Ta có:
$$(x-y)^2 \geq 0 \Leftrightarrow (x+y)^2 \leq 2(x^2 + y^2).$$
Từ đó ta suy ra:
$$A+3 \geq 2(a^2 + b^2 + c^2)\left(\dfrac{1}{a^2 + 2(b^2 + c^2)}+\dfrac{1}{b^2 + 2(a^2 + c^2)}+\dfrac{1}{c^2 + 2(b^2 + a^2)}\right).$$
Do ta dự đoán đẳng thức xảy ra khi $a^2=b^2=c^2$ nên mình nghĩ đến việc sử dụng bất đẳng thức quen thuộc sau:
$(x+y+z)(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}) \geq 9$ ( ta có thể dùng AM-GM để chứng mình bđt này dễ dàng. )
Vì thế mình nhân cả 2 vế bđt vừa "suy ra" cho $\dfrac{5}{2}$ thì được:$$(A+3)\dfrac{5}{2} \geq 9 \Leftrightarrow A \geq \dfrac{3}{5}$$
Giá trị nhỏ nhất của A là $\dfrac{3}{5}$ đạt được khi $a^2 =b^2 = c^2$.
Vậy bài toán đã giải quyết xong.
- minhson95 yêu thích