Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


thedragonknight

Đăng ký: 23-10-2011
Offline Đăng nhập: 16-03-2017 - 21:48
**---

#539130 TÌm hàm $f:\begin{bmatrix} 0;\frac{1}...

Gửi bởi thedragonknight trong 25-12-2014 - 10:23

TÌm hàm $f:\begin{bmatrix} 0;\frac{1}{2} \end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} 0;\frac{1}{2} \end{bmatrix}.$ thỏa mãn : 

1. $f(x)$ liên tục trên $\begin{bmatrix} 0;\frac{1}{2} \end{bmatrix}$.

2.$f(x)=f(x^{2}+\frac{1}{4})$ với mọi $x\in \begin{bmatrix} 0;\frac{1}{2} \end{bmatrix}$

Với mỗi số thực $a \in [0;\frac{1}{2}] $ bất kỳ xét dãy $x_1=a; x_{n+1}=x_{n}^2+\frac{1}{2}$.

Dễ dàng chứng minh được rằng $lim {x_n}=\frac{1}{2}$

Khi đó $f(a)=f(x_n)$

Lấy $lim$ 2 vế kết hợp với $f$ liên tục ta đc

$f(a)=f(\frac{1}{2}) \forall a \in [0;\frac{1}{2}]$




#539117 $f(x+2f(y))+yf(x+y)=f(xf(y))$

Gửi bởi thedragonknight trong 25-12-2014 - 08:09

Tìm tất cả các hàm $f:R\rightarrow R$  thỏa :  

                                                                              $f(x+2f(y))+yf(x+y)=f(xf(y))$

Thay $x=y=0 $ vào pt ta đc:

$f(2f(0))=f(0)$

Đặt $f(0)=a$. Khi đó: $f(2a)=a$

Thay $x=0, y=2a$ vào pt đầu ta đc: 

$a+2a^2=a$

Suy ra $a=0$

Thay $y=0$ vào pt đầu ta đc: 

$f(x)=0 \forall x \in R$




#539115 $f((f(x))^{2}y)=x^{3}.f(xy)$

Gửi bởi thedragonknight trong 25-12-2014 - 07:49

Tìm tất cả  các hàm  $f:Q^{+}\rightarrow Q^{+}$  thỏa :    

                       $f((f(x))^{2}y)=x^{3}.f(xy)$

Bài này sử dụng pp thêm biến 

Dễ thấy f đơn ánh

Ta thêm biến $z$ vào pt đầu như sau:

$f((f(xz))^{2}y)=(xz)^3.f(xyz) \forall x,y,z\in Q^{+}$

Mặt khác: $x^3.z^3.f(xyz)=x^3.f((f(z))^2.xy)=f((f(x))^2.(f(z))^2.y) \forall x,y,z\in Q^{+}$

Kết hợp với tính đơn ánh ta suy ra :

$f(xz)=f(x).f(z) \forall x,z \in Q^{+}$ 

Từ đây dễ dàng suy ra đc $f(x)=x^{-1} \forall x\in Q^{+}$




#538999 $2xf(f(x))=f(x)\begin{bmatrix} x+f(f(x)) \end{b...

Gửi bởi thedragonknight trong 24-12-2014 - 10:21

  Tìm hàm số $f:(0;+\infty )\rightarrow (0;+\infty)$ thỏa 

          i)  f là một toàn ánh

          ii) $2xf(f(x))=f(x)\begin{bmatrix} x+f(f(x)) \end{bmatrix}$ với x dương

Từ pt ii) ta có:

$x(2f(f(x))-f(x))=f(x)f(f(x)) \forall x>0$

Suy ra: $f(f(x))>\frac{f(x)}{2} \forall x>0$

suy ra: $f(x)>\frac{x}{2} \forall x>0 $ (1)

Ta có: $f(f(x))=\frac{f(x)}{2}+\frac{f(x)f(f(x))}{x} \forall x>0$ (2)

Áp dụng (1) ta đc:

$f(f(x))>(\frac{1}{2}+\frac{a^2_{1}}{2})f(x)$ với $a_1=\frac{1}{2}$

Tương tự ta chứng minh đc 

$f(f(x))>a_n.x \forall x>0$ 

với $(a_n)$ là dãy truy hồi xác định bởi:

