Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


thedragonknight

Đăng ký: 23-10-2011
Offline Đăng nhập: 16-03-2017 - 21:48
**---

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: TÌm hàm $f:\begin{bmatrix} 0;\frac{1}...

25-12-2014 - 10:23

TÌm hàm $f:\begin{bmatrix} 0;\frac{1}{2} \end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} 0;\frac{1}{2} \end{bmatrix}.$ thỏa mãn : 

1. $f(x)$ liên tục trên $\begin{bmatrix} 0;\frac{1}{2} \end{bmatrix}$.

2.$f(x)=f(x^{2}+\frac{1}{4})$ với mọi $x\in \begin{bmatrix} 0;\frac{1}{2} \end{bmatrix}$

Với mỗi số thực $a \in [0;\frac{1}{2}] $ bất kỳ xét dãy $x_1=a; x_{n+1}=x_{n}^2+\frac{1}{2}$.

Dễ dàng chứng minh được rằng $lim {x_n}=\frac{1}{2}$

Khi đó $f(a)=f(x_n)$

Lấy $lim$ 2 vế kết hợp với $f$ liên tục ta đc

$f(a)=f(\frac{1}{2}) \forall a \in [0;\frac{1}{2}]$


Trong chủ đề: $f((f(x))^{2}y)=x^{3}.f(xy)$

25-12-2014 - 10:06

Làm sao bạn có thể thêm biến vào đúng vị trí đó mà không phải vị trí khác . Nếu có tài liệu thì chỉ cho mình nhé ! Thanks

Tài liệu về phần này có đầy trên mạng bạn chịu khó tìm nhé chứ mình ko có tài liệu phần này


Trong chủ đề: $f(x+2f(y))+yf(x+y)=f(xf(y))$

25-12-2014 - 08:09

Tìm tất cả các hàm $f:R\rightarrow R$  thỏa :  

                                                                              $f(x+2f(y))+yf(x+y)=f(xf(y))$

Thay $x=y=0 $ vào pt ta đc:

$f(2f(0))=f(0)$

Đặt $f(0)=a$. Khi đó: $f(2a)=a$

Thay $x=0, y=2a$ vào pt đầu ta đc: 

$a+2a^2=a$

Suy ra $a=0$

Thay $y=0$ vào pt đầu ta đc: 

$f(x)=0 \forall x \in R$


Trong chủ đề: $f((f(x))^{2}y)=x^{3}.f(xy)$

25-12-2014 - 07:49

Tìm tất cả  các hàm  $f:Q^{+}\rightarrow Q^{+}$  thỏa :    

                       $f((f(x))^{2}y)=x^{3}.f(xy)$

Bài này sử dụng pp thêm biến 

Dễ thấy f đơn ánh

Ta thêm biến $z$ vào pt đầu như sau:

$f((f(xz))^{2}y)=(xz)^3.f(xyz) \forall x,y,z\in Q^{+}$

Mặt khác: $x^3.z^3.f(xyz)=x^3.f((f(z))^2.xy)=f((f(x))^2.(f(z))^2.y) \forall x,y,z\in Q^{+}$

Kết hợp với tính đơn ánh ta suy ra :

$f(xz)=f(x).f(z) \forall x,z \in Q^{+}$ 

Từ đây dễ dàng suy ra đc $f(x)=x^{-1} \forall x\in Q^{+}$


Trong chủ đề: $2xf(f(x))=f(x)\begin{bmatrix} x+f(f(x)) \end...

24-12-2014 - 10:21

  Tìm hàm số $f:(0;+\infty )\rightarrow (0;+\infty)$ thỏa 

          i)  f là một toàn ánh

          ii) $2xf(f(x))=f(x)\begin{bmatrix} x+f(f(x)) \end{bmatrix}$ với x dương

Từ pt ii) ta có:

$x(2f(f(x))-f(x))=f(x)f(f(x)) \forall x>0$

Suy ra: $f(f(x))>\frac{f(x)}{2} \forall x>0$

suy ra: $f(x)>\frac{x}{2} \forall x>0 $ (1)

Ta có: $f(f(x))=\frac{f(x)}{2}+\frac{f(x)f(f(x))}{x} \forall x>0$ (2)

Áp dụng (1) ta đc:

$f(f(x))>(\frac{1}{2}+\frac{a^2_{1}}{2})f(x)$ với $a_1=\frac{1}{2}$

Tương tự ta chứng minh đc 

$f(f(x))>a_n.x \forall x>0$ 

với $(a_n)$ là dãy truy hồi xác định bởi:

$a_1=\frac{1}{2}; a_{n+1}=\frac{a^2_{n}}{2}+\frac{1}{2}$

Dễ dàng c/m đc: $lim a_n=1$

Suy ra $f(x)\geq x \forall x>0$

Giả sử tồn tại $x_0$ sao cho $f(x_0)>x_0.\sqrt{2}$

Khi đó $f(f(x_0))>x_0.\sqrt{2}$ 

Kết hơp với pt ii) ta suy ra $f(f(x_0)>\frac{sqrt{2}}{2}.b_n.x_0$ (3) 

với $(b_n): b_1=\sqrt{2}; b_{n+1}=b_{n}+1$

Dễ thấy $lim b_{n}=+\triangleright$ 

Mâu thuẫn với (3)

Vậy $f(x)<xsqrt{2} \forall x>0$

Tương tự ta cũng chứng minh đc: $f(x)\leq x \forall x>0$