thinh990197

Cho mình hỏi bài toán hình 9?

 

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = 1. Cm

 

$\frac{a^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}}{a+c}\geq \frac{1}{2}$

 

a)Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^{2}+y^{2}=2013$

b) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có tổng ba cạnh xuất phát từ đỉnh A bằng 28cm, diện tích toàn phần bằng bằng 588 $^{2}$. Tính độ dài AC'.

Mình xin tặng các bạn bộ tài liệu ôn thi do mình soạn.(mình tặng tập 1 trước)

Từ I ngoài (O) vẽ hai tiếp tuyến IA, IB với đường tròn. Gọi M là trung điểm của IB, AM cắt (O) tại A Và K.
a) Chứng minh AB² = 2AK.AM
b)Đường tròn ngoại tiếp $\Delta$IKB tiếp xúc AB

Giải phương trình: $3x^{2}+3x-2\sqrt{x^{2}+x}=1$

Cho(O; r) và đường thẳng d cố định không cắt đường tròn . Hạ OH vuông góc với đường thẳng d, M là một điểm thay đổi trên d. Từ M vẽ hai tiếp tuyến MP và MQ với (O). Dây cung PQ cắt OH ở I, cắt OM ở K.
Chứng minh khi M thay đổi trên d thì tích IP . IQ không đổi

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O), M là một điểm trên cung nhỏ BC (cung không chứa A). Gọi H, I, K lần lượt là các điểm đối xứng của M qua các đường thẳng AB, BC, CA.
a)Chứng minh 3 điểm H, I, K thẳng hàng
b) Tìm vị trí M để HK lớn nhất.

Ta chứng minh rằng $c=ab$ là giá trị cần tìm.
Giả sử $c >ab$. Xét $b$ số $a, 2a,..., ba$.
Vì $(a,b)=1$ nên các số này khi chia cho $b$ sẽ cho các số dư khác nhau.
Vậy tồn tại số $k(1\leqslant k\leqslant b)$, sao cho $ka\equiv c \pmod b$.
$\Rightarrow c - ka = lb (l \in \mathbb{Z})$.
Nếu $c > ab \Rightarrow c > ka \Rightarrow lb >0 \Rightarrow l \in \mathbb{N}^*$ .
Như vậy $(k, l)$ là nghiệm nguyên dương của phương trình $ax + by = c$.
Mặt khác, giả sử $(x_0, y_0)$ là nghiệm nguyên dương của phương trình $ax + by = ab$.
Khi đó $ax_0 = ab - by_0=b(a - y_0)$
Vì $(a, b) = 1 \Rightarrow x_{0}\vdots b$ .Tương tự, $y_0 \vdots a$ .
Như vậy $x_0 \geqslant b, y_0 \geqslant a \Rightarrow ab = ax_0 + by_0 \geqslant 2ab$ ( vô lí).
Kết luận: $\max c=ab$

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O; R), có 2 đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.
Chứng minh AB² + CD² = 4R².