ChuDong2008

Gọi I, K thứ tự là các điểm đối xứng của trực tâm H của tam giác ABC qua các cạnh AB, AC.

Có I, K thuộc (O) và DE là đường trung bình của tam giác HIK $\Rightarrow DE//IK$.

Có tứ giác BCDE nội tiếp, suy ra $\measuredangle DBE=\measuredangle DCE$

Xét (O), có $\measuredangle DBE=\measuredangle DCE$, suy ra 2 cung AI; AK bằng nhau.

suy ra OA vuông góc với IK. suy ra OA vuông góc với DE.

Cho tam giác ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC hai tam giác đều ABF và ACE và một tam giác cân BCD có gó BDC bằng $120^0$. Chứng minh DA vuông góc FE.

Tìm số nguyên tố $p$ để $4p+1$ là số chính phương?

Có 4p+1 là 1 số chính phương lẻ nên $4p + 1 = 8k+1$ suy ra $p=2k$, p nguyên tố, suy ra p = 2.

Đặt $ x - 1 =t $ có $ x = t +1$
Suy ra: $ x^{100} = (t+1)^{100}$
Theo công thức khai triển nhị thúc Newton có:
$ (t+1)^{100} = 1^{100}+ 100.1^{99}.t + 100.99/2. t^2 + ......$ chia $t^2$ dư $1+100t$
vậy chia $x^{100}$ cho $(x-1)^{2}$ dư $100x - 99$

Bài 4 Cho a,b,x,y là những số thực thỏa mãn

$\left\{\begin{matrix} & \frac{x^{4}}{a} +\frac{y^{4}}{b} &=\frac{1}{a+b} \\ & x^{2} +y^{2}&=1 \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng:

$\frac{x^{2012}}{a^{1006}}+\frac{y^{2012}}{y^{1006}}=\frac{2}{(a+b)^{1006}}$

Ta có: $ (x^2+y^2)^2 = 1$ nên $\frac{x^{4}}{a} +\frac{y^{4}}{b} = \frac{x^4+2x^2y^2+y^4}{a+b} $
Chuyển vế và quy đồng, khử mẫu ta được:
$(bx^2-ay^2)^2 = 0$
Suy ra: $ bx^2 = ay^2$ hay $\frac{x^2}{a}=\frac{y^2}{b}=\frac{x^2 +y^2}{a+b}=\frac{1}{a+b}$
Suy ra:
$\frac{x^{2012}}{a^{1006}}=\frac{y^{2012}}{y^{1006}}=\frac{1}{(a+b)^{1006}}$
Suy ra ĐPCM.