$a_1=\frac{1}{2}; a_{n+1}=\frac{a^2_{n}}{2}+\frac{1}{2}$

Dễ dàng c/m đc: $lim a_n=1$

Suy ra $f(x)\geq x \forall x>0$

Giả sử tồn tại $x_0$ sao cho $f(x_0)>x_0.\sqrt{2}$

Khi đó $f(f(x_0))>x_0.\sqrt{2}$ 

Kết hơp với pt ii) ta suy ra $f(f(x_0)>\frac{sqrt{2}}{2}.b_n.x_0$ (3) 

với $(b_n): b_1=\sqrt{2}; b_{n+1}=b_{n}+1$

Dễ thấy $lim b_{n}=+\triangleright$ 

Mâu thuẫn với (3)

Vậy $f(x)<xsqrt{2} \forall x>0$

Tương tự ta cũng chứng minh đc: $f(x)\leq x \forall x>0$




#533539 Kỳ thi chọn HSG tỉnh Bình Thuận

Gửi bởi thedragonknight trong 16-11-2014 - 21:51

Nghe nói trường chuyên Trần Hưng Đạo Bình Thuận đang tuyển giáo viên dạy chuyên Toán và cho đề để giáo viên giải tương đương học sinh giỏi cấp tỉnh trở lên.

Không biết ai có đề post lên để mọi người tham khảo với nhé!

 

Phải giải đc 70% đề tương đương với quốc gia trở lên thầy à.

 

P/s: Thầy tính thi làm GV dạy toán à  :lol:




#533126 Đề thi chọn đội tuyển lớp 10 olympic 30-4 tỉnh Bình Thuận năm 2014-2015

Gửi bởi thedragonknight trong 13-11-2014 - 22:26

Câu 1: Giải phương trình $4x+\sqrt{2x^2+3x+1}-\frac{1}{x}=3$

 

Câu 2: Cho tam giác $ABC$ không vuông, không cân nội tiếp $(O)$. Trên $BC$ lấy $M$ là trung điểm, $AC$ lấy $N$ là trung điểm, $AB$ lấy $P$ là trung điểm. Trên tia $OM$ lấy $A_1$ sao cho tam giác $OAM$ đồng dạng $OA_{1}A$ . Tương tự cho cách lấy $B_1, C_1$. Chứng minh $AA_1,BB_1,CC_1$ đồng qui

 

Câu 3: Cho $x,y,z >0$. Chứng minh:

$(1+\frac{x}{y})(1+\frac{y}{z})(1+\frac{z}{x})\geq 2+2\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}$

 

Câu 4: Tìm các số nguyên dương $n$ để:

 $n^4-4n^3+22n^2-36n+18$ là số chính phương

 

Câu 5: Cho $f:R\rightarrow R$. Tìm các hàm $f$ thỏa: 

$f(x+y)=f(x)+f(y)$ và $f$ đơn điệu




#533105 Thảo luận về DS dự thi và KQ thi VMO 2015

Gửi bởi thedragonknight trong 13-11-2014 - 20:51

 Đội tuyển VMO tỉnh Bình Thuận ( ko theo thứ tự điểm )

 1. Dương Đức Thịnh (12 Toán THPT chuyên Trần Hưng Đạo)

 2. Đặng Thanh Vương (12 Toán THPT chuyên Trần Hưng Đạo)

 3. Ngô Phúc Danh (11 Toán THPT chuyên Trần Hưng Đạo)

 4. Huỳnh Quốc Thảo (11 Toán THPT chuyên Trần Hưng Đạo)

 5. Phan Cao Bảo Huy (11 Toán THPT chuyên Trần Hưng Đạo)

 6. Hứa Thạch Thông (12 THPT Hùng Vương)




#529509 Kỳ thi chọn HSG tỉnh Bình Thuận

Gửi bởi thedragonknight trong 19-10-2014 - 10:20

Bài 1. 1: Gợi ý:

Đặt $u=\sqrt{x+3}$ => bất p trình hai ẩn đẳng cấp bậc 3.

Giải ra ta được nghiệm của BPT đã cho: $x \geqslant  - 2$.

Bài 2: 2. Dạng quen thuộc, ta dùng phương pháp sai phân giải nghiệm tổng quát ngoài nháp sau đó quy nạp.

Nói chung đề không khó lắm.

