zipienie

Cho tam giác $ ABC $ và điểm $ M $ bất kì trong mặt phẳng.Gọi $ l_a,l_b,l_c $ là độ dài các đường phân giác trong của tam giác.Chứng minh rằng:
$$ MA+MB+MC \ge \frac{2}{3} \left(l_a+l_b+l_c \right) $$

Cho $x>1$. Chứng minh rằng $$(x-1)\sum_{p=0}^{n-1}\frac{1}{n+(p+1)(x-1)}<\ln x<(x-1)\sum_{p=0}^{n-1}\frac{1}{n+p(x-1)}$$

Giải phương trình:
$$x(\sqrt{3-2x+\sqrt{5(1-x^2)}}+\sqrt{\frac{3}{2}})=\sqrt{\frac{2}{3}}$$

Giải phương trình $$\sqrt{x+\sqrt{x^2-x+1}}=\frac{x^4-1}{2x^2-1}$$

Cho tứ giác lồi ABCD. Chứng minh rằng:
\[\sin \left( {\frac{A}{3} + \frac{\pi }{3}} \right) + \sin \left( {\frac{B}{3} + \frac{\pi }{3}} \right) + \sin \left( {\frac{C}{3} + \frac{\pi }{3}} \right) + \sin \left( {\frac{D}{3} + \frac{\pi }{3}} \right) \ge \frac{1}{3}\left( {\sin A + \sin B + \sin C + \sin D + 8} \right)\]

Giải phương trình \[\sqrt {3x - 1}  + \sqrt {101x + 39}  = \sqrt {\frac{{17}}{{209}}} \left( {52x + \frac{{496}}{{13}}} \right)\]

Cho hai dãy số thực thỏa mãn:
*$b_1 < b_2 < b_3 < ... < b_n $
*$a_1 < a_2 < a_3 < ... < a_n $ trong đó $a_i^2 <1$ mọi i và $a_1+a_2+a_3+...+a_n =a_1^{2011}+a_2^{2011}+a_3^{2011}+...+a_n^{2011}$.
Chứng minh rằng:
$$a_1^{2011}b_1+a_2^{2011}b_2+a_3^{2011}b_3+...+a_n^{2011}b_n < a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+...+a_nb_n$$
 

Giải phương trình:

$$\sqrt{x+{{a}^{2}}}+\sqrt{x+{{b}^{2}}}=\sqrt{x+{{c}^{2}}}+\sqrt{x+{{d}^{2}}}$$
Với  $ b>d>c>a>0; a+b=c+d$

Với $n\in \mathbb{N} $, ta xét các tập hợp: $A= \{k|C_n^{k}\equiv 1\pmod 3 \},B= \{k|C_n^{k}\equiv 2 \pmod 3 \}.$ Đặt $ a_n=|A|,b_n=|B| $.
Chứng minh rằng $a_n-b_n$ là một lũy thừa của $2$.
 

$x, y, z$ là ba góc thuộc $[\frac{\pi }{6} ;\frac{\pi }{2}]$ . Chứng minh rằng : $\left|\frac{\sin x-\sin y}{\sin z}+\frac{\sin y-\sin z}{\sin x}+\frac{\sin z-\sin x}{\sin y} \right|$$\leq {(1-\frac{1}{\sqrt{2}})}^{2} $

Giải hệ phương trình
$$\left\{ \begin{array}{l}4x^2+8y^2+2z^2+18xy+8yz+9zx  = 49(x+1)\\2x^2+4y^2+8z^2+9xy+18yz+8zx  = 49(y+1)\\8x^2+2y^2+4z^2+8xy+9yz+18zx  = 49(z+1)\end{array} \right.$$

Có tồn tại hay không các góc $\alpha , \beta , \gamma \in (0; 2\pi)$ để HPT sau có nghiệm dương?

$$\begin{cases}x\cos 3\alpha + y\cos 3\beta +z\cos 3\gamma=0 \\ x\cos 2\alpha + y\cos 2\beta +z\cos 2\gamma=0 \\ x\cos \alpha + y\cos \beta +z\cos \gamma=0 \\ x\sin \alpha +y\sin \beta+z\sin \gamma=0 \end{cases}$$

Cho số tự nhiên $ n \ge 3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của k để điều sau đúng : Với n điểm bất kì $A_i=(x_i;y_i)$ (sao cho không có 3 trong số chúng nằm trên một đường thẳng) và với mọi số thực bất kì $c_i$ ( $1 \leq i \leq n $) ; tồn tại đa thức $P(x;y)$ có bậc không lớn hơn k thỏa mãn : $P(x_i;y_i)=c_i $ với $ i =1;2;...n .$

Cho đa thức $P(x)$ bậc $n \ge 3$ có n nghiệm thực $x_1 < x_2 < ... < x_n$ ; thỏa mãn $x_2-x_1 < x_3-x_2 < ... < x_n-x_{n-1}$ . Chứng minh rằng giá trị lớn nhất của hàm số $y = |P(x)|$ trên đoạn $[x_1;x_n]$ sẽ xảy ra tại điểm nằm trên đoạn $[x_{n-1} ; x_n]$

Giải hệ phương trình

$$\begin{cases}a(b^2-c^2)=-56\\b(c^2-a^2)=400\\c(a^2-b^2)=-216\end{cases}$$