Hoa Hồng Lắm Gai

 

$\star)$  Nếu $x \geq y+6$ $\Rightarrow x+y>x-(y+6) \geq 1$. Phương trình vô nghiệm

$ 

Bạn nói rõ hơn chỗ này đc ko?

Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD, CE cắt nhau ở H (D thuộc AC; E thuộc AB). Lấy I là trung điểm BC. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với HI cắt AB, AC ở M, N. CM: HM=HN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN                                                              ĐỀ THI THỬ LỚP 9 NĂM 2014

TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN                                                                            MÔN: toán (Vòng 2- Đợt 1)

                                                                                                                      Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu I (3 điểm):

1. Giải phương trình:

$\sqrt[3]{2x-1}+\sqrt[3]{5x+3}=2+\sqrt[3]{10x^2+x-3}$

 

2. Giả sử $x_1, x_2; x_3$ là 3 nghiệm của phương trình $x^3-8x+3=0$. CMR:

$x_1^3+x_2^3+x_3^3=3x_1x_2x_3$

 

Câu II (3 điểm):

1. CMR: Nếu $a^2+4b^2-2ab$ chia hết cho 11 thì $4a^3-b^3$ chia hết cho 11

2. Với a,b là các số thực dương thỏa mãn a+b $\leq 2$. Tính Max của biểu thức:

 $P= \sqrt{a(b+3)}+\sqrt{b(a+3)}$

 

Câu III (3 điểm): Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). AD là đường kính của (O). M,N thuộc BC sao cho OM//AB, ON//AC. DM cắt AB ở E. DN cắt AC ở F.

1. CMR: EF đi qua trực tâm H của tam giác ABC.

2. Gọi DM, DN lần lượt cắt (O) tại P,Q khác D. CMR: BC=DP=DQ

 

Câu IV (1 điểm): Cho a,b,c là các số thực dương. CMR:

$\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\geq \frac{12abc}{(a+b)(a+c)(b+c)}$

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN                                                              ĐỀ THI THỬ LỚP 9 NĂM 2014

TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN                                                                            MÔN: toán (Vòng 1- Đợt 1)

                                                                                                                      Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu I (3 điểm):

1. Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix}
 & x^2+y^2+xy=3 & \\
 & (x+y)(xy+3) =8&
\end{matrix}\right.$

 

2. Giả sử x,y,z là 3 số hữu tỉ dương thỏa mãn x+y+z=1. CMR: $\sqrt{(x+yz)(y+xz)(z+xy)}$ là số hữu tỉ

 

Câu II (3 điểm)

1. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho n! chia hết cho 18700.

2. x,y là 2 số thực thoả mãn $x^2+2y^2=1$. tìm Min của biểu thức:

$P= \dfrac{x^4}{1+2y^2}+ \dfrac{4y^4}{1+x^2}$

 

Câu III (3 điểm): Cho tam giác ABC nội tiếp (o) với AB<AC. Phân giác góc BAC cắt (O) tại D khác A. Gọi E là điểm đối xứng với B qua AD.

1. Gọi BE cắt đường thẳng qua D vuông góc với AC ở F. CMR: F thuộc (O)

2. Gọ DG là đường kính của (O). CMR: EG đi qua trung điểm của AF
3. Gọi AD giao với BE ở M. FD giao với EC ở N. GE cắt (o) tại P khác G. CMR: 4 điểm M,E,N,P cùng thuộc 1 đường tròn

 

Câu IV: Có bao nhiêu số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng 2001 là bội của 3 hoặc 4 (không là bội của 12) và không là bội của 5.

