ChuDong2008

Tìm số nguyên tố $p$ để $4p+1$ là số chính phương?

Có 4p+1 là 1 số chính phương lẻ nên $4p + 1 = 8k+1$ suy ra $p=2k$, p nguyên tố, suy ra p = 2.

Đặt $ x - 1 =t $ có $ x = t +1$
Suy ra: $ x^{100} = (t+1)^{100}$
Theo công thức khai triển nhị thúc Newton có:
$ (t+1)^{100} = 1^{100}+ 100.1^{99}.t + 100.99/2. t^2 + ......$ chia $t^2$ dư $1+100t$
vậy chia $x^{100}$ cho $(x-1)^{2}$ dư $100x - 99$

Bài 4 Cho a,b,x,y là những số thực thỏa mãn

$\left\{\begin{matrix} & \frac{x^{4}}{a} +\frac{y^{4}}{b} &=\frac{1}{a+b} \\ & x^{2} +y^{2}&=1 \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng:

$\frac{x^{2012}}{a^{1006}}+\frac{y^{2012}}{y^{1006}}=\frac{2}{(a+b)^{1006}}$

Ta có: $ (x^2+y^2)^2 = 1$ nên $\frac{x^{4}}{a} +\frac{y^{4}}{b} = \frac{x^4+2x^2y^2+y^4}{a+b} $
Chuyển vế và quy đồng, khử mẫu ta được:
$(bx^2-ay^2)^2 = 0$
Suy ra: $ bx^2 = ay^2$ hay $\frac{x^2}{a}=\frac{y^2}{b}=\frac{x^2 +y^2}{a+b}=\frac{1}{a+b}$
Suy ra:
$\frac{x^{2012}}{a^{1006}}=\frac{y^{2012}}{y^{1006}}=\frac{1}{(a+b)^{1006}}$
Suy ra ĐPCM.

các đường giác AD, CE của các góc ở đáy của tam giác cân ABC cắt nhau ở O, tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ODC nằm trên AC. tính số đo góc BAC?

Gọi giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ODC với AC là K.
Có KC là đường kính, CO là phân giác nên hai cung OK, OD bằng nhau.
Tam giác BAC cân tại B nên 2 góc OAK và OCK bằng nhau. Mà OCK là góc nội tiếp, OAK là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn, do đó $ sđ DC - sđ OK = sđ OK $.
Vậy $ sđ DC = 2 sđ OK = 2 sđ OD = sđ DK $.
Suy ra D là chính giữa cung KC, hay góc DCK = 45 độ.
Vậy góc ABC = 90 độ.
( thông cảm, m ko tìm thấy kí hiệu cung)

Cho tam giác ABC . M , N là trung điểm CA , CB .I là giao điểm của tia NM với đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC .CMR:$\frac{BC}{IA}=\frac{CA}{IB}+\frac{AB}{IC}$

Gọi G là giao điểm của AC và BI.
Có: $\frac{BC}{IA}=\frac{GC}{GI}$ và $\frac{AB}{IC}=\frac{GA}{GI}$
Suy ra: $\frac{BC}{IA}- \frac{AB}{IC}=\frac{GC-GA}{GI}=\frac{2GM}{GI}$;
Mà MI // AB nên $\frac{GM}{GI}=\frac{GA}{GB}=\frac{GM+GA}{GI+GB}=\frac{AM}{IB}$
suy ra: $\frac{2GM}{GI}=\frac{2AM}{IB}$.
Vậy: $\frac{BC}{IA}=\frac{CA}{IB}+\frac{AB}{IC}$

a) Gọi giao điểm của CE với (O) là J. Có J là điểm chính giữa cung AB, và cung CJ bằng tổng 2 cung CB và AJ. Khi đó JCM là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây chắn cung CJ, CEM là góc có đỉnh bên trong đường tròn, do đó 2 góc này bằng nhau, vậy nên tam giác MEC cân tại M, suy ra MC=MD, vậy ME=MD=MC.
b)

( m bận, mai trả lời tiếp, xin lỗi nha! )

Chứng minh rằng nếu $x,y$ là các số nguyên dương thỏa mãn phương trình $$x^5+y^5=2x^2y^2$$ thì $1-xy$ là số chính phương.

Chia 2 vế cho $x^2y^2$ có
$\frac{x^5+y^5}{2x^2y^2}=1$.
Bình phương hai vế có:
$\frac{x^{10}+y^{10}+2x^5y^5}{4x^4y^4}=1$.
Suy ra $ 1 -xy = \frac{x^{10}+y^{10}+2x^5y^5}{4x^4y^4}-xy = \frac{x^{10}+y^{10}-2x^5y^5}{4x^4y^4} = (\frac{x^5-y^5}{2x^2y^2})^2$

Có $ Q= \frac{x-1+9}{\sqrt{x}+1}=\sqrt{x}-1+ \frac{9}{\sqrt{x}+1}=\sqrt{x}+1+ \frac{9}{\sqrt{x}+1}-2$
Áp dụng BĐT Côsi có
$ Q \geq 2.3-2 = 4$, Dấu " = " xảy ra nếu $ \sqrt{x} + 1 = 9 $ hay $ x = 4$.
.......