Đang chờ đề vòng 2

 

Bài 1: Cách khác : Chia cả 2 vế cho $x^3$ rồi đặt ẩn phụ ( xét các Th của $x$) 

 

P/s1: Gần hết h mới nghĩ ra câu này chưa kịp làm vào bài nữa  :(

 

P/s2: Thầy có nick face ko. Tại đề vòng 2 hiện đang post trên face. Cho em xin nick để em tag vào cho  :icon6:




#529264 Kỳ thi chọn HSG tỉnh Bình Thuận

Gửi bởi thedragonknight trong 17-10-2014 - 15:05

                                                                                 KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 CẤP TỈNH 

                                                                                               Năm học: 2014-2105

                                                                                               Môn: Toán

                                                                                      Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

                                                                                                              

                                                                                                      ĐỀ:

Bài 1. (5đ)

1. Giải bất phương trình: $x^3-3x^2+2\sqrt{(x+3)^3}-9x\geq 0$

2. Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình 

$\sqrt{(m-2)x+m}\geq |x-1|$ có nghiệm trên $[-2;3]$

Bài 2. (5đ)

1. Cho a,b là 2 số thỏa điều kiện: $a^2+b^2+9=6a+2b$. Chứng minh $4b\leq 3a$

2. Cho dãy $(u_n)$ thỏa:

  $$u_1=1,u_2=2,u_{n+2}=\frac{2}{3}u_{n+1}+\frac{1}{3}u_n$$ với $n\in \mathbb{N},n>0$.

  Tìm $u_n$

Bài 3. (7đ)

1. Cho tứ diện $ABCD$ có $$AB=AC=a;BC=\frac{a}{2};AD=a\sqrt{3};\widehat{DAB}=\widehat{DAC}=30^{\circ}$$. 

Tính $d(AD;BC);V_{ABCD}$

2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho $M(2;3)$. Đường thẳng $d$ qua $M$ có hệ số góc âm, $d$ cắt trục hoàng tại $A$, trục tung tại $B$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $S_{OAB}$

Bài 4. (3đ)

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} 2x^3+2y^2+y+1=0\\ 2y^3+2z^2+z+1=0 \\ 2z^3+2x^2+x+1=0 \end{matrix}\right.$




#527726 Đề thi chọn đội tuyển toán THPT chuyên Đại học Sư Phạm Hà Nội năm học...

Gửi bởi thedragonknight trong 08-10-2014 - 08:25

Mình xin giải câu 1 cách khác:

Dễ dàng chứng minh đc : $x_k>0$

Xét hàm số $f(x)=\sqrt{x+11}-\sqrt{x+4}; x>0$

Ta có: $f'(x)= \frac{1}{2\sqrt{x+11}}-\frac{1}{2\sqrt{x+4}}$

$f"(x)=\frac{1}{4\sqrt{(x+4)^3}}-\frac{1}{4\sqrt{(x+11)^3}}$

Dễ thấy $f"(x)>0$

Do đó $0>f'(x)>f'(0)>-1$

Tới đây áp dụng lagrange cho ta : $lim\left | x_n-5 \right |=0\Rightarrow limx_n=5$




#526295 Chọn đội dự tuyển VMO 2014-2015 tỉnh Đồng Nai

Gửi bởi thedragonknight trong 26-09-2014 - 19:36

Câu 6 : Các cặp $(a;b)$ thỏa $a^3+ab^2+b^3$ chia hết cho 11 là:

$$(1;6); (2;1); (3,7); (4,2); (5,8); (6;3); (7,9); (8,4); (9;10); (10;5)$$

Giả sử tồn tại 2 tập $X$ và $Y$ ko thỏa đề:

Nếu $$1\in X\Rightarrow 6\in X\Rightarrow 3\in X\Rightarrow .....\Rightarrow X=\left \{ 1;2;...; 10 \right \}\Rightarrow Y=\phi$$ (vô lý)

Lý luận tương tự với trường hợp $1\in Y$




#509486 Đề tuyển sinh lớp 10 tỉnh bình thuận năm 2014 -2015

Gửi bởi thedragonknight trong 27-06-2014 - 21:02

 10300861_1437215043221136_51666508170733




#476673 Đề thi chọn đội tuyển Olympic 30-4 lớp 10 THPT chuyên Trần Hưng Đạo (vòng 2)

Gửi bởi thedragonknight trong 11-01-2014 - 15:58

Câu 6: Cách khác: 

Từ điều kiện suy ra: $f(n+1)\geq f(n)+1$

Bằng quy nạp ta cm đc: $f(n+k)\geq f(n)+k$

Giả sử tồn tại $n_0$ sao cho:

$f(n_0)>n_0+1006$

Khi đó do $f$ đồng biến ta suy ra:

