emmuongioitoan

Suy luận tí đi, cái hình mà dấu mũi tên chỉ ngoài hình dạng không có gì khác biệt nên ta bỏ qua, xét tới màu sắc và câu nói khi chỉ vào!

Số đỏ! Tên 1 tác phẩm Văn học & 1 hãng mì tôm

Bài 25 : cho a,b dương . cmr :
$ (ab)^2+a^2+b^2+1 \geq a^2b+b+ab^2+a $

Bài này dễ quá, BĐT tương tương với $(a^2+1)(b^2+1) \ge (1+ab)(a+b)$

BĐT này được suy từ 2 BĐT sau

$(a^2+1)(b^2+1) \ge (ab+1)^2$

$(a^2+1)(1+b^2) \ge (a+b)^2$

(Cauchy Swcharzt)

Cho 2 dãy số $ (x_n),(y_n) $ thỏa mãn
1.$ y_n $ là dãy số tăng và dương
2.$ lim y_n = + \infty $
3. Tồn tại $ lim \dfrac{x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_n} = L $
thì khi đó
$ lim\dfrac{x_n}{y_n} = L $

* Nếu chọn dãy
$y_n = n \\ x_n = \sum\limit_{i=1}^n a_i $
ta dc dinh ly trung binh Cesaro

$ lim a_n = L \rightarrow lim \dfrac{a_1 +a_2 +...+a_n}{n} =L $
Nhờ bác nào cm định lí Stolz giùm và cho một số ví dụ thực hành

Stolz cũng có 2 dạng mà, ngoài dạng ở trên chúng ta còn có

(Định lý Stolz) Cho $\{x_n\}, \{y_n\}$ là hai dãy thỏa mãn $lim x_n = lim y_n = 0 $ khi $n->+\infty $ và $\{y_n\}$ giảm thực sự
Khi đó nếu tồn tại $ lim \dfrac{x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_n} = L $
thì
$ lim\dfrac{x_n}{y_n} = L $

May là anh bỏ dấu ''='' đi chứ không em lại tưởng sai đề.

Làm sao tưởng được? Cái này hết sức cơ bản mà, theo logic thì ">=" nghĩa là lớn hơn hoặc bằng, nên viết 2>=1 cũng chả sao. Tặng mọi người 2 bài

Bài 33. Cho $a,b,c >0$ và $a+b+c = 1$. Chứng minh rằng:

$( \sqrt{a}+\sqrt{b} +\sqrt{c} )( \dfrac{1}{ \sqrt{a+1} }+\dfrac{1}{ \sqrt{b+1} } +\dfrac{1}{ \sqrt{c+1} } ) \le \dfrac{9}{2}$

Bài 34. Cho $a,b,c >0$ và $a+b+c = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$.

Chứng minh rằng $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \le 1$

Vậy là còn 2 bài.

Bài 31:Cho $a,b,c>0$
Chứng minh rằng:
$\sqrt[5]{{\dfrac{a}{{b + c}}}} + \sqrt[5]{{\dfrac{b}{{c + a}}}} + \sqrt[5]{{\dfrac{c}{{a + b}}}} > \dfrac{{5.\sqrt[5]{4}}}{4}$

Mọi người chém nhiệt tình nhé!

ta chứng minh kết quả chặt hơn nữa,


$\sqrt[5]{{\dfrac{a}{{b + c}}}} + \sqrt[5]{{\dfrac{b}{{c + a}}}} + \sqrt[5]{{\dfrac{c}{{a + b}}}} > 2$ (1)


Thật vậy, đặt $\sqrt[5]{a} = \sqrt{x}, \sqrt[5]{b} = \sqrt{y}, \sqrt[5]{c} = \sqrt{z}$

Xét BĐT $\sqrt[5]{{\dfrac{a}{{b + c}}}} \ge \sqrt{{\dfrac{x}{{y + z}}}} $ lũy thừa mũ 10 cả 2 vế và rút gọn (chú ý $\sqrt[5]{a} = \sqrt{x}$) ta thấy BĐT này tương đương với

$(y+z)^5 \ge (b+c)^2 \Leftrightarrow 5yz(y^3+z^3)+10y^2z^2(y+z) \ge 2bc$

BĐT này đúng, nếu ta áp dụng AM-GM cho 2 cặp ngoặc $(y^3+z^3)$ và $(y+z)$ thì $VT \ge 30bc > 2bc$

Từ đó $\sqrt [5] { \dfrac{a}{b + c}} > \sqrt { \dfrac{x}{y + z}} $


$ = \dfrac{x}{ \sqrt {(y + z)x}} \ge \dfrac{2x}{x+y+z} $ (AM-GM)

Viết 2 điều tương tự với các phân thức sau và cộng lại ta thu được (1)

Chào mọi người. Cho em hỏi, em năm tới lên lớp 8, sau này muốn được thi IMO thì giờ cần học những phần nào? Hiện tại em đã đọc qua qua hết bộ sách GK toán đến lớp 8 đến lớp 12. Thanks