taminhhoang10a1

Đội DELTA xin giải bài 1 của BETA:
Tính chất: a đồng dư b theo modun c khi và chỉ khi (a-b) chia hết cho c

Ta có $2222 \equiv 3(\bmod 7) \Rightarrow 2222^{5555} \equiv 3^{5555} (\bmod 7)$
$5555 \equiv 4(\bmod 7) \Rightarrow 5555^{2222} \equiv 4^{2222} (\bmod 7)$
Lại có $4^3 \equiv 1(\bmod 7) \Rightarrow 4^{2220} = 4^{3.740} \equiv 1(\bmod 7)$
$ \Rightarrow 4^{2222} = 4^2 .4^{2220} \equiv 4^2 (\bmod 7)$
Mà $4^2 \equiv 2(\bmod 7) \Rightarrow 4^{2222} \equiv 2(\bmod 7)$
Tương tự ta có được $3^{5555} \equiv 5(\bmod 7)$
Vậy $2222^{5555} + 5555^{2222} $ chia hết cho 7

PSW : Great

Các bạn THCS muốn hiểu rõ hơn về lời giải này ; có thể tìm đọc các bài viết về " cấp của 1 số nguyên "

PSW : 6/6 điểm

Cho dãy $(u_n )$ thỏa mãn: $\left\{ \begin{array}{l}
u_1 = 1 \\
u_{n + 1} = 1 + \dfrac{{2008}}{{1 + u_n }} \\
\end{array} \right.$
Chứng minh dãy co giới hạn hữu hạn. Tìm lim

hi

Muốn làm được bài báo để gửi lên THTT nhằm quảng bá diễn đàn thì trước mắt, cần phải tập trung nhân lực để tiến hành làm tuyển tập, viết chuyên đề.
Sau đó ta sẽ chọn lọc để gửi.
Có nhiều Topic lập ra bàn về việc viết chuyên đề nhưng vẫn chưa đi đến được việc thực thi vì nhiều lý do.
Theo mình, lên tiến hành ngay. Mỗi người một tay!

Theo em chúng ta chưa nhất thiết phải tập trung viết chuyên đề mà mục đích trước mắt của việc gửi 1 bài báo lên THTT là nhằm quảng bá về diễn đàn ta. Sau đó mới tiến tới các bước tiếp theo. Nên động viên các thành viên của diễn đàn là nếu bạn nào có lời giải 1 bài toán trên tạp chí hoặc gì đó tương tự thì nên ghi bên dưới họ tên dòng chữ (thành viên của diendantoanhoc.net)

Vấn đề thứ 2 ý em muốn nói là thành viên của diễn đàn thì nhiều nhưng chuyên cần thì ít. Rất tán thành ý kiến của anh về việc lập ra tạp chí VMF

Em tham gia vào diễn đàn đã được 1 thời gian và có 1 vài tâm sự với ban quản trị và toàn thể thành viên. Em xin trình bày ý kiến cá nhân của mình như sau:

Thứ nhất: Em xin đề nghị diễn đàn mình không chỉ dừng lại ở việc tôi ra đề bạn trả lời. Làm như thế không những khiến nhiều bạn ỷ nại vào diễn đàn, là nơi để dưa ra những bài không làm được, tưởng chừng rất khó mà lại quá dễ ( các bạn có thể vào mục lượng giác THPT để xem), dẫn đến thiếu sự tự giác hay tinh thần tự học. Diễn đàn nên lập ra những mục tạm goị là chuyên đề về toán học sơ cấp để dành cho những ai không được học đội tuyển như chúng em (ở trường em, lớp 10 và 11 không có đội tuyển) có dịp học sâu hơn những gì đã học trên lớp. Có thể mời những thầy cô tham gia dạy đội tuyển vào diễn đàn mình để thảo luận những chuyên đề này

Thứ hai: Em thấy thành viên của diễn đàn thì nhiều nhưng chuyên cần thì ít. Phải chăng chúng ta chưa có sức hấp dẫn với nhiều bạn? Hiện nay có rất nhiều loại game online thu hút nhiều bạn chơi. Tại sao chúng ta không làm cho diễn đàn trở thành nơi để các bạn trẻ thư giãn, nghiên cứu và học tập sau giờ học thay vì những trò chơi vô bổ đó?

Thứ ba: Em xin mạnh dạn đề nghị diễn đàn mình làm một bài báo gửi lên tạp chí THTT để giới thiệu về diễn đàn để cho nhiều người biết hơn vì tạp chí THTT là 1 người bạn quen thuộc của nhiều bạn đoc mê toán.

