hoangkhtn2010

Cho $n$ là một số nguyên dương $\ge 2$. Xét bảng số $n \times n$. Trong mỗi ô vuông con của bảng ta điền các số $1$ hoặc $-1$. Ta thực hiện phép biến đổi sau: mỗi lần biến đổi ta chọn 4 số trong các hình sau (file đính kèm) và đổi dấu $4$ số trong hình đó. Hỏi sau hữu hạn lần thực hiện các phép biến đổi ta có thể đổi dấu tất cả các ô trong bảng được không?

Titu có nhiều quyển Numer theory lắm mà anh !!

à quyển Titu viết với Dorin Andrica

Chào mọi người, em là Phạm Huy Hoàng lớp 12A1 Toán THPT chuyên KHTN
lâu rồi k lên đây tham gia vì hơi bận, xin lỗi mọi người bây giờ em mới đọc dc tin này ^^
em muốn đăng kí quyển Number theory của Titu ạ, em có quyển này rồi nhưng mà bản ở nhà in ra xấu quá nên xin đăng kí quyển này

Cho hai đường tròn $(O,R)$ và $(O',R)$ cắt nhau tại $X,Y$ sao cho $XY=R$. Từ điểm $C$ nằm trên $(O)$ kẻ hai tiếp tuyến $CA,CB$ tới $(O')$ và hai đoạn này lần lượt cắt $(O)$ tại $B'$ và $A'$. Chứng minh rằng $A'B'$ tiếp xúc với $(O)$

Xin lỗi vì thắc mắc ^^

Bạn xem lại đoạn $x\mid y\to \varphi(x)\mid \varphi(y)$? Có vẻ kết quả này không hiển nhiên lắm ?

hoangkhtn2010 của đội Gamma giải bài 6 đội Beta:
Lời giải:
Kí hiệu $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ có tâm là $I$; $A_1,B_1,C_1$ là tiếp điểm của $(I)$ với các cạnh của tam giác ban đầu $T_0$ (ta kí hiệu $T_0$ bằng tam giác $ABC$ để tiện theo dõi).
Ta tính như sau:
$2p_1=B_1C_1+C_1A_1+A_1B_1
= 2r(\sum \cos \angle B_1C_1I)
= 2r(\sum \cos \frac{A}{2})$
Ngoài ra $p_0=r.\left(\sum \frac{1}{\tan\frac{A}{2}}\right)$. Do $\sum \tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}=1$ nên ta có \[2p_1=2p_0\prod\tan\frac{A}{2}.\left(\sum \cos \frac{A}{2}\right)\]
Theo các bất đẳng thức quen thuộc, ta có
$$\prod\tan\frac{A}{2}\le\frac{1}{3\sqrt{3}}, (1)$$
$$\sum\cos\frac{A}{2}\le \frac{3\sqrt{3}}{2}. (2)$$
Vì vậy $2p_1\le 2p_0.\frac{1}{3\sqrt{3}}.\frac{3\sqrt{3}}{2}=p_0$. Do đó $p_1\le \frac{p_0}{2}$.
Chứng minh một cách tương tự ta suy ra $p_n\le \frac{p_0}{2^n}$.
Vậy thì \[
\sum\limits_{i = 1}^n {p_i } \le \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{p_0 }}{{2^i }}} = \left( {1 - \frac{1}{{2^n }}} \right)p_0 < p_0
\]
Mặt khác, khi xét bất đẳng thức \[
\sum\limits_{i = 1}^n {p_i } \le \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{p_0 }}{{2^i }}} = \left( {1 - \frac{1}{{2^n }}} \right)p_0
,\]
ta chuyển qua giới hạn khi $n$ tiến đến $+\infty$ ta có $\lim_{n\to +\infty} \sum_{i=1}^np_i\le p_0$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi dấu bằng trong hai bất đẳng thức (1) và (2) xảy ra, nghĩa là tam giác $T_0$ đều.
Bài toán chứng minh xong.
**Chứng minh hai bất đẳng thức (1) và (2)**
a. Chứng minh bất đẳng thức (1):
Theo trên, do $\sum \tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}=1$ nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

\[
1 = \sum {\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}} \ge 3\left( {\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2}} \right)^{\frac{2}{3}} \Rightarrow \tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2} \le \frac{1}{{3\sqrt 3 }}
\]
Vậy bất đẳng thức (1) chứng minh xong.
b. Chứng minh bất đẳng thức (2): Xét hàm số $f(x)=\cos x$ có $f''(x)=-\cos x \le 0$ với mọi $x\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$ nên $f(x)$ là hàm lõm trên $\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$. Áp dụng bất đẳng thức Jensen cho $x$ lần lượt là $\frac{A}{2},\frac{B}{2},\frac{C}{2}$ ta có:

\[
\sum {\cos \frac{A}{2}} \le 3\cos \frac{{\sum {\frac{A}{2}} }}{3} = 3\cos \frac{\pi }{6} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}
\]
Bất đẳng thức (2) chứng minh xong.
Dẫu bằng ở cả hai bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi tam giác $ABC$ đều.
________________________________________________________________
@ Trọng tài: Cách làm hay!

Điểm: 8/8