Vũ Sơn

giải PT vi phân không quan trọng cái $C$ lắm đâu, có thể đặt lại được mà, còn mình ghi vậy là để cho đọc vào cho dễ hiểu thôi!

Theo mình thì $C$ không những quan trọng mà là vô cùng quan trọng. Trong tích phân bất định nó quan trọng đã đành, trong phương trình vi phân nó còn quan trọng ở việc anh chọn nó như thế nào?
Có 2 loại nghiệm: Loại nghiệm thứ nhất, thường gọi là nghiệm tường minh (đó là nghiệm mà $x$ ở một vế và $y$ ở một vế, trong định nghĩa nghiệm PTVP thì nó là nghiệm (đúng nghĩa) hay nghiệm tổng quát, loại nghiệm thứ hai là nghiệm thu được dưới dạng hàm ẩn ($x$ và $y$ có thể ở cùng một vế, trong định nghĩa nghiệm PTVP nó là Tích Phân Tổng Quát). Việc tìm nghiệm hay tích phân tổng quát là như nhau (Tuy nhiên, thầy cô luôn khuyến khích việc tìm ra nghiệm chứ không phải tích phân tổng quát) nhưng trong bài toán tìm nghiệm, nếu không chọn $C$ cho khéo léo thì anh không thể rút $x$ theo $y$ hoặc là $y$ theo $x$ được.
Trở lại bài toán của chủ 2Pic và lời giải của bạn: Đề bài không nói rõ là tìm tích phân tổng quát hay là nghiệm, lời giải của bạn cũng "chưa về đích" bởi vì bạn đã tìm ra tích phân tổng quát, trong trường hợp này bạn để $C$ như thế là chấp nhận được. Song nếu bài toán yêu cầu tìm nghiệm thì việc chọn $C$ như bạn là Chưa Khéo Léo, dẫn tới việc "không về đích được", bởi nếu bạn chọn ln|C| thì nghiệm của nó như thế này:
\[

y = \frac{{C - 1 + \left( {C + 1} \right)\sin x}}{{C+1 + \left( {C - 1} \right)\sin x}}

\]

Mình phang thử bài 2:

2)$\int_{3}^{1}\dfrac{dx}{\sqrt{-x^{2}+4x-3}}$

\[
I = \int_3^1 {\dfrac{{dx}}{{\sqrt { - x^2 + 4x - 3} }}} = \int_3^1 {\dfrac{{dx}}{{\sqrt {\left( {x - 3} \right)\left( {1 - x} \right)} }}}
\]
Điểm bất thường: $x=3$ và $x=1$. Cố định $\alpha ,\beta$, rồi đặt
\[
x = 3\cos ^2 t + \sin ^2 t \Rightarrow dx = ( - 6\cos t.\sin t + 2\sin t\cos t)dt = - 4\cos t\sin tdt
\]
\[x = 3,\,t = 0;\,x = 1,\,t = \dfrac{\pi }{2}
\]
Từ đó:
\[
I = \mathop {\lim }\limits_{\scriptstyle \alpha \to 0^ + \atop
\scriptstyle \beta \to \dfrac{\pi }{2}^ -} \int_\alpha ^\beta {\dfrac{{ - 4\sin t\cos tdt}}{{\sqrt {\left( { - 2\sin ^2 t} \right)\left( { - 2\cos ^2 t} \right)} }}} = - 2\mathop {\lim }\limits_{\scriptstyle \alpha \to 0^ + \atop
\scriptstyle \beta \to \dfrac{\pi }{2}^ -} \int_\alpha ^\beta {dt} = - 2\int_0^{\dfrac{\pi }{2}} {dt} = -\pi
\]

Tìm vi phân cấp 2: $y'' = yy' + y'$ (1)
HD: Hạ cấp bằng cách đặt $y' = z$ tức là $\dfrac{{dy}}{{dx}} = z$
Ta có:
\[

y'' = \dfrac{{dz}}{{dx}} = \dfrac{{dy}}{{dx}}.\dfrac{{dz}}{{dy}} = z.\dfrac{{dz}}{{dy}}

\]


( 1) trở thành $z.\dfrac{{dz}}{{dy}} = z\left( {y + 1} \right)$

Hay: $dz = \left( {y + 1} \right)dy$

Tích phân 2 vế: $z = \dfrac{{y^2 }}{2} + y + C_1 ,\,C_1 - const$

Hay: $y' = \dfrac{{y^2 }}{2} + y + C_1$

Tích phân 2 vế lần nữa:
\[

y = x\left( {\dfrac{{y^2 }}{2} + y + C_1 } \right) + C_2

\]