1/ A=$x^{99}+x^{88}+.....+x^{11}+1$
B=$x^{9}+x^{8}+.....+x+1$
Chứng minh rằng: $A \vdots B$
2/ Tìm GTNN , và giá trị x,y để đạt GTNN đó :
C= $x^{2}+(x+4)^{2}+(x+y)^{2}+(y-x)^{2}$

$x^{9}+x^{8}+...+1= x^{9}+x^{8}+.....+x+1$
$x^{10}+...+x^{19}= x^{10}(x^{9}+x^{8}+.....+x+1 )$
$x^{20}+...+x^{29}= x^{20}(x^{9}+x^{8}+.....+x+1 )$
$x^{30}+...+x^{39}= x^{30}(x^{9}+x^{8}+.....+x+1 )$
.....
$x^{90}+...+x^{99}= x^{90}(x^{9}+x^{8}+.....+x+1 )$

Cộng vế với vế của các đẳng thức:
A=$x^{99}+x^{88}+.....+x^{11}+1= (1+x^{10}+ x^{20}+...+x^{90})(x^{9}+x^{8}+.....+x+1)= (1+x^{10}+ x^{20}+...+x^{90})B$
$đpcm$

Bài 2: C= $x^{2}+(x+4)^{2}+(x+y)^{2}+(y-x)^{2} \\= x^2+x^2+16+8x+x^2+y^2+2xy+y^2+x^2-2xy \\= 4x^2+8x+16+2y^2= (2x+2)^2+2y^2 \ge 12$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=-1; y=0$

CMR với mọi $x, y, z$ ta có:
a, $2x^2 + y^2 - xy - 4x - 2y + 6 > 0$
b, $x^4y^2 - 4x^3y + 2(y^2 + 2)x^2 + 4xy + y^2 \geq 0$
c, $x^2 + 2y^2 + z^2 + 2xy - xz - 2yz - 2x - 2 > 0$
Cảm ơn mọi người trước.

a, $2x^2 + y^2 - xy - 4x - 2y + 6 \\= (x^2+ \frac{1}{4}y^2-xy) -2(x-\frac{1}{2}y)+1+(x^2-2x+1)+\frac{3}{4}(y^2 - 4y+4)+1 \\= (x-\frac{1}{2}y-1)^2+ (x-1)^2 + \frac{3}{4}(y-2)^2+1 > 0 $

Cho hình thang MNPQ (MN//PQ). Điểm E tùy ý trên NP. Từ P kẻ PH//ME (H $\in$ MQ). CMR: $HN//QE$

Bài toán dùng định lí Ta lét để CM ạ

Tìm Min của các phân thức sau:
a,$\frac{x^2+1}{x^2-x+1}$
b,$\frac{5x^2+21}{x^2+3}$
c,$\frac{5x^2-30x+53}{x^2-6x+10}$

Cô em giao về nhà 3 phần này nhưng em chỉ tìm được max của cả 3 phần chứ không tìm được min. Mọi người có thể hướng dẫn e cách tìm min của 3 phần này theo cách lớp 8 được không ạ

CM $3^{2^{4n+1}}+2\vdots 11$ với mọi n$\epsilon \mathbb{N}$

Một cách khác
$2^{4n+1} \equiv 16^n.2 \equiv 2$ (mod 5)
$\to 2^{4n+1}= 5k+2$ ($k \in N$)
Ta có $3^{2^{4n+1}}+2 \equiv 3^{5k+2}+2 \equiv 243^{k}.9+2 \equiv 0$ (mod 11)
Vậy $3^{2^{4n+1}}+2 \vdots 11$

Một cửa hàng có 6 thùng đựng dầu hoặc dấm, trên thùng có ghi lượng dầu hoặc dấm tính bằng kg: 8; 13; 15; 17; 19; 31. Giá một kg dầu gấp đôi giá một kg dấm.Một khách hàng mua năm thùng, số tiền mua dầu và số tiền mua dấm đều bằng 560 000 đồng. Hỏi: còn lại thùng nào? giá mỗi kg dầu? giá mỗi kg dấm?

Với cùng 1 số tiền mà giá một kg dầu gấp đôi giá một kg dấm nên số dấu mua được bằng 1 nửa số dấm mua được. Như vậy số dầu và dấm đã bán chia hết cho 3
Tổng số dầu và dấm trong 6 thùng là 103 kg chia 3 dư 1 nên thùng còn lại có khối lượng là 1 số chia 3 dư 1. Trong số 6 thùng, các thùng 13 kg, 19 kg, 31 kg là có khối lương chia 3 dư 1

+ nếu thùng còn lại là 13 kg thì số dầu và dấm bán được là 90 kg. ta tính được số dầu bán được là: 30kg.Trong số 5 thùng còn lại không có thùng nào có tổng khối lượng bằng 30kg.