$f(f(n_0))> f(n_0+1006)\geq f(n_0)+1006$

Kết hợp với điều kiện (2) của đề cho ta: 

$n_0+1006> f(n_0)$ (vô lý)

Do đó:

$$f(n)\geq n+1006 \forall n\in \mathbb{N}*$

Từ đó ta có :

$f(f(n))\geq f(n)+1006$

Kết hợp với điều kiện (2) cho ta:

$n+1006\geq f(n)$

Vậy $f(n)=n+1006$




#476517 Đề thi chọn đội tuyển Olympic 30-4 lớp 10 THPT chuyên Trần Hưng Đạo (vòng 2)

Gửi bởi thedragonknight trong 10-01-2014 - 17:35

Đề thi chọn đội tuyển HSG Olympic 30/4 lần thứ XX - 2014 Toán 10

  Thời gian 180 phút

Câu 1:

Giải hệ

$\left\{\begin{matrix} (x-y)^2+x+y=y^2 & \\ x^4 - 4x^2y + 3x^2 = -y^2& \end{matrix}\right.$

 

Câu 2:

Cho góc nhọn BAx, điểm C di động trên tia Ax ( C khác A ). Gọi tiếp điểm của AC, BC với đường tròn nội tiếp tam giác ABC lần lượt là M, N. Chứng minh rằng MN đi qua 1 điểm cố định khi C di động

 

Câu 3:

Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thỏa $a\geq b\geq c$ và $a+b+c=3$

Chứng minh rằng:

   $\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+3b\geq 5$

 

Câu 4: 

Cho trước số nguyên tố $p$ và số nguyên dương $a$ với $1< a\leq p-1$. Giả sử:

$A=\sum_{k=0}^{p-1}a^k$. Chứng minh rằng với mọi ước nguyên tố $q$ của $A$ ta đều có $q-1\vdots p$

 

Câu 5: 

Cả 3 năm học cấp 3, lớp T đã tổ chức 50 lần ngoại khóa, mỗi lẫn có hơn nửa số học sinh của lớp tham gia. Chứng minh rằng: Tồn tại 1 nhóm ko quá 5 học sinh mà mỗi lần ngoại khóa có ít nhất 1 học sinh nhóm tham gia

 

Câu 6: 

Tìm tất cả các hàm $f:N*\rightarrow N*$ thỏa các điều kiện sau:

$\left\{\begin{matrix} f(n+1)>f(n) & \\ f(f(n))=n+2012 & \end{matrix}\right.$ $\forall n\in \mathbb{N}*$

 

P/s: Đề khá hay và khó :D




#476023 Đề thi chọn đội tuyển Olympic 30-4 lớp 10 THPT chuyên Trần Hưng Đạo (vòng 1)

Gửi bởi thedragonknight trong 07-01-2014 - 20:09

Lâu quá, hôm nay rảnh vào diễn đàn:

Chứng minh thế này:

Ta có:

$(f_{2n+1}-f_{2n})(f_{2n+1}+f_{2n})=6f_n+1 \Rightarrow 6f_n+1\geqslant 2f_n(f_{2n+1}-f_{2n}) \Rightarrow f_{2n+1}-f_{2n}\leqslant 3$

$f_{2n+1}-f_{2n} \in \left \{ 1,2,3 \right \}$

Vì: $6f_n+1\equiv 1 (mod 6)$  nên $\Rightarrow f_{2n+1}-f_{2n}=1 \Rightarrow f_{2n+1}+f_{2n}=6f_n+1 \Rightarrow f_{2n}=3f_n;f_{2n+1}=3f_n+1$

Ta nhận thấy rằng nếu $n$ được viết trong hệ nhị phân thì giá trị của $f_n$ được tính trong hệ tam phân.

Ví dụ:

$n=3$ => $3_{10}=11_2$ thì $11_3=4_{10}$. Điều này chứng minh dễ dàng

Từ đó ta có $2014_{10}=2202121_3$ và ta dễ thấy $1111111_3<2202121_3<10000000_3$ chuyển các số $1111111$,$10000000$ qua hệ nhị phân ta suy ra:

$f_{128}>2104$ và $f_{127}<2104$.

Vậy có 128 giá trị (chỉ số đi từ 0 đến 127).

PS: Bài này khó!

 

 

 

 

Lời giải của nntien là chính xác rồi. Ngoài ra ta có thể dự đoán được đáp số bằng cách quy nạp $f(2^kn)=3^kf(n)$