Hưng Phạm

Xin lỗi, mình viết nhầm, tứ giác MBDC chứ không phải MBCD. Theo mình thì đề đúng phải là "tìm điểm M trong tam giác ABC sao cho MA+MB+MC bé nhất" (đây là bài toán về điểm Toriceli) còn tìm M bất kỳ như đề của bạn thì bạn làm thử xem, mình không biết làm.

Mình có úp hình mà bạn, bạn hãy nhìn hình đi, tứ giác bạn sữa tên vẫn chẳng khá hơn tí nào

Bạn vẫn chưa thấy chỗ sai sao?
thứ nhất: nếu bạn xét tứ giác có 4 đỉnh là B,C,D,M thì luôn tồn tại 1 vùng của điểm M làm cho tứ giác đó không là tứ giác lồi => hướng giải bằng Ptolemee' gì đó "bó tay"
thứ hai: điều kiện dấu bằng của bạn là MD+MA = AD <=> M nằm trên ĐOẠN AD (M,A,D thẳng hàng thôi chưa đủ)
đường tròn ngoại tiếp BCD liệu có cắt ĐOẠN AD không?

Đề bài của mình vẫn không thay đổi, M vẫn cứ bất kì, còn muốn "đưa" nó vào miền ABC thì chỉ 1 thủ thuật đơn giản thôi:
-Nếu M nằm ngoài mặt phẳng (ABC) ta luôn chỉ được điểm M' thuộc (ABC) "tối ưu" hơn M
-Nếu M' nằm trong (ABC) và ngoài miền ABC ta luôn chỉ được điểm M'' thuộc miền ABC "tối ưu" hơn M'
(chỉ như thế nào chắc không phải viết ra đâu nhỉ?)
Bài toán có 2 chỗ "hay" mà bạn làm mình tiếc lộ mất 1 chỗ rồi, hi vọng sẽ có người tìm nốt chỗ hay thứ 2

PS: mình thật sự chẳng biết gì về bài toán Toriceli mà bạn nói

Bài 2 nhé, bài 1 dễ khỏi làm
*Bên ngoài $ \vartriangle ABC $ lấy điểm D sao cho $ \vartriangle BCD $ đều.
*Áp dụng bđt Ptolemeé cho tứ giác MBCD, ta có MB.CD + MC.BD MD.BC, lại có BC=BD=CD (do $ \vartriangle BCD $ đều)
MB + MC MD (đẳng thức xảy ra MBCD nội tiếp đường tròn)
MB+MC+MA MD+MA AD (bất đẳng thức tam giác), mà A,D cố định AD là hằng số
*Dấu bằng xảy ra MBCD nội tiếp đường tròn và A,M,D thẳng hàng
*Vậy MA+MB+MC nhỏ nhất $ \angle BMC = 60 độ $ và M AD

BĐT Ptolemee' được chứng minh cho trường hợp tứ giác lồi, vậy còn trường hợp tứ giác MBCD như hình thì áp dụng còn đúng không? (theo mình là không, nếu bạn không đồng ý thì hãy chứng minh)

Đề bài của mình không cò điều kiện gì về điểm M, nó nằm đâu cũng được.
Bài giải bạn chỉ đúng khi đề là: "Tìm điểm M sao cho tứ giác MBCD là tứ giác lồi và MA+MB+MC nhỏ nhất" - đây không phải đề bài của mình, đề của mình ở bên trên cùng topic kia

Nói về đáp án: đáp án bạn không đúng, MD+MA = AD <=> M nằm trên ĐOẠN AD (M,A,D thẳng hàng thôi chưa đủ)
đường tròn ngoại tiếp BCD liệu có cắt ĐOẠN AD không?

$13x^{2} + 6x \sqrt[2]{3y + 13} + 3y - 4x -155 = 0$

$f(x,3y) = 13x^{2} + 6x \sqrt[2]{(3y) + 13} + (3y) - 4x -155 = 0$
ĐK: 3y -13, hay y nhỏ nhất là -13/3
và x sẽ là nghiệm của PT: f(x,-13) = 0

Hãy nhìn vào hình ảnh dưới đây :

HQC gắn với tàu 2 thì tàu 1 chuyển động (và ngược lại HQC gắn với tàu 1 thì tàu 2 cũng chuyển động)
Thời gian ánh sáng đi từ A -> B 0, trong khoảng thời gian 0 đó tàu 1 rỏ ràng là không thể "chạy" được 1 khoảng AB dài như bạn vẽ được, bản chất là tàu 1 đứng yên trong khoảng thời gian 0 đó, hay là A B (Quay về hình vẽ bên trên cùng)
Trong 2 trường hợp ta đứng ở tàu 1 hay tàu 2 thì hình vẽ quan sát được là như nhau.
ps: tiên đề thứ hai của Einstein:
"Tốc độ ánh sáng trong chân không là một đại lượng không đổi trong tất cả các hệ qui chiếu quán tính"
cho nên ta quan sát ở bất kì HQC quán tính nào thì cũng chỉ thấy như hình trên cùng mà thôi.

Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH; D, E, F là giao các đường phân giác của tam giác ABC, HAB, HAC.
Chứng minh: AD vuông góc EF

Gọi K là giao điểm AD và EF
Ta có 3 hình vẽ đồng dạng với nhau (dễ chứng minh)
D,E,F lần lượt là giao 3 đường phân giác của 3
$\Rightarrow \dfrac{HE}{HF} = \dfrac{AB}{AC}$ (nhìn vào hình 3 đồng dạng)
$\Rightarrow \vartriangle HEF \sim \vartriangle ABC$ (có sẵn $\angle BAC = \angle EHF = 90^o$)
$\Rightarrow \angle HFE = \angle ACB$
Ta có:
$\angle HFC = \angle ADC = 180^o - \dfrac{\angle BAC+\angle BCA}{2} = 90 + \dfrac{\angle ABC}{2}$
(nhìn vào hình 3 đồng dạng)
$\angle HFD = 180^o - \angle HFC = 90^o - \dfrac{\angle ABC}{2}$
$\angle DFK = \angle HFD - \angle HFE = \angle HFD - \angle ACB = 90^o - \dfrac{\angle ABC}{2} - \angle ACB $
$= (90^o-\angle ACB) - \dfrac{\angle ABC}{2} \Leftrightarrow \angle DFK = \dfrac{\angle ABC}{2}$
Lại có:
$\angle ADC = \angle DKF + \angle DFK$
$\Leftrightarrow \angle DKF = \angle ADC - \angle DFK = \left\( {90^o + \dfrac{\angle ABC}{2}} \right\) - \left\( {\dfrac{\angle ABC}{2}} \right\) = 90^o$
Vậy AD EF