tuithichtoan

1) $x^2 + 2ax +\frac{1}{16}=-a+\sqrt{a^2+x -\frac{1}{16}}$ với $a\epsilon \left ( 0;\frac{1}{4} \right )$

1, Có $x^{2}+2ax+\frac{1}{16}=-a+\sqrt{a^{2}+x-\frac{1}{16}}$
$\Leftrightarrow (a^{2}+2ax+x^{2})-(a^{2}+x-\frac{1}{16})+(a+x)=\sqrt{a^{2}+x-\frac{1}{16}}$
$\Leftrightarrow (x+a)^{2}-(a^{2}+x-\frac{1}{16})+(x+a)-\sqrt{a^{2}+x-\frac{1}{16}}=0$
$\Leftrightarrow ((x+a)-\sqrt{a^{2}+x-\frac{1}{16}})((x+a)+\sqrt{a^{2}+x-\frac{1}{16}}+1)=0$
Th1:$x+a=\sqrt{a^{2}+x-\frac{1}{16}}$
Đk: $x\geq -a$
$\Rightarrow x^{2}+x(2a-1)+\frac{1}{16}=0$
$\Leftrightarrow x=...$
Th2:$\sqrt{a^{2}+x-\frac{1}{16}}=-x-a-1$
Đk: $x\leq -a-1$
$\Rightarrow x^{2}+x(2a+1)+2a+\frac{17}{16}=0$
$\Rightarrow x=...$

Bài 86:
Đk:$ \frac{1}{5}\leq x\leq \frac{5}{2}$
Có $(26-x)\sqrt{5x-1}-(13x+14)\sqrt{5-2x}+12.\sqrt{5x-1}.\sqrt{5-2x}=18+32$ (1)
Đặt $\sqrt{5x-1}=a$ ($a\geq 0$)
$\sqrt{5-2x}=b$ ($b\geq 0$)
$\Rightarrow 2a^{2}+5b^{2}=23$ (2)
Và $\Rightarrow (1)\Leftrightarrow (a^{2}+3b^{2}+12)a-(3a^{2}+b^{2}+12)b+ab=6a^{2}+6b^{2}+8$
$\Leftrightarrow (a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3})-6(a^{2}-12ab+b^{2})+12(a-b)-8=0$
$\Leftrightarrow (a-b)^{3}-6(a-b)^{2}+12(a-b)-8=0$
$\Leftrightarrow (a-b-2)^{3}=0$
$\Rightarrow a=b+2$
Theo (2) có $2a^{2}+5b^{2}=23$
$\Rightarrow 2(b+2)^{2}+5b^{2}-23=0 ....$

Mình nghĩ bạn viết đề sai. Vì nếu đề bài như trên thì bài toán này không đồng bậc.
Mình nghĩ nó là thế này.
Có $\frac{xy}{x+3y+2z}+\frac{yz}{y+3z+2x}+\frac{xz}{z+3x+2y}
\leq \frac{1}{9}.xy.(\frac{1}{2y}+\frac{1}{z+y}+\frac{1}{z+x})+\frac{1}{9}.yz.(\frac{1}{2z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{z+x})+\frac{1}{9}.xz.(\frac{1}{2x}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z})$
$= \frac{1}{9}(\frac{x}{2}+\frac{xy}{z+y}+\frac{xy}{z+x}+\frac{y}{2}+\frac{yz}{x+y}+\frac{yz}{z+x}+\frac{z}{2}+\frac{zx}{x+y}+\frac{zx}{y+z})$
$= \frac{1}{9}(\frac{x+y+z}{2}+\frac{xy+xz}{z+y}+\frac{xy+yz}{z+x}+\frac{yz+zx}{x+y})$
$=\frac{x+y+z}{6} (Đ.P.C.M)$
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z

