Đến nội dung

Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

Đăng ký: 04-07-2011
Offline Đăng nhập: Riêng tư
****-

Đề thi chọn đội tuyển quốc gia Đà Nẵng 2013-2014 (2 Ngày)

12-09-2013 - 17:57

Ngày 1
Thời gian: 180 phút.

Bài 1: (5 điểm)
Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R^*} \to \mathbb{R}$ sao cho $f(x + y) = {x^2}f\left( {\frac{1}{x}} \right) + {y^2}f\left( {\frac{1}{y}} \right),\forall x,y \in \mathbb{R^*}$

Bài 2: (5 điểm)
Cho $n$ số nguyên dương $x_1, x_2,...x_n$ đôi một khác nhau ($n \ge 2$). Đặt $A=\{1,2,...,n\}$. Với mội $i \in A$ lấy ${p_i} = \prod\limits_{j \in A\backslash \{ i\} } {({x_i} - {x_j})} $. Chứng minh $\sum\limits_{i \in A} {\frac{{{x_i}^k}}{{{p_i}}}} $ nguyên với mọi $k$ tự nhiên.

Bài 3: (5 điểm)
Cho đường thẳng $d$ và điểm A không nằm trên $d$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên d và K là trung điểm của $AH$. Hai đường tròn $(M), (N)$ di động nhưng luôn tiếp xúc với d và tiếp xúc với nhau tại A. Chứng minh:
a) Phương tích của K với đường tròn đường kính $MN$ không đổi.
b) Chứng minh đường tròn đường kính $MN$ luôn tiếp xúc với đường tròn cố định.

Bài 4: (5 điểm)
Cho bảng kẻ ô vuông kích thước $(2n) \times (2n+1)$. Hãy tìm giá trị lớn nhất của $k$ sao cho $k$ thoả mãn điều kiện: ta có thể tô màu $k$ ô vuông đơn vị của bảng sao cho không có hai ô vuông đơn vị nào được tô mà có đỉnh chung.


Ngày 2
Thời gian: 180 phút.

Bài 5: (6 điểm)
Cho số nguyên tố $p>3$. Gọi $k = \left\lfloor {\frac{{2p}}{3}} \right\rfloor $. Chứng minh:
\[\sum\limits_{i = 1}^k {C_p^i} \vdots {p^2}\]
Bài 6: (7 điểm)
Cho tam giác $ABC$ và điểm $C'$ nằm trên đường thẳng $AB$. Chứng minh rằng:
a) Tồn tại duy nhất tam giác $A'B'C'$ đồng dạng với tam giác $ABC$ mà các điểm $A'$ và $B'$ nằm lần lượt trên đường thẳng $BC$ và $AC$.
b) Trực tâm của tam giác $A'B'C'$ không phụ thuộc vị trí của điểm $C'$ trên đường thẳng $AB$.

Bài 7: (7 điểm)
Cho $(H)$ là một đa giác đều $24$ cạnh. Mỗi đỉnh của $(H)$ sẽ được tô bởi chỉ một trong hai màu xanh và đỏ. Khi đó, nếu $(K)$ là một đa giác đều thoả mãn đồng thời hai điều kiện:
- Tập đỉnh của $(K)$ là tập con của tập đỉnh của $(H)$.
- Tất cả các đỉnh của $(K)$ được tô bởi cùng một màu.
thì ta gọi $(K)$ là một mẫu đơn sắc. Hãy tính số cách tô màu các đỉnh của $(H)$ sao cho không có mẫu đơn sắc nào được tạo ra.

Chứng minh $EI$ đi qua trung điểm $KL$.

22-06-2013 - 16:08

Cho tứ giác $ABCD$ có 2 đường chéo $AC, BD$ cắt nhau tại $E$. $M, N$ thuộc $AB$ sao cho $AM=MN=NB$. Hai điểm $P, Q$ thuộc $DC$ sao cho $DP=PQ=QC$. $MQ$ cắt $AC$ tại $K$. $NP$ cắt $BD$ tại $L$. $MQ$ cắt $NP$ tại $I$. Chứng minh $EI$ đi qua trung điểm $KL$.

______________________

 

P/s: Mình có một lời giải bằng vectơ nhưng không hay lắm. Có bạn nào có lời giải hình học thuần tuý thì post lên nhá.


Về mục "Tài liệu tham khảo"

30-01-2013 - 20:30

Các thầy và các anh cho em hỏi cách tạo danh mục "Tài liệu tham khảo" trong một article với ?

$\sum {\frac{{b(3a + b)}}{{2a + c...

20-12-2012 - 22:45

Bài toán: Cho $a,b,c$ là 3 cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:
\[\sum\limits_{cyc} {\frac{{b(3a + b)}}{{2a + c}}} \ge \sum\limits_{cyc} {\frac{{b(3b + c)}}{{2b + a}}} \]
--> Cao Xuân Huy

Cho $xy| x^2+y^2+1$. Chứng minh: $\frac{x^2+y^2+1}{x...

13-08-2012 - 18:25

Bài 1: Với $x,y$ là các số nguyên dương thỏa mãn $xy| x^2+y^2+1$. Chứng minh: $\frac{x^2+y^2+1}{xy}=3$
Bài 2: Cho 2 số nguyên dương $a,b$ và số nguyên tố $p$ thỏa mãn:
\[p = \frac{4}{b}\sqrt {\frac{{2a - b}}{{2a + b}}} \]
Tìm giá trị lớn nhất của $p$