Thứ tư: Trong thời buổi hiện nay, vấn đề an ninh mạng là rất quan trọng. Gần đây có nhiều trang web của VN bị tấn công dữ dội. Mong ban quản trị có những điều chỉnh kịp thời để bảo vệ diễn đàn
Xin mọi người cho ý kiến về quan điểm của em
Cuối cùng em xin chúc diễn đàn ngày càng phát triển và trở thành cầu nối giữa Toán học và đời sống.

Bài 40Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a, b, c$, ta luôn có
$$\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} \ge \dfrac{ab}{a^2+bc+ca}+\dfrac{bc}{b^2+ca+ab}+\dfrac{ca}{c^2+ab+bc}$$

Em xin giải quyết bài toán như sau:

Ta có: $VP.(\dfrac{{a(a^2 + bc + ca)}}{b} + \dfrac{{b(b^2 + ca + ab)}}{c} + \dfrac{{c(c^2 + ab + bc)}}{a})$
$ \le (a + b + c)^2 $
Lại có $(\dfrac{{a^3 }}{b} + \dfrac{{b^3 }}{c} + \dfrac{{c^3 }}{a})(ab + bc + ca) \ge (a^2 + b^2 + c^2 )^2$
Nên $\dfrac{{a^3 }}{b} + \dfrac{{b^3 }}{c} + \dfrac{{c^3 }}{a} \ge ab + bc + ca$
$\dfrac{{a^2 c}}{b} + bc + \dfrac{{b^2 a}}{c} + ca + \dfrac{{c^2 b}}{a} + ab \ge 2(ab + bc + ca)$
$ \Rightarrow \dfrac{{a^3 }}{b} + \dfrac{{b^3 }}{c} + \dfrac{{c^3 }}{a} + ab + bc + ca + \dfrac{{a^2 c}}{b} + \dfrac{{b^2 a}}{c} + \dfrac{{c^2 b}}{a} \ge 3(ab + bc + ca)$
Mặt khác: $(a + b + c)^2 \le 3(a^2 + b^2 + c^2 )$
Từ đó suy ra BĐT cần chứng minh
Dấu = xảy ra khi a = b = c

Đây là ảnh của em và lớp tại Bái Đính. Chụp bàng điện thoại nên hơi bé

Em xin chứng minh BĐT như sau:
Ta có: $(a^2 b + b^2 c + c^2 a)(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}) \ge (a + b + c)^2 $
Mà abc=1 $ \Rightarrow a^2 b + b^2 c + c^2 a \ge \dfrac{{(a + b + c)^2 }}{{ab + bc + ca}}$ (1)
Lại có abc=1 nên tồn tại x,y,z > 0 sao cho $a = \dfrac{x}{y},b = \dfrac{y}{z},c = \dfrac{z}{x}$
$ \Rightarrow a^2 b + b^2 c + c^2 a = \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{{x^2 }}{{yz}} + \dfrac{{y^2 }}{{zx}} + \dfrac{{z^2 }}{{xy}} = \dfrac{{x^3 + y^3 + z^3 }}{{xyz}}$
$\ge \dfrac{{x^2 z + y^2 x + z^2 y}}{{xyz}} = \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{z} + \dfrac{z}{x} = a + b + c$

$ \Rightarrow a^2 b + b^2 c + c^2 a \ge a + b + c$ (2)
Từ (1) và (2) $ \Rightarrow 2012(a^2 b + a^2 b + a^2 b) \ge 2011(a + b + c) + \dfrac{{(a + b + c)^2 }}{{ab + bc + ca}} = (a + b + c)(2011 + \dfrac{{a + b + c}}{{ab + bc + ca}})$
Theo cô si ta lại có: $2011 + \dfrac{{a + b + c}}{{ab + bc + ca}} \ge 2012\sqrt[{2012}]{{\dfrac{{a + b + c}}{{ab + bc + ca}}}}$ suy ra dpcm
Dấu = xảy ra khi a = b = c = 1

Rất hay. Như vậy là DELTA đã làm xong. Mong ban giám khảo cân nhắc cho DELTA được cộng thêm điểm thời gian

taminhhoang10a1- Đội DELTA giải bài 3 của đội ALPHA

Đặt $x = \sqrt 2 a;y = \sqrt 2 b$ . Từ hệ đầu suy ra a ; b > 0
Hệ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b(a^3 - b^3 ) = 7 \\
b(a + b)^2 = 9 \\
\end{array} \right.$

Từ phương trình đầu của hệ ta suy ra $a = \sqrt[3]{{\dfrac{7}{b} + b^3 }}$

Thay vào phương trình thứ 2 ta có: $b(\sqrt[3]{{\dfrac{7}{b} + b^3 }} + b)^2 = 9$ (1)