+ LL tương tự thấy thùng còn lại ko thể là 31 kg. vậy thùng còn lại là 19 kg. Số dầu bán đc là: 28 kg. Giá tiền 1 kg dầu là: 560 000: 28 =20000(đ)
Giá tiền 1 kg dấm là: 560000: (28.2)= 10000 (đ)

Cho tam giác ABC có $\angle$ C < $\angle$ B <90 (hai góc đều nhọn) và có đường phân giác AD, đường cao AH. Chứng minh: $\angle HAD = \frac{1}{2} (\angle B + \angle C)$

Theo em thì bạn ấy chép sai đề. Đề đúng sẽ phải là: $\angle HAD = \frac{1}{2} (\angle B - \angle C)$

$\angle ADB$ là góc ngoài tại đỉnh D của $\Delta ADC$ nên

$\angle ADB= \angle DAC + \angle C = \frac{\angle BAC}{2} + C $

$=\frac{180^o- \angle B-\angle C }{2} + \angle C= 90^o-\frac{ \angle B }{2} -\frac{\angle C }{2} + \angle C= 90^o-\frac{ \angle B }{2} +\frac{\angle C }{2} $

$\Delta AHD$ vuông ở H có

$\angle ADB+ \angle HAD=90^o $. Hay $90^o-\frac{ \angle B }{2} +\frac{\angle C }{2}+ \angle HAD=90^o$

$\Rightarrow \angle HAD=90^o-90^o+\frac{ \angle B }{2} -\frac{\angle C }{2}=\frac{ \angle B }{2} -\frac{\angle C }{2}= \frac{1}{2} (\angle B - \angle C)$ (đpcm)

b. $4^{2n}-3^{2n}-7\vdots 168$ với $n\geq 1$

$4^{2n}-3^{2n}-7 \equiv 1^{2n}-0- 1 \equiv 1-0-1 \equiv 0$ (mod 3)

$4^{2n}-3^{2n}-7 \equiv 16^{n}-9^n-7 \equiv 2^n-2^n-0 \equiv 0$ (mod 7)

$4^{2n}-3^{2n}-7 \equiv 16^{n}-9^n-7 \equiv 0-1^n-(-1) \equiv -1+1 \equiv 0$ (mod 8)

Như vậy: $4^{2n}-3^{2n}-7 \vdots 3;8;7 $. mà $(3,7,8)=1; 3.7.8=168$

Vậy $4^{2n}-3^{2n}-7\vdots 168$ với $n\geq 1$ (đpcm)

CMR:$( 6^{2n+1}+5^{n+2} )\vdots 31$ với mọi $n\epsilon N$

Chưa ai giải theo đồng dư nhỉ :">

$6^{2n+1}+5^{n+2} \equiv 36^{n}.6+5^{n}.25 \equiv 5^{n}.6+5^{n}.25 \equiv 5^{n}.(6+25) \equiv 5^{n}.31 \equiv 0$ (mod 31)

~~~> đpcm

3)CM:$ 3^{2010} + 5^{2013} \vdots 13 $

Bài này mình làm nhầm chỗ nào mà không CM đc

$ 3^{2010} + 5^{2013} \vdots 13 = 3^{3.670} + 5^{2.1006+1}= 27^{670} + 25^{1006}.5 \equiv 1+(-1)^{1006}.5$
$=1+1.5=6 \pmod{13} $

Tìm a,b ; biết :
a/3 = b/7 và a*b = 84

đặt: $\dfrac{a}{3}=\dfrac{b}{7}= k$ $a=3k, b=7k$ $ab= 3k.7k= 21k^2=84$
$k^2= 4$ $k=\pm2$
+ $k= -2$ thì $a=-6, b=-14$
+ $k=2$ thì $a=6, b=14$