3=(3x+1)\sqrt{x^2+3}$$

Bài 2(3đ): Cho $a,b,c$ là ba số dương thỏa mãn $abc=1$.Chứng minh:

$$\frac{1}{ab+a+2}+\frac{1}{bc+b+2}+\frac{1}{ca+c+2}\le \frac{3}{4}$$

Bài 3(4đ): Cho tam giác $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $( C )$ tâm $O$ bán kính $R$. Gọi $K,L,M$ lần lượt là trung điểm của cung $BC,CA,AB$ (theo thứ tụ không chứa đỉnh $A,B,C$) của đường tròn $( C )$.Đặt $P(AMBKCL)$ là chu vi lục giác $AMBKCL$. Chứng minh rằng:

$$P(AMBKCL)\ge 4(R+r)$$

Trong đó r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$

Bài 4(3đ): Chứng minh rằng:

    $1.2^{3^n}\equiv -1(mod 3^{n+1}),n=1,2,3...$

    $2.$ Có vô số số tự nhiên a thoả mãn  $a| (2^a+1)$

Bài 5(4đ): Cho đường tròn $( C )$ tâm $O$ bán kính $R$ và một điểm $P$ cố định. Gọi $A,B$ là hai điểm thuộc $( C )$ và đối xứng nhau qua $O$. Chứng minh rằng khi $A,B$ thay đổi trên $( C )$ thì đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABP$ đi qua một điểm cố định khác $P$.

Bài 6(4đ): Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn:

$$f(y+f(x))=f(x)f(y)+f(f(x))+f(y)-xy,\forall x,y \in \mathbb{R}$$

$\boxed{\text{Problem}}$

Tìm $f: R \rightarrow R$ thỏa mãn: với mọi $x,y$ thuộc R

 $$f(x^{2}-y^{2})=xf(y)-yf(x)$$ 

$x=y\Rightarrow f(0)=0$

$x=-y\Rightarrow f(0)=x(f(-x)+f(x))\Rightarrow -f(x)=f(-x)$

Thay $y$ bởi $-y$ $\Rightarrow f(x^2-y^2)=xf(-y)+yf(x)=-xf(y)+yf(x)$

$\Rightarrow -xf(y)+yf(x)=xf(y)-yf(x)\Rightarrow xf(y)=yf(x)\Rightarrow \frac{f(x)}{x}=\frac{f(y)}{y}$

$\Rightarrow \frac{f(x)}{x}=c=const\Rightarrow f(x)=cx$

Thử lại chỉ có $c=0$ thoả mãn,vậy hàm $f(x)=0$ là hàm thoả mãn

giải pt và hệ pt sau

1)$2\sqrt{2x+4}+4\sqrt{2-x}=\sqrt{9x^2+16}$

2)$\left\{\begin{matrix} x^3+2y^2=x^2y+2xy & & \\ x\sqrt{x^2-2y-1}+\sqrt[3]{y^3-14}=x-2 & & \end{matrix}\right.$

1.Bình phương hai vế

$$\Rightarrow (\sqrt{8-2x^2}-2x+8)(\sqrt{8-2x^2}+2x)=0$$

2.$(1)\Leftrightarrow (x-y)(x^2-2y)=0\Rightarrow x=y$

Thay vào phương trình (2) được:

$$2\sqrt{x^2-2x-1}\left({1+\frac{3\sqrt{x^2-2x-1}}{\sqrt[3]{\left(x^{3}-14 \right)^{2}}+\left(x-2 \right)\sqrt[3]{x^{3}-14}+\left(x-2 \right)^2}}\right )=0$$

 

giải hệ phương trình sau với a,b,c là tham số

$\left\{\begin{matrix} x+y+z=a\\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=b\\ x^{3}+y^{3}+z^{3}=c \end{matrix}\right.$

 

Áp dụng công thức $Newton$ hoặc $waring$ ta được:

$\left\{\begin{matrix}
 p=a\\
 p^2-2q=b\\
 p^3-3pq+3r=c
\end{matrix}\right.$

Với $x+y+z=p,xy+yz+zx=q,xyz=r$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
 p=a \\
 q=\frac{a^2-b}{2}\\
 r=\frac{a^3-3ab+2c}{6}
\end{matrix}\right.$

Suy ra $x,y,z$ là ba nghiệm của phương trình $X^3-aX^2+\frac{a^2-b}{2}X-\frac{a^3-3ab+2c}{6}=0$

Giải phương trình này là cả một vấn đề

Chứng minh rằng: $x^8-x^5-x^4+x^2-x+1\geq 0$

$$\Leftrightarrow \frac{1}{4}(x-1)^2\left[{(2x^3+2x^2+2x+1)^2+3}]\right.\ge 0$$

$4x^2+11x+8=(x+2)\sqrt{2x^2+8x+7}$

Cách 1:$PT\Leftrightarrow \frac{1}{2}(\sqrt{2x^2+8x+7}-x-2)^2+\frac{5}{2}(x+1)^2=0$

Cách 2:$PT\Leftrightarrow (2x-\sqrt{2x^2+8x+7}+3)(\sqrt{2x^2+8x+7}+3x+5)=0$

1.$y=\frac{x^2-8x+9}{x-5}$

2.$y=\frac{1}{x+1}-2x$

1.$y'=\frac{6}{(x-5)^2}+1>0\Rightarrow y$ đồng biến trên $\mathbb{R}\text{\}\{5}$

2.$y'=-\frac{1}{(x+1)^2}-2<0\Rightarrow y$ nghịch biến trên $\mathbb{R}\text{\}\{-1}$

Xin chúc mừng,diễn đàn chúng ta đã trở thành diễn đàn toán số 1 VN

Áp sát top 2000

Bài 31: Giải phương trình:

ĐK:$\left\{\begin{matrix}
 \frac{x^3}{3-4x}\ge 0 \\
 x\ne 0 \\
x\ge 0\\
\end{matrix}\right.$$\Rightarrow 0<x<\frac{3}{4}$

Nhân hai vế với $2\sqrt{x}$ được $\frac{2x^2}{\sqrt{3-4x}}-2x-1=0$

Hay $$2x^2-(2x+1)\sqrt{3-4x}=0\Leftrightarrow \frac{1}{2}(\sqrt{3-4x}-2x-3)(2-2x+\sqrt{3-4x})=0$$

$$\Leftrightarrow \left[\begin{align*}
 \sqrt{3-4x}=2x+3\\
 \sqrt{3-4x}=2x-2
\end{align*}\right.$$

Giải hai phương trình trên so sánh với điều kiện ta tìm được hai nghiệm:

$$\boxed{x=\frac{1}{\sqrt{2}},x=\sqrt{\frac{5}{2}}-2}$$