thukilop

Tính $\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{sh^{-1}x}{x})^{\frac{1}{x^{2}}}$

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA 2014-2015

Ngày thi:10/10/2014

 

$\boxed{\text{Bài 1 (5đ)}}$

 

1) Giải phương trình:  $\sqrt[3]{7-16x}+2.\sqrt{2x+8}=5$

 

2) Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}y^3(4x^2+1)+2(y^2+1)\sqrt{y}=6 & \\ y^2x(2+2\sqrt{4x^2+1})=y+\sqrt{y^2+1} & \end{matrix}\right.$

 

$\boxed{\text{Bài 2 (4đ)}}$

 

2) Cho tam giác vuông có độ dài các cạnh là các số nguyên, hai trong các số đó là số nguyên tố và hiệu của chúng bằng 8. Tính giá trị nhỏ nhất của cạnh thứ ba nhận được

 

$\boxed{\text{Bài 3 (5đ)}}$

 

$\boxed{\text{Bài 4 (4đ)}}$

 

2) Tìm $f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $(\frac{-1}{3},\frac{1}{3})$  thỏa mãn: 

$f(x)+f(y)=f\left ( \frac{x+y}{1+9xy} \right )$ và $f'(0)=6$

 

$\boxed{\text{Bài 5 (2đ)}}$

Cho ba số không âm $a,b,c$. Chứng minh rằng: 

$\sqrt{5a^2+4bc}+\sqrt{5b^2+4ca}+\sqrt{5c^2+4ab}\geq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}+2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})$

======Hết======

 

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA 2014-2015

 

VÒNG 1 (11/9/2014)

$\boxed{\text{Bài 1 (5đ)}}$

 Tìm công thức tính số hạng tổng quát của dãy số $(x_n)$ biết:

$x_1=\frac{2013}{2014}$,$x_{n+1}=\frac{1}{4+2011x_n}$ (với mọi $n>0$)

 

Chứng minh dãy số $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó

$\boxed{\text{Bài 2 (5đ)}}$

Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{R}$ sao cho $f(0)\neq 0$,$f(1)=6$ và

$$f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)$ với mọi $x,y\in \mathbb{Z}$$

 

$\boxed{\text{Bài 3 (5đ)}}$

Cho hai đường tròn $(C_1)$ và $(C_2)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt C,D sao cho tâm O của $(C_2)$ nằm trên $(C_1)$. Gọi A là điểm trên $(C_1)$ và B là điểm nằm trên $(C_2)$ sao cho đường thẳng AC tiếp xúc với $(C_2)$ tại C và đường thẳng BC tiếp xúc với $(C_1)$ tại C. Đường thẳng AB cắt lại $(C_2)$ tại E và cắt $(C_1)$ tại F. Gọi G là giao điểm thứ hai của đường thẳng CE và $(C_1)$. Hai đường thẳng CF và GD cắt nhau tại H. Chứng minh rằng giao điểm của GO và EH là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF

 

$\boxed{\text{Bài 4 (5đ)}}$

Tại một hội nghị quốc tế, các thành viên tham dự đều biết ít nhất một trong ba thứ tiếng: Anh, Pháp, Đức. Biết rằng số thành viên biết Tiếng Anh, số thành viên biết Tiếng Pháp và số thành viên biết Tiếng Đức cùng bằng 50. Chứng minh rằng có thể chia tất cả các thành viên tham dự hội nghị thành 5 nhóm sao cho trong mỗi nhóm có đúng 10 thành viên biết tiếng Anh, đúng 10 thành viên biết tiếng Pháp và đúng 10 thành viên biết tiếng Đức.

 

VÒNG 2 (12/9/2014)

$\boxed{\text{Bài 5 (7đ)}}$

Cho tam giác ABC nhọn không cân có O là tâm ngoại tiếp. Gọi P là một điểm nằm trong tam giác sao cho AP vuông góc với BC. Đường trung trực của đoạn AP cắt AC tại M. Đường trung trực của đoạn thẳng MC cắt BC tại N, các đường thẳng AO và MN cắt nhau tại K. Gọi D là điểm đối xứng của O qua BC

a) Chứng minh rằng đường thẳng AD đi qua trung điểm Q của đoạn thẳng PK.

b) Gọi E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của P lên CA và AB. Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳng EF đi qua Q.

c) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đường trung trực của đoạn thẳng EF cắt đường thẳng AI tại T. Chứng minh KT vuông góc BC

 