Bài 75:
Đk: ....$0< x\leq \frac{a}{b}$
Có $\sqrt{\frac{a-bx}{cx}}=\frac{(b+c)x+x^{2}}{a+x^{2}}$
$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{a-bx}{cx}}-1=\frac{(b+c)x+x^{2}}{a+x^{2}}-1$
$\Leftrightarrow \frac{\frac{a-bx}{cx}-1}{\sqrt{\frac{a-bx}{cx}}+1}=\frac{(b+c)x+x^{2}-a-x^{2}}{a+x^{2}}$ $\Leftrightarrow \frac{a-(b+c)x}{cx(\sqrt{\frac{a-bx}{cx}}+1)}+\frac{a-(b+c)x}{a+x^{2}}=0$
Vì $\frac{1}{cx(\sqrt{\frac{a-bx}{cx}}+1}+\frac{1}{a+x^{2}}>$ 0 với $a, b, c> 0$ và $0< x\leq \frac{a}{b}$ $\Rightarrow x= \frac{a}{b+c}$

Bài 20. Tính tích phân: $I=\int_{0}^{12}\frac{dx}{\sqrt{4x+1}+\sqrt{x+4}}$

----------------
Mọi người cùng thảo luận nào.

Đặt $\sqrt{4x+1}=t-2\sqrt{x+4}\Rightarrow 4x+1=t^{2}-4t\sqrt{x+4}+4x+16$
$\Leftrightarrow t^{2}-4t\sqrt{x+4}+15=0$
$\Leftrightarrow \sqrt{x+4}=\frac{t^{2}+15}{4t}$
$\Leftrightarrow x=(\frac{t^{2}+15}{4t})^{2}-4$
$\Rightarrow dx=2.\frac{t^{2}+15}{4t}.\frac{2t.4t-4(t^{2}+15)}{16t^{2}}dt$
$\Rightarrow dx=\frac{t^{2}+15}{2t}.\frac{4t^{2}-60}{16t^{2}}dt$
$\Rightarrow dx=\frac{t^{4}-225}{8t^{3}}$
Đổi cận $x\in \left [ 0;12 \right ]\Rightarrow t\in \left [ 5;15 \right ]$
$\Rightarrow I=\int_{5}^{15}\frac{1}{t-\frac{t^{2}+15}{4t}}.\frac{t^{4}-225}{8t^{3}}dt$
$=\int_{5}^{15}\frac{t^{4}-225}{6t^{2}(t^{2}-5)}$
$=\int_{5}^{15}\frac{dt}{16}+\int_{5}^{15}\frac{5(t^{2}-45)}{6t^{2}(t^{2}-5)}dt$=.....
p/s: Cách làm này không biết đúng không. Mình xóa bài trước đi ha.

pt$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy-yz-xz=3& \\ 3x^{2}+3y^{2}+3yz-3xz-6xy=-3& \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow 4x^{2}+4y^{2}+z^{2}-4xy+2yz-4zx=0$
$\Leftrightarrow (2x-y-z)^{2}+3y^{2}=0$
Đến đây đơn giản rồi......

Thấy $y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ không là nghiệm của hệ
Nên từ pt1 có $x=\frac{y^{3}}{2y^{2}-1}$
Thay vào pt2 được: $(\frac{y^{3}}{2y^{2}-1})^{3}+y^{9}=2\frac{y^{3}}{2y^{2}-1}y^{4}$
$\Leftrightarrow y^{7}(\frac{y^{2}}{(2y^{2}-1)^{3}}+y^{2}-\frac{2}{2y^{2}-1})=0$
$\Rightarrow y=0$ hoặc $\frac{y^{2}}{(2y^{2}-1)^{3}}+y^{2}-\frac{2}{2y^{2}-1}=0$
+Với $y=0$$\Rightarrow$$ x=0$ là nghiệm của hệ.
+Với $\frac{y^{2}}{(2y^{2}-1)^{3}}+y^{2}-\frac{2}{2y^{2}-1}=0$ (*)
Đặt $2y^{2}-1=a$ ($a\neq 0$)
$\Rightarrow (*)\Leftrightarrow a^{4}+a^{3}-4a^{2}+a+1=0$
$\Leftrightarrow (a-1)^{2}(a^{2}+3a+1)=0$
Giải pt nghiệm a, thế vào cách đặt ta tìm được các nghiệm của hệ.........

