N H Tu prince

Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn trong giải phương trình vô tỷ

Đã có topic nói đến phương pháp này,nhưng mình muốn nói kỹ hơn về phương pháp này

 

Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn là một phương pháp hay trong giải phương trình vô tỷ, phương pháp này tạo ra một lời giải đẹp và ngắn gọn,tuy nhiên cũng gây nhiều thắc mắc khi nhìn vào lời giải, nó có thể sử dụng để giải nhiều dạng phương trình khác nhau nhưng phổ biến nhất là dạng $(ax+b)\sqrt{cx^2+dx+e} = px^2+qx+t$.Bài viết này sẽ giới thiệu đến các bạn phương pháp này.

 

 

Phương trình $(ax+b)\sqrt{cx^2+dx+e} = px^2+qx+t$ có thể giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ, bài viết cách này đang trôi nổi ở một nơi nào đó trên diễn đàn,em xin post lại

Chúng ta có thể đặt một ẩn phụ hoặc hai ẩn phụ để giải quyết phương trình, Mục đích là đưa phương trình trở thành một phương trình bậc hai hai ẩn,có biệt thức $\Delta$ là một biểu thức chính phương

Ví dụ mở đầu:

Giải phương trình $3x^2+x+3+(8x-3)\sqrt{2x^2+1}=0$

-Lời giải: Phương trình tương đương với $(3\sqrt{2x^2+1}-x)(\sqrt{2x^2+1}+3x-1)=0$

Đến đây phương trình đã trở nên đơn giản,dễ dàng giải tiếp

 

Khi nhìn vào lời giải trên không ít người thắc mắc về cách phân tích thành nhân tử phương trình trên,một lời giải khá gọn và đẹp nhưng tại sao lại có cách phân tích trên,chúng ta sẽ đi tìm lời giải đáp.

 

Mặc dù máy tính Casio có thể tìm được nghiệm của phương trình,chúng ta có thể dựa vào nghiệm vô tỷ hoặc nghiệm phức để tìm ra nhân tử,nhưng nếu phương trình không có nghiệm vô tỷ thì sao.phương pháp này có thể áp dụng cho cả hai trường hợp

 

Bài toán trên còn có một lời giải khác:

Đặt $\sqrt{2x^2+1}=t$,phương trình trở thành:

$3t^2+(8x-3)t-3x^2+x=0$

Ta có $\Delta_t=100x^2-60x+9=(10x-3)^2$

Từ đây dễ dàng giải tiếp

 

Nhìn hai cách giải trên có gì đó liên quan đến nhau.Từ lời giải 2 dễ dàng suy ra lời giải 1

Ở cách giải thứ 2,hệ số của $t^2$ là $3$,nếu hệ số khác có làm cho $\Delta$ chính phương không,đáp án là không.Vậy những số nào có thể thỏa mãn

Chúng ta gọi hệ số đó là $m$,khi đó phương trình trở thành

$mt^2+(8x-3)t+3x^2+x+3-m(2x^2+1)=0$

Chúng ta tìm $m$ để $\Delta_t$ chính phương

$\Delta_t=(8x-3)^2-4m[3x^2+x+3-m(2x^2+1)]=(8m^2-12m+64)x^2- (4m+48 )x+4m^2-4m+9$

$\Delta_t$ chính phương khi phương trình $\Delta=0$ có nghiệm duy nhất,tức là:

$\Delta_{\Delta_t}=0\Leftrightarrow -16m(8m^3-36m^2+117m-243)=0$

Dễ dàng thấy phương trình trên có nghiệm $m=3$,từ đó suy ra cách biến đổi phương trình để có hai lời giải trên

 

Tổng quát: Phương trình $(ax+b)\sqrt{cx^2+dx+e}=px^2+qx+t$

Viết lại phương trình thành $px^2+qx+t-(ax+b)\sqrt{cx^2+dx+e}=0$

Đặt $\sqrt{cx^2+dx+e}=t$

Ta sẽ biến đổi phương trình thành $mt^2-(ax+b)t+P_{(x)}=0 (1)$

Với $P_{(x)}=x^2+qx+t-m(cx^2+dx+e)$ và $\Delta_t$ là một biểu thức chính phương,nhiệm vụ của chúng ta là phải tìm một giá trị m thoả mãn yêu cầu

Viết lại phương trình $(1)$ thành $mt^2-(ax+b)\sqrt{cx^2+dx+e}+(1-mc)x^2+(q-md)x+(t-e)=0$

$\Delta_t=(ax+b)^2-4m\left[(1-mc)x^2+(q-md)x+(t-e) \right]$

$=(a^2-4m+4m^2c)x^2+(2ab-4mq+4m^2d)x+(b^2-4mt+4me)=Ax^2+Bx+C$

Để $\Delta_t$ chính phương khi phương trình $\Delta=0$ có nghiệm duy nhất,tức $\Delta_{\Delta_t}=0$

Hay $B^2-4AC=0\Rightarrow (2ab-4mq+4m^2d)^2-4(a^2-4m+4m^c)(b^2-4mt+4me)=0$

Khai triển vế trái của phương trình trên ta được một phương trình có dạng $m(a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4)=0$,phương trình này luôn có ít nhất hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm $m=0$

Sau khi tìm được giá trị $m$,ta dễ dàng giải quyết phương trinh $(1)$

VD: Giải phương trình $-4x^2+7+(2x-4)\sqrt{2-a^2}=0$

Đặt $\sqrt{2-a^2}=t$

Bước tiếp theo đi tìm m

$\Delta_t=(2x-4)^2-4m[-4x^2+7-m(2-x^2)]=(-4m^2+16m+4)x^2-16x+8m^2-28m+16$

$\Delta'_{\Delta_t}=64-(-4m^2+16m+4)(8m^2-28m+16)=32m^4-240m^3+480m^2-144m=m(32m^3-240m^2+480m-144)$

