minhson95

Bạn áp dụng cô-si cho 4 số nào đấy mình không hiểu. Bạn có thể giải thích chi tiết được không.

Bạn áp dụng cô-si cho 4 số nào đấy mình không hiểu. Bạn có thể giải thích chi tiết được không.

Giải thích chi tiết về lời giải của Ke Vo Tinh như sau:
$\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) +(a+b+c)^2=\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) +\frac{(a+b+c)^2}{3}+\frac{(a+b+c)^2}{3}+\frac{(a+b+c)^2}{3} \geq 4\sqrt[4]{\dfrac{\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})(a+b+c)^6}{27}}$

$ \geq 4\sqrt[4]{\frac{3\sqrt[3]{(\sqrt{abc})^4}.(3\sqrt[3]{abc})^4.(a+b+c)^2}{27}}=4\sqrt{3abc(a+b+c)}$

$Q.E.D$

Sao $\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=1$ hả mọi người?

Ta có $\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=\frac{abc}{ab+ab^2c+abc}+\frac{abc}{ca+a+abc}+\frac{1}{bc+c+1}=\frac{c}{bc+c+1}+\frac{bc}{bc+c+1}+\frac{1}{bc+c+1}=1$

$Q.E.D$

Cho x,y,z>0 TM: xy+yz+zx=1. Tìm minA:

$A=21(x^2+y^2)+z^2$

Cho a,b,c>0 TM abc=1 CMR:

$\frac{1}{\sqrt{a^3+2b^3+6}}+\frac{1}{\sqrt{b^3+2c^3+6}}+\frac{1}{\sqrt{c^3+2a^3+6}} \leq 1$

Cho a,b,c>0 CMR:

$\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) +(a+b+c)^2 \geq 4\sqrt{3abc(a+b+c)}$

Cho a,b,c,d>0 CMR:

$\frac{a^4}{(a+b)(a^2+b^2)}+\frac{b^4}{(b+c)(b^2+c^2)}+\frac{c^4}{(c+a)(c^2+a^2)} \geq \frac{a+b+c+d}{4}$

Ta có: \[x_n^2 = {x_{n + 1}} + 2 = \frac{{x_{n + 1}^2 - 4}}{{{x_{n + 1}} - 2}} = \frac{{x_{n + 1}^2 - 4}}{{x_n^2 - 4}}\]
Suy ra: \[\prod\limits_{k = 1}^n {x_k^2} = \frac{{x_{n + 1}^2 - 4}}{{x_1^2 - 4}} = \frac{{x_{n + 1}^2 - 4}}{{10}} \Rightarrow {\left( {\frac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_1}{x_2}...{x_n}}}} \right)^2} = 10\left( {\frac{{x_{n + 1}^2}}{{x_{n + 1}^2 - 4}}} \right)\]
$\left\{ {{x_n}} \right\}$ là dãy tăng và không bị chặn trên nên \[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = + \infty \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_1}{x_2}...{x_n}}}} \right)^2} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{{10x_{n + 1}^2}}{{x_{n + 1}^2 - 4}}} \right) = 10\]
Vậy: $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_1}{x_2}...{x_n}}} = \sqrt {10} $.

$\prod\limits_{k = 1}^n {x_k^2}$

Đây là cái gì hả anh?

Cho dãy số $(x_n)$ biết $x_1=4$ và $x_{n+1}=x_n^2-2$

Tìm $lim \frac{x_{n+1}}{x_1x_2...x_n}$

Cho $a,b,c \geq 0$ sao cho không có 2 số nào đồng thời bằng 0
CMR:

$\frac{a^2}{5a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2}{5b^2+(c+a)^2}+\frac{c^2}{5c^2+(a+b)^2} \leq \frac{1}{3}$

Cho a,b,c>0 CMR:

$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq \frac{4(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}-3$

Cho a,b,c>0 CMR:

$\frac{a}{\sqrt{a+b}}+\frac{b}{\sqrt{b+c}}+\frac{c}{\sqrt{c+a}} \leq \frac{ab+bc+ca}{\sqrt{2abc}}$

Cho a,b,c>0 CMR:

$\sqrt{\frac{a^2}{b^2+(c+a)^2}}+ \sqrt{\frac{b^2}{c^2+(a+b)^2}}+ \sqrt{\frac{c^2}{a^2+(b+c)^2}} \leq \dfrac{3}{\sqrt{5}}$

Ta có thể giải như sau:
Do $ 4((2x^2-3x+4)(2y^2-3y+4)- 18)+23(x^2+y^2+xy-7x-6y+14)=0$
Suy ra $16x^2y^2-24x^2y+55x^2-24xy^2+59xy-209x+55y^2-186y+314=0$
Suy ra $(16y^2-24y+55)x^2+(-209+59y-24y^2)x+314+55y^2-186y=0$
Phương trình có $\Delta=(-209+59y-24y^2)^2-4(16y^2-24y+55)(314+55y^2-186y)=-(36539y^2-46402y+25399+2944y^4-14352y^3)$
Lại có $36539y^2-46402y+25399+2944y^4-14352y^3=2944\left(y-\dfrac{39}{32} \right)^4+\dfrac{41207}{4} \left( y-{\frac {1605391}{1318624}} \right) ^{2}+{\dfrac {1226733448493}{337567744}}>0$
Suy ra Phương trình vô nghiệm
Suy ra Hệ phương trình vô nghiệm.

Nhưng sao nghĩ ra được PT (1) nhân với 4 PT (2) nhân với 23 rồi cộng vế với vế vậy?

Ta có thể giải như sau:
Do $ 4((2x^2-3x+4)(2y^2-3y+4)- 18)+23(x^2+y^2+xy-7x-6y+14)=0$
Suy ra $16x^2y^2-24x^2y+55x^2-24xy^2+59xy-209x+55y^2-186y+314=0$
Suy ra $(16y^2-24y+55)x^2+(-209+59y-24y^2)x+314+55y^2-186y=0$
Phương trình có $\Delta=(-209+59y-24y^2)^2-4(16y^2-24y+55)(314+55y^2-186y)=-(36539y^2-46402y+25399+2944y^4-14352y^3)$
Lại có $36539y^2-46402y+25399+2944y^4-14352y^3=2944\left(y-\dfrac{39}{32} \right)^4+\dfrac{41207}{4} \left( y-{\frac {1605391}{1318624}} \right) ^{2}+{\dfrac {1226733448493}{337567744}}>0$
Suy ra Phương trình vô nghiệm
Suy ra Hệ phương trình vô nghiệm.

$ \Delta=-2944y^4+2252y^3-24439y^2+46402y-25399$ chứ?

Cho 4 điểm A,B,C,D theo thứ tự cùng nằm trên một đường thẳng. Một đường tròn © đi qua 2 điểm B,C sao cho AM,AN,DK và DL là các tiếp tuyến của ©

a) CMR: $P=MN \cap BC$ , $Q=KL \cap BC$ không phụ thuộc cào đường tròn ©.
b) Giả sử $AD=a$ , $BD=b$ (a>b) và đoạn thẳng BC di chuyển trên AD. Tìm độ dài bé nhất của đoạn thẳng PQ.