Có $a+b+c+\frac{3}{a}+\frac{9}{2b}+\frac{4}{c}$
$=(\frac{3a}{4}+\frac{3}{a})+(\frac{b}{2}+\frac{9}{2b})+(\frac{c}{4}+\frac{4}{c}) +\frac{a+2b+3c}{4} \geq 3+3+2+5=13$ (Đ.P.C.M)
Dấu "=" xảy ra khi a=2; b=3; c=4$

Bài toán: Giải hệ phương trình: $$\left\{ \begin{array}{l}
\frac{x}{{\sqrt {\left( {1 - y} \right)\left( {1 - {x^2}} \right)} }} + \frac{y}{{\sqrt {\left( {1 - x} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)} }} = \sqrt {\frac{{2 + \sqrt 2 }}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)}}} \\ (1)
\frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} + \frac{y}{{\sqrt {1 - {y^2}} }} = \sqrt {\frac{1}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)}}}
\end{array} \right.$$ (2)

Đk:$ -1< x< 1$
$-1< y< 1$
Từ (2) $\Leftrightarrow x\sqrt{1-y^{2}} +y\sqrt{1-x^{2}}=1$
Thấy $x\sqrt{1-y^{2}} +y\sqrt{1-x^{2}}\leq \frac{x^{2}+1-y^{2}}{2}+\frac{y^{2}+1-x^{2}}{2}=1$
Dấu"=" xảy ra $\Leftrightarrow x^{2}=1-y^{2} hay x^{2}+y^{2}=1$
Lại có (1) $\Leftrightarrow x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x}=\sqrt{2+\sqrt{2}}$
Mà theo C_S có $x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x}$
$\leq \sqrt{(x^{2}+y^{2})(1+x+1+y)}$
$ \leq \sqrt{(x^{2}+y^{2})(2+\sqrt{2(x^{2}+y^{2})})}=\sqrt{2+\sqrt{2}}$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Thấy $x^{2n}\geq 0\Rightarrow 1\leq \frac{1}{\sqrt{1-x^{2n}}}$
$\Rightarrow \int_{0}^{\frac{1}{2}}dx\leq \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2n}}}dx$
$\Rightarrow \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2n}}}dx\geq \frac{1}{2}$ (Vế 1 được cm) Dấu "=" xảy ra khi x=1
Vì$ n\in \mathbb{N}*$,$ x\in [0;\frac{1}{2}]$
$\Rightarrow x^{2n}\leq x^{2} $
$\Rightarrow \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2n}}}dx\leq \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx$
Tính $ \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx$
Đặt x=sint $\Rightarrow dx=costdt$
Đổi cận $x\in [0;\frac{1}{2}]\Rightarrow t\in [0;\frac{\Pi }{6}]$
Khi đó: $\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=\int_{0}^{\frac{\Pi }{6}}\frac{costdt}{\sqrt{1-sin^{2}t}}dx= \int_{0}^{\frac{\Pi }{6}}dt=\frac{\Pi }{6}$ (Vế 2 được cm)
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow n=1$

Bài 163: Cho các số dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng
$$\frac{a^3}{b^2+c}+\frac{b^3}{c^2+a}+\frac{c^3}{a^2+b}\geq \frac{3}{2}$$

Có:
$\frac{a^{3}}{b^{2}+c}+\frac{b^{3}}{c^{2}+a}+\frac{c^{3}}{a^{2}+b}$
$=\frac{a^{4}}{b^{2}a+ac}+\frac{b^{4}}{c^{2}b+ab}+\frac{c^{4}}{a^{2}c+bc}$
$\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{b^{2}a+c^{2}b+a^{2}c+ca+ab+bc} $
$\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\frac{a^{2}b^{2}+b^{2}}{2}+\frac{c^{2}b^{2}+c^{2}}{2}+\frac{a^{2}c^{2}+a^{2}}{2}+ca+ab+bc}$
$= \frac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{(a^{2}b^{2}+c^{2}b^{2}+a^{2}c^{2})+(a+b+c)^{2}}$
$\geq \frac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\frac{1}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}+\frac{(a+b+c)^{4}}{9}}$
$\geq \frac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\frac{1}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}+(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}\geq \frac{3}{2}$ (Đ.P.C.M)
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

Đáp án câu con ma Đập con ma xanh trước là 1, con ma đỏ thấy thế sợ quá, mặt mày tái mét (chuyển sang xanh).Đập con ma xanh mới này nữa là đủ 2. =))
Tiếp
Cái gì của chồng mà vợ thích cầm nhất (không nghĩ lung tung)?
______
Bỏ ngoài nướng trong, ăn ngoài bỏ trong là gì?