Giải phương trình $m(32m^3-240m^2+480m-144)=0$,ta tìm được nghiệm $m=3$

Phương trinh viết lại thành $3t^2+(2x-4)t-4x^2+7-3(2-x^2)=0$

$\Leftrightarrow 3t^2+2(x-2)t-x^2+1=0$

$\Delta'=(x-2)^2-3(1-x^2)=(2x-1)^2$

$\Rightarrow \left[\begin{matrix}
t=1-x \\
t=\frac{x+1}{3}
\end{matrix}\right.$

Vậy là bài toán được giải quyết

 

Một số phương trình

1.$(x+3)\sqrt{(4-x)(12+x)}=28 - x$

2.$2\sqrt{8-2x^2}+4x=\sqrt{9x^4-36x^2+52}$

3.$x\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}=1+\sqrt{x^2-1}+x\sqrt{x-1}$

4.$\sqrt{x^3-x}=2x^2-x-2$

5.$(1-2x)\sqrt{x+\frac{1}{4}}=x^2-2x$

6.$-4x^2+21x-22=\sqrt{3x-2}$

7.$4\sqrt{x+1}-1=3x+2\sqrt{1-x}+\sqrt{1-x^2}$

Trường THPT chuyên Thăng Long Đà Lạt  

                                    ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN LỚP 10 NĂM HỌC 2013-2014

                                            Thời gian:150 phút

 

Bài 1(2đ): Giải phương trình

$$3x^2+3x+3=(3x+1)\sqrt{x^2+3}$$

 

Bài 2(3đ): Cho $a,b,c$ là ba số dương thỏa mãn $abc=1$.Chứng minh:

$$\frac{1}{ab+a+2}+\frac{1}{bc+b+2}+\frac{1}{ca+c+2}\le \frac{3}{4}$$

 

Bài 3(4đ): Cho tam giác $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $( C )$ tâm $O$ bán kính $R$. Gọi $K,L,M$ lần lượt là trung điểm của cung $BC,CA,AB$ (theo thứ tụ không chứa đỉnh $A,B,C$) của đường tròn $( C )$.Đặt $P(AMBKCL)$ là chu vi lục giác $AMBKCL$. Chứng minh rằng:

$$P(AMBKCL)\ge 4(R+r)$$

Trong đó r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$

 

Bài 4(3đ): Chứng minh rằng:

    $1.2^{3^n}\equiv -1(mod 3^{n+1}),n=1,2,3...$

    $2.$ Có vô số số tự nhiên a thoả mãn  $a| (2^a+1)$

 

Bài 5(4đ): Cho đường tròn $( C )$ tâm $O$ bán kính $R$ và một điểm $P$ cố định. Gọi $A,B$ là hai điểm thuộc $( C )$ và đối xứng nhau qua $O$. Chứng minh rằng khi $A,B$ thay đổi trên $( C )$ thì đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABP$ đi qua một điểm cố định khác $P$.

 

Bài 6(4đ): Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn:

$$f(y+f(x))=f(x)f(y)+f(f(x))+f(y)-xy,\forall x,y \in \mathbb{R}$$

Tìm hàm số $f:\mathbb{R^+}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn:

$f(x)f(y)=y^{\alpha}f(\frac{x}{2})+x^{\beta}f(\frac{y}{2})$

Với $\alpha,\beta\in \mathbb{R}$

Cho $a,b,c,d\in \mathbb{R}^+,abcd=1$, Tìm GTLN $\frac{1}{bc +cd +db+1}+\frac{1}{ac +cd +da+1}+\frac{1}{da +ab +db+1}+\frac{1}{ab +bc +ca+1}$

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN OLIMPIC LẦN THỨ NHẤT

Trường THPT chuyên Thăng Long Đà Lạt

Năm học 2012-2013

Thời gian 150 phút

Câu 1:(4đ)
1/Giải phương trình $\sqrt{3}(x^2-3x+1)+\sqrt{x^4+x^2+1}=0$
2/Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}
3x^3-y^3=\frac{1}{x+y}\\
x^2+y^2=1
\end{matrix}\right.$
Câu 2:(4đ)
1/ Cho $a,b,c$ là các số nguyên khác không và $a\ne c$ sao cho $\frac{a}{c}=\frac{a^2+b^2}{c^2+b^2}$
Chứng minh $a^2+b^2+c^2$ không phải là số nguyên tố.
2/Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sao cho
$f(f(x+y))=f(x+y)+f(x)f(y)-xy, \forall x,y\in \mathbb{R}$
Câu 3:(4đ)
Cho $x>0,y>0,z>0$ thỏa điều kiện $x+y+z=1$.Chứng minh:
$\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy}\le \frac{9}{4}$
Câu 4:(3đ)
Cho tam giác $ABC$, điểm O nằm trong tam giác. Các đường thẳng $AO,BO,CO$ lần lượt cắt các cạnh $BC,CA,AB$ tại $M,N,P$. Đường thẳng qua O, song song với BC lần lượt cắt $MN,MP$ tại E,F. Chứng minh rằng $OE=OF$
Câu 5:(5đ)
Cho đường tròn (O), hai điểmA,B cố định không thuộc (O). Đường thẳng d quay quanh A, cắt (O) tại $M,N;BM,BN$ cắt lại (O) tại $M',N'$
a) Chứng minh rằng đường tròn nội tiếp tam giác AMN luôn đi qua một điểm cố định khác B
b)Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $BM'N'$ luôn đi qua một điểm cố định khác B
c)Chứng minh rằng đường thẳng $M'N'$ luôn đi qua một điểm cố định