Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


zookiiiiaa

Đăng ký: 15-08-2011
Offline Đăng nhập: 27-12-2012 - 21:16
-----

#365962 Cho $a,b,c \neq 0$. Tìm minA biết: $A=\sum(\fr...

Gửi bởi zookiiiiaa trong 30-10-2012 - 17:36

Một cách khác:

Ta có:
$$(x-y)^2 \geq 0 \Leftrightarrow (x+y)^2 \leq 2(x^2 + y^2).$$
Từ đó ta suy ra:
$$A+3 \geq 2(a^2 + b^2 + c^2)\left(\dfrac{1}{a^2 + 2(b^2 + c^2)}+\dfrac{1}{b^2 + 2(a^2 + c^2)}+\dfrac{1}{c^2 + 2(b^2 + a^2)}\right).$$
Do ta dự đoán đẳng thức xảy ra khi $a^2=b^2=c^2$ nên mình nghĩ đến việc sử dụng bất đẳng thức quen thuộc sau:

$(x+y+z)(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}) \geq 9$ ( ta có thể dùng AM-GM để chứng mình bđt này dễ dàng. :D)

Vì thế mình nhân cả 2 vế bđt vừa "suy ra" cho $\dfrac{5}{2}$ thì được:
$$(A+3)\dfrac{5}{2} \geq 9 \Leftrightarrow A \geq \dfrac{3}{5}$$
Giá trị nhỏ nhất của A là $\dfrac{3}{5}$ đạt được khi $a^2 =b^2 = c^2$.
Vậy bài toán đã giải quyết xong.


#365961 Cho $a,b,c \neq 0$. Tìm minA biết: $A=\sum(\fr...

Gửi bởi zookiiiiaa trong 30-10-2012 - 17:34

Cho $a,b,c \neq 0$. Tìm minA biết:

$A=\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2}{b^2+(c+a)^2}+\frac{c^2}{c^2+(a+b)^2}$


Ta có: $(a+b)^2\le 2(a^2+b^2), (b+c)^2\le 2(b^2+c^2), (c+a)^2\le 2(c^2+a^2)$
$\Rightarrow A\geq \dfrac{a^2}{a^2+2(b^2+c^2)}+\dfrac{b^2}{b^2+2(c^2+a^2)}+\dfrac{c^2}{c^2+2(a^2+b^2)}=\dfrac{a^4}{a^4+2a^2(b^2+c^2)}+\dfrac{b^4}{b^4+2b^2(c^2+a^2)}+ \dfrac {c^4}{c^4+2c^2(a^2+b^2)}$
$\geq \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^4+b^4+c^4+4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}=\dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(a^2+b^2+c^2)^2+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}$
Ta lại có: $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\le \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}\Rightarrow A\geq \dfrac{3}{5}$
Vậy $MinA=\dfrac{3}{5}$ khi $a^2=b^2=c^2$.


#363153 $\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b...

Gửi bởi zookiiiiaa trong 19-10-2012 - 22:47

Theo cô si :
$\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) +(a+b+c)^2 \geq 4\sqrt[4]{\dfrac{\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})(a+b+c)^6}{27}} \ge 4\sqrt{3abc(a+b+c)}$


Bạn áp dụng cô-si cho 4 số nào đấy mình không hiểu. Bạn có thể giải thích chi tiết được không.


#363149 $\frac{1}{\sqrt{a^3+2b^3+6}}+...

Gửi bởi zookiiiiaa trong 19-10-2012 - 22:35

Một bài tập không khó và nó cũng từng xuất hiện trên toán học tuổi trẻ.Có hơn 1 cách làm bài này và hiển nhiên ở mỗi cách lại có 1 bài toán tổng quát khác nhau.Mình xin đưa ra một các các bạn tự tìm những cách còn lại hoặc tham khảo trên tạp chí nhé
Sử dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ thì ta có
$$A^2 \le 3(\frac{1}{a^3+2b^3+6}+\frac{1}{b^3+2c^3+6}+\frac{1}{c^3+2a^3+6}) \le \frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=1$$
Từ đây ta có điều phải chứng minh


Sao $\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=1$ hả mọi người?


#286850 $sin^4(x+\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{1}{4}+cos^2x-cos^4x$

Gửi bởi zookiiiiaa trong 06-12-2011 - 16:21

GPT:

$sin^4(x+\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{1}{4}+cos^2x-cos^4x$