Câu 1 là cái tay, tiếp là củ khoai. Cuối cùng là cái ngô thì phải. hihi

Mỗi người sinh ra đều có một tư duy riêng, không về lĩnh vực này thì về lĩnh vực khác. Ông Việt học Toán không phải vì niềm đam mê mà chỉ là do chạy theo phong trào lúc đó . Đúng là "mồm miệng đỡ chân tay", nhưng chỉ nói mà không làm thì rồi ai còn tin nữa đây.
"Tại sao phải làm cái cũ để mong kết quả mới ? Tại sao lại xuất sắc cái không cần cho cuộc sống ? Tại sao xuất sắc cái không bao giờ dùng ? ". Chẳng phải nhà toán học lỗi lạc cuối thế kỷ XVIII đầu thế kỷ XIX Louis Lagrange đã từng buồn rầu than thở: "Newton đã tìm ra hết mọi bí mật rồi, chẳng còn gì cho chúng ta làm nữa". Hôn nữa, nhiều người còn cho rằng khoa học đã tiệm cận tới những trang cuối cùng. Và rồi tư tưởng về cái bất định, bất toàn, ngẫu nhiên, hỗn độn đã làm nên một cuộc cách mạng sao? Nếu không có Toán liệu công nghệ kỹ thuật có phất triển như ngày nay không?. Nếu không học Toán và giỏi Toán liệu việc kinh doanh của ông có được như ngày nay không? Ông lấy ra một số ví dụ đáng thuyết phục nhưng đâu phải giới Toán học chỉ có nhiêu đó người mà còn rất rất nhiều người khác nữa chứ. Chỉ vì không phù hợp với cá nhân mà nói là "Giá đừng học Toán thì tốt hơn" sao?

Có $ab+bc+ca+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$
Áp dụng AM_GM được:
$\leq ab+bc+ca+a^{3}+b^{3}+c^{3}$
$=ab+bc+ca+(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-(ab+bc+ca))+3abc$
$=3(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2(ab+bc+ca)+(a+b+c)abc$
$\leq 3(a+b+c)^{2}-8(ab+bc+ca)+\dfrac{(ab+bc+ca)^{2}}{3}$
$=27-8(ab+bc+ca)+\dfrac{(ab+bc+ca)^{2}}{3} $
$=\dfrac{(ab+bc+ca)^{2}-24(ab+bc+ca)+81}{3} $
$=\dfrac{(ab+bc+ca-12)^{2}}{3}-21$
$\leq\dfrac{(\dfrac{(a+b+c)^{2}}{3}-12)^{2}}{3}-21=6$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $a+b+c=1$. Tìm GTLN của:
$$T=\frac{a-bc}{a+bc}+\frac{b-ca}{b+ca}+\frac{c-ab}{c+ab}$$
Bài này là đề thi Olympic Canada 2008 nhưng cũng được lấy làm đề thi thử đại học của một số trường các bạn làm thử

Có: $T=\dfrac{a-bc}{a+bc}+\dfrac{b-ac}{b+ac}+\dfrac{c-ba}{c+ba}$
$=3-2(\dfrac{bc}{a+bc}+\dfrac{ac}{b+ac}+\dfrac{ba}{c+ba})$
$\leq 3-2(\dfrac{(ab+bc+ca)^{2}}{3abc+(ab)^{2}+(bc)^{2}+(ca)^{2}})$
$\leq 3-2(\dfrac{(ab+bc+ca)^{2}}{3abc(a+b+c)+(ab+bc+ca)^{2}-2(a^{2}bc+ab^{2}c)+abc^{2})})$
$=3-2(\dfrac{(ab+bc+ca)^{2}}{ab.ac+ab.bc+ac.bc+(ab+bc+ca)^{2}})$
$\leq 3-2(\dfrac{(ab+bc+ca)^{2}}{\dfrac{(ab+bc+ca)^{2}}{3}+(ab+bc+ca)^{2}}) =\dfrac{3}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{3}$