Vũ Sơn

Dạ thành thật mà nói là em mới học lớp 12 thôi ạ,nên cũng chưa học cách giải phương trình vi phân có dạng $f(x)y'+g(x)y^2=h(x)$ nên em post lên để xin hướng giải,nếu anh có thể post lời giải đầy đủ thì tốt quá.Thanks.

Dạng $f(x)y'+g(x)y^2=h(x)$ không có trong các dạng cơ bản của phương trình vi phân bạn à.
Mình xin trình bày bài toán của bạn thế này:
Đưa phương trình đã cho về: $\cos x\frac{{dy}}{{dx}} = 1 - y^2$ (1)
* Nhận thấy phương trình (1) có nghiệm là $y = \pm 1$ (Nghiệm này có sách thì gọi là nghiệm Kỳ Dị, có sách gọi là nghiệm Bất Thường hay nghiệm Không Tầm Thường).
* Nếu $y \ne \pm 1$:
\[

\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{{dy}}{{1 - y^2 }} = \frac{{dx}}{{\cos x}}

\]
Lấy tích phân 2 vế (Cả 2 tích phân ở 2 vế đều là tích phân của lớp 12, mình xin lấy kết quả của bạn NhatRio luôn),
\[

\ln \left| {\frac{{1 + y}}{{1 - y}}} \right| = \ln \left| {\frac{{1 + \sin x}}{{1 - \sin x}}} \right| + \ln \left| C \right| \Leftrightarrow \ln \left| {\frac{{1 + y}}{{1 - y}}} \right| = \ln \left| {C.\frac{{1 + \sin x}}{{1 - \sin x}}} \right|

\]
\[

\frac{{1 + y}}{{1 - y}} = \frac{{C + C\sin x}}{{1 - \sin x}}

\]
\[

y = \frac{{C - 1 + \left( {C + 1} \right)\sin x}}{{C+1 + \left( {C - 1} \right)\sin x}}

\]

Mình thử phang bài 2.
Do có 3 cầu thủ bị chấn thương nên còn lại 8 cầu thủ. X đá quả số 1 và Y đá quả số 4 nên HLV cần phải chọn thêm 3 cầu thủ trong số 6 cầu thủ còn lại. Vậy số cách chọn là: $A_6^3$

giải PT vi phân không quan trọng cái $C$ lắm đâu, có thể đặt lại được mà, còn mình ghi vậy là để cho đọc vào cho dễ hiểu thôi!

Theo mình thì $C$ không những quan trọng mà là vô cùng quan trọng. Trong tích phân bất định nó quan trọng đã đành, trong phương trình vi phân nó còn quan trọng ở việc anh chọn nó như thế nào?
Có 2 loại nghiệm: Loại nghiệm thứ nhất, thường gọi là nghiệm tường minh (đó là nghiệm mà $x$ ở một vế và $y$ ở một vế, trong định nghĩa nghiệm PTVP thì nó là nghiệm (đúng nghĩa) hay nghiệm tổng quát, loại nghiệm thứ hai là nghiệm thu được dưới dạng hàm ẩn ($x$ và $y$ có thể ở cùng một vế, trong định nghĩa nghiệm PTVP nó là Tích Phân Tổng Quát). Việc tìm nghiệm hay tích phân tổng quát là như nhau (Tuy nhiên, thầy cô luôn khuyến khích việc tìm ra nghiệm chứ không phải tích phân tổng quát) nhưng trong bài toán tìm nghiệm, nếu không chọn $C$ cho khéo léo thì anh không thể rút $x$ theo $y$ hoặc là $y$ theo $x$ được.
Trở lại bài toán của chủ 2Pic và lời giải của bạn: Đề bài không nói rõ là tìm tích phân tổng quát hay là nghiệm, lời giải của bạn cũng "chưa về đích" bởi vì bạn đã tìm ra tích phân tổng quát, trong trường hợp này bạn để $C$ như thế là chấp nhận được. Song nếu bài toán yêu cầu tìm nghiệm thì việc chọn $C$ như bạn là Chưa Khéo Léo, dẫn tới việc "không về đích được", bởi nếu bạn chọn ln|C| thì nghiệm của nó như thế này:
\[

y = \frac{{C - 1 + \left( {C + 1} \right)\sin x}}{{C+1 + \left( {C - 1} \right)\sin x}}

\]

$\int_{0}^{1}\dfrac{x^{\alpha }}{e^{x}-1}dx$

Mình phang thử:
Do $x = 0$ là điểm bất thường và khi $x \to 0$ thì:
\[

\frac{{x^\alpha }}{{e^x - 1}} \sim \frac{{x^\alpha }}{x} = \frac{1}{{x^{1 - \alpha } }}

\]
Khi $x \to 0$ thì \[\frac{{x^a }}{{e^x - 1}}\] là một vô cùng lớn đồng bậc với \[\frac{1}{{x^{1 - \alpha } }}\].
Do đó: \[\int_0^1 {\frac{{x^a }}{{e^x - 1}}} dx\] hội tụ khi $1 - \alpha < 1$ hay $\alpha > 0$
và \[\int_0^1 {\frac{{x^a }}{{e^x - 1}}} dx\] phân kỳ khi $\alpha \le 0$.

Mình trình bày không được đẹp, tại để trên một dòng Tex nó cứ thu nhỏ công thức lại, khó nhìn.

Mình sửa rồi, bạn xem thử. Híc...hậu đậu quá, dốt + nhiệt tình = phá hoại...may mà chưa phá hoại...