tuithichtoan

Bài 34: Cho các số thực không âm x,y thay đổi và thỏa mãn x+y=1.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $S=(4x^{2}+3y)(4y^{2}+3z)+25xy$
(Đại học khối D năm 2009)

Bài 33: Đại học, cao đẳng khối A năm 2009
Chứng minh rằng với mọi số thực dương x,y,z thỏa mãn $x(x+y+z)=3yz$, ta có:
$(x+y)^{3}+(y+z)^{3}+3(x+y)(x+z)(y+z)\leq 5(y+z)^{3}$

cho a,b,c>0 thỏa mãn ab+bc+ca=abc
CMR: b/a^2 + c/a^2 + a/c^2 >= 3(1/a^2 + 1/b + 1/c^2)
khó quá giúp tớ với (

Không làm mất tính tổng quát
Giả sử:$a\geq b\geq c$
AD BDT Chebyshev có:
$\dfrac{b}{a^{2}}+\dfrac{c}{c^{2}}+\dfrac{a}{b^{2}}\geq \dfrac{1}{3}.(\dfrac{1}{a^{2}}+\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}}).(a+b+c)\geq (\dfrac{1}{a^{2}}+\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}}).\sqrt[3]{abc}$
lại có:
$ab+bc+ca\geq 3.\sqrt[3]{(abc)^{2}}\Leftrightarrow abc\geq 3.\sqrt[3]{(abc)^{2}}
\Leftrightarrow abc\geq 27$
Thay lên trên, có DPCM
Dấu "=" xảy ra khi: a=b=c=3

Bài 84 : Tặng các bạn một bài Bất đẳng thức :
Cho $ a,b,c >0 $ thỏa $ a+b+c =1 $ . Chứng minh rằng :
$ 7(a^2b+b^2c+c^2a)+33abc \leq 2 $

Có $7[ab(a+c)+bc(b+a)+ca(c+b)]+12abc
=7[ab(1-b)+bc(1-c)+ca(1-a)]+12abc
=7[(ab+bc+ca)-(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})]+12abc
\leq 7(ab+bc+ca-3abc)+12abc
=7(ab+bc+ca)-9abc$
Vì a+b+c=1
Nên $a^{2}\geq a^{2}-(b-c)^{2}=(1-2b)(1-2c)$
Tương tự:$b^{2}\geq (1-2a)(1-2c)$
$c^{2}\geq (1-2b)(1-2a)$
$\rightarrow
abc\geq (1-2a)(1-2b)(1-2c)=1-2(a+b+c)+4(ab+bc+ca)-8abc$
$\Rightarrow ab+bc+ca\leq \dfrac{9abc+1}{4}$
$\Rightarrow VT\leq 7.\dfrac{9abc+1}{4}-9abc\leq 2 $( Do $abc\leq \dfrac{1}{27}$)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\dfrac{1}{3}$

Bài 52:Cho a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn
$\dfrac{1}{1+ a^{4} }+\dfrac{1}{1+ b^{4} }+\dfrac{1}{1+ c^{4} }+\dfrac{1}{1+ d^{4} }=1$
Chứng minh abcd $\geq 3$

ta có: $\dfrac{1}{1+a^{4}}+\dfrac{1}{1+b^{4}}+\dfrac{1}{1+c^{4}}+\dfrac{1}{1+d^{4}}=1$
suy ra:
$\dfrac{1}{1+a^{4}}+ \dfrac{1}{1+b^{4}}+\dfrac{1}{1+c^{4}}= \dfrac{d^{4}}{1+d^{4}}$
ÁP DỤNG CO_SI :
$\dfrac{d^{4}}{1+d^{4}}\geq \dfrac{3}{\sqrt[3]{(1+a^{4}).(1+b^{4}).(1+c^{4})}}$
tương tự có:
$\dfrac{c^{4}}{1+c^{4}}\geq \dfrac{3}{\sqrt[3]{(1+a^{4}).(1+b^{4}).(1+d^{4})}}$
$\dfrac{b^{4}}{1+a^{4}}\geq \dfrac{3}{\sqrt[3]{(1+a^{4}).(1+c^{4}).(1+d^{4})}}$
$\dfrac{a^{4}}{1+a^{4}}\geq \dfrac{3}{\sqrt[3]{(1+b^{4}).(1+c^{4}).(1+d^{4})}}$
nhân vế với vế 3 bất phương trình được:
$\dfrac{a^{4}}{1+a^{4}}.\dfrac{b^{4}}{1+b^{4}}.\dfrac{c^{4}}{1+c^{4}}.\dfrac{d^{4}}{1+d^{4}}\geq \dfrac{3}{\sqrt[3]{(1+a^{4}).(1+b^{4}).(1+c^{4})}}.\dfrac{3}{\sqrt[3]{(1+a^{4}).(1+b^{4}).(1+d^{4})}}.\dfrac{3}{\sqrt[3]{(1+b^{4}).(1+c^{4}).(1+d^{4})}}.\dfrac{3}{\sqrt[3]{(1+b^{4}).(1+c^{4}).(1+d^{4})}}$
vậy: abcd 3 ĐPCM
dấu "=" khi $a = b = c = d = \sqrt[4]{3}$

@vietfrog: Bạn trình bày cẩn thận hơn nhé. Nhiều lỗi trình bày lắm đó!