Bài 2. Ta có:
\[

f\left( A \right) = A^2 + 2A + I = A.A + 2A + I

\]
\[

= \left[ {\begin{array}{*{20}c}
2 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
1 & 1 & 1 \\
\end{array}} \right].\left[ {\begin{array}{*{20}c}
2 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
1 & 1 & 1 \\
\end{array}} \right] + 2.\left[ {\begin{array}{*{20}c}
2 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
1 & 1 & 1 \\
\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}c}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}} \right]

\]
\[

= \left[ {\begin{array}{*{20}c}
4 & 4 & 0 \\
0 & 4 & 0 \\
3 & 4 & 1 \\
\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}c}
4 & 2 & 0 \\
0 & 4 & 0 \\
2 & 2 & 2 \\
\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}c}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
9 & 6 & 0 \\
0 & 9 & 0 \\
5 & 6 & 4 \\
\end{array}} \right]

\]

Bài 3. Tìm cách đưa 1 hàng hoặc 1 cột mà có các phần tử chia hết cho 23 (Hoặc 17) thì định thức đó chia hết cho 23 (Hoặc 17). Đơn giản là cứ tính thẳng định thức ra.

Bài 6a).
\[

\left| {\begin{array}{*{20}c}
3 & 2 & 2 & {...} & 2 \\
2 & 3 & 2 & {...} & 2 \\
2 & 2 & 3 & {...} & 2 \\
{...} & {...} & {...} & {...} & {...} \\
2 & 2 & 2 & {...} & 3 \\
\end{array}} \right|

\]
Cộng các cột 2, 3,... vào cột 1 và đặt nó vào cột 1. Ta có:
\[

\left| {\begin{array}{*{20}c}
{3 + 2 + 2 + ... + 2} & 2 & 2 & {...} & 2 \\
{2 + 3 + 2 + ... + 2} & 3 & 2 & {...} & 2 \\
{2 + 2 + 3 + ... + 2} & 2 & 3 & {...} & 2 \\
{...} & {...} & {...} & {...} & {...} \\
{2 + 2 + 2 + ... + 3} & 2 & 2 & {...} & 3 \\
\end{array}} \right|

\]
Nhân hàng 1 với (-1) rồi cộng vào các hàng 2, 3,...Sau đó khai triển theo hàng 1. Ta có:
\[

\left( {3 + 2 + ... + 2} \right)\left| {\begin{array}{*{20}c}
3 & 2 & {...} & 2 \\
2 & 3 & {...} & 2 \\
{...} & {...} & {...} & {...} \\
2 & 2 & {...} & 3 \\
\end{array}} \right|

\]
Lặp lại quá trình trên ta thu được kết quả cuối cùng là:
\[

\left( {{\rm{3 + 2 + 2 + }}...{\rm{ + 2}}} \right)!

\]

Bài 6b).
\[

\left|{\begin{array}{*{20}c}
1 & n & n & {...} & n & n \\
n & 2 & n & {...} & n & n \\
{...} & {...} & {...} & {...} & {...} & {...} \\
n & n & n & {...} & {n - 1} & n \\
n & n & n & {...} & n & n \\
\end{array}}\right|

\]
Nhân hàng thứ n với (-1) rồi cộng vào các hàng n-1, n-2, ...1 và đặt vào tương ứng hàng n-1, n-2, ...1. Ta có:
\[

\left| {\begin{array}{*{20}c}
{1 - n} & 0 & 0 & {...} & 0 & 0 \\
0 & {2 - n} & 0 & {...} & 0 & 0 \\
{...} & {...} & {...} & {...} & {...} & {...} \\
0 & 0 & 0 & {...} & { - 1} & 0 \\
n & n & n & {...} & n & n \\
\end{array}} \right| = n.\left( { - 1} \right)...\left( {2 - n} \right)\left( {1 - n} \right)

\]

a. Có 10! cách
b. Tạm đánh số 2 dãy ghế là:
1 2 3 4 5
10 9 8 7 6
Có 2 cách xếp nhóm nam và nữ. Mỗi cách xếp lại có 5! cách xếp nhóm nam và 5! cách xếp nhóm nữ. Vậy là có 2*5!*5! cách xếp thỏa mãn b/.
c. Vẫn đánh số ghế như trên. Nữ ngồi ghế số lẻ, có 5! cách xếp. Nam ngồi vào ghế chẵn, có 5! cách xếp. Đổi vai trò Nam ngồi số ghế lẻ, nữ ngồi số ghế chẵn. Vậy số cách xếp thỏa c/ là 2*5!*5!.
d. Cách xếp như câu b/ thỏa mãn và cách xếp câu c/ cũng thỏa mãn. 2 cách đó không ảnh hưởng nhau. Do đó theo quy tắc cộng ta có: 2*5!*5! + 2*5!*5! cách xếp thỏa câu d/.