Tìm số nguyên a lớn nhất sao cho $T=4^{27}+4^{1016}+4^{a}$ là số chính phương !

Nếu $x\geq 27$ thì $T=4^{27}(1+4^{989}+4^{a-27})$
Do $4^27$ chính phương nên T chính phương khi $1+4^{989}+4^{a-27}$ chính phương.
Đặt $1+4^{989}+4^{a-27}=n^2$
Có $ n^2 > 4^{a-27} = (2^{a-27})^2$ nên $ n^2 \geq (2^{a-27}+1)^2$
Suy ra $1+4^{989}+4^{a-27} \geq (2^{a-27}+1)^2 = (2^{a-27})^2+2^{a-26}+1 $
Vạy $4^{989} \geq 2^{a-26} $
HAy $ 989.2 \geq a-26 $
vậy $ a \leq 2004$
Thay a =2004 có $ T = 4^{27}+4^{1016}+4^{2004} = 4^{27}.(1+2^{1977})^2 $ là số chính phương.
Vậy a lớn nhất bằng 2004.

Cho tam giác ABC vuông tại A, gọi I là giao điểm của 3 đường phân giác . Biết AB = 5cm, IC = 6cm.Tính BC?

Do I là giao của 3 đường phân giác trong tam giác nên I là tâm đường tròn nội tiếp. Gọi tiếp đ của (I) với AB, AC, BC lần lượt là M,N,P.
Đặt AN = x, NC = y. Sử dụng tính chất tiếp tuyến cắt nhau có BP = 5-x; CP = y;
Khi đó: $ x^2+y^2 = 36$ và $ 5^2+(x+y)^2 = (5-x+y)^2$
Khai triển đẳng thức thứ hai có $ -2xy = 5(x-y)$, suy ra x < y.
Kết hợp $ x^2+y^2 = 36$ có: $(x-y)^2-5(x-y)-36=0$, suy ra x-y = -4.
Khi đó $BC = 5-x+y = 9$.

Bài 1:Chứng minh:
$\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}-1}=\sqrt[3]{\frac{1}{9}}-\sqrt[3]{\frac{2}{9}}+\sqrt[3]{\frac{4}{9}}$

Đề sai, bạn có thể kiểm tra bằng máy tính bỏ túi. Đúng là: $\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}-1}=\sqrt[3]{\frac{1}{9}}-\sqrt[3]{\frac{2}{9}}+\sqrt[3]{\frac{4}{9}}$
Giải:
Đặt $ t = \sqrt[3]{2}$
Suy ra $ t^3 = 2$, $t^3-1=1$ và $ t^3 +1 = 3$
Khi đó VP = $\frac{1-t+t^2}{\sqrt[3]{(t+1)}^2}=\frac{(1-t+t^2)(t+1)\sqrt[3]{3}}{(t^3+1)(t+1)}=\frac{\sqrt[3]{3}}{t+1};$
HAy $VP = \sqrt[3]{\frac{3}{(t+1)^3}}=\sqrt[3]{\frac{3}{t^3+1+3t(t+1)}}=\sqrt[3]{\frac{1}{t^2+t+1}}=\sqrt[3]{t-1}=VT$

chuyển vế trước đã, sau đó đánh giá
$8(x-2009)^2 \leq 25$
Do đó $(x-2009)^2 = 1$. Từ đó suy ra kết quả.

Giải phương trình sau:

$x^{4}+\sqrt{x^{2}+1999}=1999$

Cộng thêm $x^2+ \dfrac{1}{4}$ vào 2 vế có:
$x^{4}+x^2+\dfrac{1}{4}=x^2+1999-\sqrt{x^{2}+1999}+\dfrac{1}{4}$
Hay $(x^2+\dfrac{1}{2})^2=(\sqrt{x^2+1999}-\dfrac{1}{2})^2;$
Giải tiếp có kết quả.

Có $P+3 = a+b^2+1+c^3+1+1\geq a+2b+3c$;
Dấu "=" xảy ra khi $ a = b=c =1$
Cúng có $(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c})(a+2b+3c)\geq (1+4+9)^2$
suy ra $(a+2b+3c)\geq \dfrac{(1+4+9)^2}{6}$
Vậy $P\geq \dfrac{14^2}{6}-3$, Dấu "=" xảy ra khi $ a = b=c =1$.

Bài này dễ mà ank, còn có trong Toán Nâng Cao 8 của bác VŨ HỮU BÌNH mà

Các ban tổng quát luôn nhá:\
C/M với các số nguyên x;a ta có: $x(x+a)(x+2a)(x+3a)+a^4$ là số chính phương?

lặt vặt khó chịu!