Dễ thấy b= 1 là 1 nghiệm của (1). Ta sẽ CM (1) có nghiệm duy nhất

Thật vậy: $b(\sqrt[3]{{\dfrac{7}{b} + b^3 }} + b)^2 = b(b^2 + 2b\sqrt[3]{{b^3 + \dfrac{7}{b}}} + \sqrt[3]{{(b^3 + \dfrac{7}{b})^2 }}$

$= b^3 + 2b^2 \sqrt[3]{{b^3 + \dfrac{7}{b}}} + b\sqrt[3]{{(b^3 + \dfrac{7}{b})^2 }}$

$ = b^3 + 2b\sqrt[3]{{b^6 + 7b^2 }} + \sqrt[3]{{b(b^4 + 7)^2 }}$

Nếu b càng tăng thì giá trị của biểu thức càng tăng, hay là hàm đồng biến nên chỉ có 1 nghiệm duy nhất là b=1
Từ đó suy ra a=2
Suy ra $x = 2\sqrt 2 ;y = \sqrt 2 $
Vậy hpt đầu có nghiệm duy nhất (x;y) là ($2\sqrt 2; \sqrt 2$) Nhận xét: Nếu đặt như trên thì bài toán trở thành 1 trừơng hợp của 1 câu trong đề thi chọn HSG tỉnh Hưng Yên năm vừa qua

PSW : 7/7 điểm

cho CSC : $a_1,a_2,a_3,...,a_n$
CSN: $b_1,b_2,b_3,...,b_n$
Tính tổng: $a_1b_1 + a_2b_2 + ... +a_nb_n$

Cách khác đây:
Ta có $ab + bc + ca \le \dfrac{{(a + b + c)^2 }}{3} = 3$
$\dfrac{a}{{\sqrt b }} + \dfrac{a}{{\sqrt b }} + ab \ge 3a$ (BĐT Cô-si)
Tương tự $ \Rightarrow 2(\dfrac{a}{{\sqrt b }} + \dfrac{b}{{\sqrt c }} + \dfrac{c}{{\sqrt a }}) \ge 9 - ab - bc - ca \ge 6$ (dpcm)

taminhhoang10a1 - Đội DELTA giải bài 2 của đội ALPHA

Giả sử đã dựng được tam giác ABC thỏa mãn đề bài
Do tam giác ABC vuông tại A nên A thuộc (O; BC/2) với O là trung diểm của BC
Vẽ đường kính HK vuông góc với BC, suy ra K nằm trên đường phân giác AP của tam giác ABC. Đặt KP = t
Không mất tính ổng quát giả sử A và H nằm cùng phía với BC
Tam giác KPO đồng dạng tam giác KHA nên $\dfrac{{KA}}{{KO}} = \dfrac{{KH}}{{KP}}$ hay $\dfrac{{p + t}}{{\dfrac{a}{2}}} = \dfrac{a}{t}$
$ \Leftrightarrow t(t + p) = \dfrac{{a^2 }}{2}$

$ \Leftrightarrow t = \dfrac{{ - p + \sqrt {p^2 + 2a^2 } }}{2}$ (do t > 0)

$ \Leftrightarrow AK = \dfrac{{p + \sqrt {p^2 + 2a^2 } }}{2} = m$ với m là một số không đổi
Từ đó suy ra cách tìm điểm A như sau

- Dựng đoạn BC = a

- Vẽ đường tròn (O ; BC/2)

- Dựng đường kính HK vuông góc với BC

- Tính m

- Vẽ (K;m). Điểm A là giao của (O) và ®

PSW : 5/6 điểm

Em xin giải bài 3

Ta có: $ac + bd + cd = ac + bd + \dfrac{{1 - x^2 - y^2 }}{2}$
Xét dường thẳng $d: x + y - 3 =0$ và đường tròn $( C): x^2 + y^2 =1$
A(x1,y1) thuộc © và B(x2,y2) thuộc d suy ra OA =1
Gọi H là chân đường cao từ O đến d suy ra $OH = \dfrac{{ 3}}{{\sqrt 2 }}$
Suy ra $ac + bd = \vec OA.\vec OB = OA.OB.cos(\vec OA, \vec OB) \le OH (1)$
Mặt khác: $\dfrac{{c^2 + d^2 }}{2} = OB^2 \le OH^2 = 3/4 (2)$
Từ $1$ và $2$ suy ra dpcm
Dấu $=$ xảy ra khi $a=b= \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}$ và $c = d = \dfrac{3}{2}$

Mod: Em gõ $\LaTeX$ cả bài nha!