$\boxed{\text{Bài 6 (7đ)}}$

Với mỗi số nguyên dương n, gọi $f(n)$ là số cách thay các dấu $"\pm "$ trong biểu thức $\pm 1\pm 2\pm 3...\pm n$ bởi các dấu $"+"$ hoặc $"-"$ sao cho tổng đại số nhận được bằng 0. Chứng minh rằng:

a) $f(n)=0$ khi $n\equiv 1 (mod 4)$ hoặc $n\equiv 2 (mod 4)$

b)$2^{\frac{n}{2}-1}\leq f(n)<2^n-2^{\left [ \frac{n}{2} \right ]+1}$ khi $n\equiv 0 (mod 4)$ hoặc $n\equiv 3 (mod 4)$

 

$\boxed{\text{Bài 7 (6đ)}}$

Các ô vuông của một bảng vuông kích thước $10\times 10$ được tô bởi các màu trắng hoặc đen sao cho trên mỗi hàng cũng như trên mỗi cột đều có đúng 3 ô được tô màu đen. Chẳng hạn như hình vẽ :

                                                                                

Chứng minh rằng trong mọi cách tô như vậy ta luôn có thể tìm ra 10 ô được tô màu đen sao cho không có hai ô nào nằm trên cùng một hàng hay trên cùng một hàng cột.

=======Hết=======

Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh: 

$\frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc}(1+\sqrt[3]{abc})}$

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG- HỘI AN

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG TỈNH 

 

Ngày thứ nhất (28/8/2014)

$\boxed{\text{Câu 1}}$ Giải phương trình:

$3^x.2x^3=3^x+2x^3+1$

 

$\boxed{\text{Câu 2}}$  Cho $a,b,c >0$ và $abc=1$. Chứng minh

$\frac{a^3}{2b^2+bc}+\frac{b^3}{2c^2+ac}+\frac{c^3}{2a^2+ab} \geq 1$

 

$\boxed{\text{Câu 3}}$

a) AD là phân giác trong của tam giác ABD. Chứng minh $AD^2=AB.AC-DB.DC$

b) Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh $BC=a, CA=b,AB=c$. Kí hiệu $l_a$,$l_b$ là độ dài các đường phân giác trong của tam giác ABC ứng với các cạnh có độ dài a,b. Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện gì đề $\frac{l_a}{h_a}=\frac{l_b}{h_b}$???

 

$\boxed{\text{Câu 4}}$ Cho dãy ($u_n$) biết $u_0=0$,$u_1=2$ và $\frac{6u_{n-1}-u_{n+1}}{u_{n+1}-5u_n+6u_{n-1}}=n$ với mọi n >0. Tìm n đề $u_n=2n$

 

$\boxed{\text{Câu 5}}$  giả sử hàm $f: R --> R$ thỏa

$(x+y).f(x-y)=f(f(x))-y.f(y)$ với mọi x,y thuộc R. Tìm f?

 

Ngày thứ hai (10/9/2014)

$\boxed{\text{Câu 6}}$  Giải phương trình:

$2\sqrt{(2-lnx)(5-lnx)}=lnx+\sqrt{(2-x)(10-lnx)}$

 

$\boxed{\text{Câu 7}}$  Cho $a,b,c >0$ thỏa: $\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}} \leq \frac{\sqrt{6}}{2}$. Chứng minh $a+b+c \leq 1$

 

$\boxed{\text{Câu 8}}$  

a) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC nhọn. Biết HA=1,HB=$\sqrt{2}$,HC=$\sqrt{5}$. Tính S(ABC)

b) Cho đoạn AH cố định, AH=1. Gọi d là đường thẳng qua H va vuông góc AH tại H. Trên d lấy 2 điểm B,C sao cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi E,F là hình chiếu của H lên AB,AC. Chứng minh (EBCF) luôn đi qua 2 điểm cố định

 

$\boxed{\text{Câu 9}}$ 

 

a) Cho dãy ($x_n$) biết $x_n=n+a\sqrt{n^2+1}$ với n thuộc N, a thuộc R. Tìm ĐK của a để ($x_n$) là dãy tăng

 

b) Cho dãy ($u_n$) biết $u_0=1,u_1=2$ và $n.u_{n+1}-(n+1)u_n+u_{n-1}=0$ với $ n \geq 1$. Tính $[u_n]$

 

$\boxed{\text{Câu 10}}$  Cho $f: R--->R$ thỏa $f(1)=1$, $f(x)+f(y)=f(x+y)-xy-1$. Tìm n thuộc N sao cho $f(n)=n$ 

 

$\boxed{\text{Câu 11}}$  Tìm số phần tử của tập A gồm hữu hạn các số thực thỏa mãn tính chất : "Nếu x thuộc A thì $f(x)=x^3-3|x|+4$ cũng thuộc A"

p/s: hóng đề Chọn QG Đà Nẵng sáng mai