Đến nội dung

ijkm

ijkm

Đăng ký: 25-09-2011
Offline Đăng nhập: 12-07-2019 - 16:44
*----

Trong chủ đề: Tính tích phân: $\int_{\frac{1}{2...

03-02-2018 - 19:02

Đã tìm ra cách giải!  :D

 

$\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{2x-\sqrt{4x^{2}-1}}dx$
$= \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{2x-\sqrt{4(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{2})}}dx$
$= \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{2x-2\sqrt{(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{2})}}dx$
 
Nhận thấy bên trong căn có dạng:
$(A\sqrt{x+\frac{1}{2}}+B\sqrt{x-\frac{1}{2}})^{2}$
$\Leftrightarrow (A^{2}+B^{2})x + \frac{1}{2}(A^{2}-B^{2}) + 2AB\sqrt{(x+\frac{1}{2})(x-\frac{1}{2})}$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}A^{2} + B^{2} = 2 & & \\ A^{2} - B^{2} = 0 & & \\ AB = -1 & & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} A = 1 & \\ B = -1 & \end{matrix}\right.v \left\{\begin{matrix} A = -1 & \\ B = 1 & \end{matrix}\right.$
 
Với $A = 1, B = -1$
$\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{2x-\sqrt{4x^{2}-1}}dx$
$=  \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{(\sqrt{x+\frac{1}{2}}-\sqrt{x-\frac{1}{2}})^{2}}dx$
$=  \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} {\sqrt{x+\frac{1}{2}}-\sqrt{x-\frac{1}{2}}}dx$
= $\frac{2}{3}(x-\frac{1}{2})\sqrt{x-\frac{1}{2}}+\frac{2}{3}(x+\frac{1}{2})\sqrt{x+\frac{1}{2}}\left.\begin{matrix}\frac{3}{2} & \\ \frac{1}{2} & \end{matrix}\right|$

$= \frac{4}{3} (\sqrt{2}-1)$

 

Với $A = -1, B = 1$
 
$\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{2x-\sqrt{4x^{2}-1}}dx$
$=  \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{(\sqrt{x-\frac{1}{2}}- \sqrt{x+\frac{1}{2}})^{2} }dx$
$=  \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} {\sqrt{x-\frac{1}{2}} - \sqrt{x+\frac{1}{2}}}dx$
= $\frac{2}{3}(x-\frac{1}{2})\sqrt{x-\frac{1}{2}}-\frac{2}{3}(x+\frac{1}{2})\sqrt{x+\frac{1}{2}}\left.\begin{matrix}\frac{3}{2} & \\ \frac{1}{2} & \end{matrix}\right|$

$= -\frac{4}{3} (\sqrt{2}-1)$ (loại)

 

Vậy, đáp số là $= \frac{4}{3} (\sqrt{2}-1)$

 

Trong chủ đề: $\int_{\frac{\pi}{6}}^...

25-05-2014 - 16:26

Bài này là một cái bẫy, không nên lắp cận vào. Nên lắp cận chỉ sau khi tìm được nguyên hàm. Cộng trừ $tan^2x$ trên tử.

I = $\int \frac{x^{^{2}}-tan^2x}{x+tanx}dx + \int \frac{2+tan^2x}{x+tanx}dx$ 

  = $\int (x-tanx)dx + \int \frac{2cos^2x+sin^2x}{(cos^2x)(x+tanx)}dx$

  = $\frac{x^2}{2} + ln(cosx) + \int \frac{2cos^2x+si n^2x}{(cos^2x)(x+tanx)}dx$

Tính  $I_{1} = \int \frac{2cos^2x+si n^2x}{cos^2x(x+tanx)}dx$

                   =  $ \int \frac{cos^2x+1}{cos^2x(x+tanx)}dx$

Đặt $t = x + tanx \Rightarrow dt = (1 + \frac{1}{cos^2x}) dx = (\frac{cos^2x + 1}{cos^2x}) dx$

$\Rightarrow I_{1} = \int \frac{1}{t} dt = lnt = ln(x+tanx) = ln\frac{xsinx+cosx}{cosx} = ln(xsinx+cosx) - ln(cosx)$

 

$\Rightarrow I = \frac{x^2}{2} + ln(cosx) - ln(cosx) + ln(xsinx+cosx) = \frac{x^2}{2} + ln(xsinx+cosx).$

 

Tới đây lắp cận vào thôi. Cái khó là triệt xong $ln(cosx)$.


Trong chủ đề: Giải phương trình $3^{x^{2}-2x}-2^{x-2...

09-05-2014 - 16:19

logarit hóa 2 vế là đc mà bạn.

Ta thu đc$x-2=x(x-2)log_{2}3$

Cám ơn bạn nhiều, quên khuấy mất =o=. Cám ơn bạn nhiều.