thedragonknight

Đề thi chọn đội tuyển olympic 30/4 lần thứ XX - 2014 Toán 10 Thời gian: 180 phút

Câu 1: Giải phương trình: $\sqrt[3]{x-2}=8x^3-60x^2+151x-128$

 

Câu 2: Cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao BE, CF cắt nhay tại H. Trên các tia FB,EC theo thứ tự lấy các điểm P,Q sao cho FP=FC, EQ=EB. BQ cắt CP tại K,I,J theo thứ tự là trung điểm BQ, CP, IJ cắt BC, PQ theo thứ tự tại M, N. Chứng minh rằng

1. HK vuông góc IJ

2. $\widehat{IAM}=\widehat{JAN}$

 

Câu 3: Cho 3 số thực dương sao cho $a+b+c=abc$ Chứng minh: \sum \frac{1}{\sqrt{1+a^2}}\leq \frac{3}{2}

 

Câu 4: Tìm tất cả các số nguyên tố thỏa mãn $pq|(p^p+q^q+1)$

 

Câu 5: Có 3 đống sỏi lần lượt có 2013; 213 và 13 viên sỏi. Được phép (A) Hoặc bớt đi ở cả 3 đống cùng 1 số viên sỏi (B) Hoặc chuyển đi 1 nữa số sỏi từ đống này (có số sỏi chẵn) sang 1 trong 2 đống kia. Hỏi có cách nào chuyển sỏi như trên có thể 1. Làm cho 2 đống sỏi ko còn viên nào hay ko? 2. Làm cho cả 3 đống ko còn viên nào hay ko?

 

Câu 6: Cho hàm số $f$ xác định và có giá trị trên $N$ thỏa các ĐK với mọi n

$1. f^{2}(2n+1)-f^2(2n)=6f(n)+1$

$2. f(2n)\geq f(n)$

 

Hỏi có bao nhiêu giá trị của f nhỏ hơn 2014

Cho $f$ xác định, liên tục trên R thỏa:

$f(x+f(x))=f(x)$

Chứng minh $f$ là hàm hằng

 

 

Danh sách đội tuyển bình thuận

1) Tô Nguyễn Tuấn Kiệt

2) Nguyễn Quốc Thanh

3) Nguyễn Hữu Liên

4) Huỳnh Đăng Khanh

5) Trần Phan Khải

6) Nguyễn Lê Quỳnh Anh

P/s: Năm nay ko đc thi. Buồn 

Mình chém câu 3 thế này ko biết có đúng ko

Ta có:

$f'(x)=0 \Leftrightarrow x=1;-1$

$f(1)=\frac{2-k}{2+k}$

$f(-1)=\frac{2+k}{2-k}$

$limf(x)=1$

Mặt khác:

$\frac{2-k}{2+k}\leq 1\leq\frac{2+k}{2-k}$ (do $0<k<2$)

Do đó:

$M= \frac{2+k}{2-k}; m=\frac{2-k}{2+k}$

Thay vô giải đc $k=1$

P/s: Đề Cà Mau cũng khá là hay nhỉ. Chả bù với tỉnh mình 

Đề: 

Bài 1: Ko dùng máy tính, chứng minh rằng: $\frac{1-sin\frac{\pi }{14}}{2sin\frac{\pi }{14}}>\sqrt{3cos\frac{\pi }{7}}$

Bài 2: Giải pt:

$\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}[\sqrt{(1+x)^3}-\sqrt{(1-x)^3}]= 2+\sqrt{1-x^2}$

Bài 3: 

         Để chuẩn bị 1 bữa tiệc, 1 nhà hàng cần mua ba loại gà,cút, ngỗng. Biết rằng gà 3 tiền 1 con; cút 1 tiền 5 con và ngỗng 5 tiền 1 con. Tổng phải mua là 60 tiền và tổng số gà, cút, ngỗng phải mua là 100 con. Hỏi phải mua mỗi loại mấy con? (Quy ước 1 tiền là 100.000 đồng)

Bài 4:

       Từ dãy số $(u_{n})$ xác định bởi: $\left\{\begin{matrix} u_1=2\\ u_{n+1}=\frac{u^{2}_n+2013u_n}{2014} \end{matrix}\right.$ ta thành lập dãy $(S_n)$ với $S_n$=$\sum_{i=1}^{n}\frac{u_i}{u_{i+1}-1}$

Tính $limS_n$

Bài 5: 

       Cho một đường tròn mà tâm của nó trên cạnh $AB$ của tứ giác lồi $ABCD$ và tiếp xúc với 3 cạnh của tứ giác đó. Chứng minh rằng nếu $ABCD$ nội tiếp thì ta có $AD+BC=AB$

 P/s: đề tỉnh mình chán thế

câu hàm khá là ngon.

Thay $m=0$ ta đc:

$f(f(n))=n$ suy ra f đơn ánh

Thay $m=1$ ta đc :

$f(f(n+1)+1)=n$

$\Rightarrow f(f(n+1)+1)=f(f(n))$

$\Rightarrow f(n+1)+1=f(n) (1)$

Đặt $g(n)=f(n) +n$

Khi đó (1) trở thành

$g(n+1)=g(n)$ 

Dễ thấy khi đó $g(n)=g(0)=1$

Suy ra $f(n)=1-n$

Giải câu đầu tiên thế này ko biết có đúng hay ko .

Theo đề bài đặt 

$a^2=p+q+r$

$b^2=pq+qr+rp+3$

Giả sử trong 3 số nguyên tố $p;q;r$ ko có số nào bằng 3.

Ta có:

$a^4-2b^2=p^2+q^2+r^2-6$

Suy ra: $a^4-2b^2\vdots 3\Rightarrow p+q+r\vdots 3$ (mâu thuẫn đề)

Do đó có ít nhất 1 trong 3 số nguyên tố trên bằng 3.

Ko mất tính tổng quát giả sử $p=3$

Khi đó $a^4-2b^2=q^2+r^2-3$

Và $b^2-3a^2=rp-3$

Suy ra: $a^4-6a^2+9=(p+r)^2$

Pt này khá là quen thuộc 

GPT sau:

$2(1-x)\sqrt{x^2+2x-1}=x^2-2x-1$

ĐK $x^2+2x-1\geq 0$

Đặt $a=\sqrt{x^2+2x-1}$ 

Khi đó pt trở thành:

$2(1-x)a=a^2-4x$

Tính $\Delta$ theo a là ra

1)Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho $n!$ tận cùng bằng $1987$ chữ số $0$
2)Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình
$$(y+1)^{x}=y!+1$$

Làm trước câu 1 nhá

Ta có: $n!\vdots 10^{1987}$. Suy ra $n!\vdots 2^{1987}$ và $n!\vdots 5^{1987}$

Suy ra $x_{1};x_2\geq 1987$ với $x_1;x_2$ lần lượt là số mũ của $2;5$ trong phân tích $n!$ ra thừa số nguyên tố. Ta cần tìm $n$ nhỏ nhất thỏa điều này nên $x_1=1987$ hoặc $x_2=1987$ mà $x_1>x_2$. Do đó $x_2=1987$

Khi đó ta có $\sum_{i=1}^{k}[\frac{n}{5^i}]=1987$

Ta có $\sum_{i=1}^{k}[\frac{n}{5^i}]\geq [\frac{n}{5}]\Rightarrow 1987\geq [\frac{n}{5}]\Rightarrow 1988.5\geq n$

Khi đó: $\sum_{i=1}^{5}[\frac{n}{5^i}]=1988$

Suy ra $\sum_{i=1}^{5}\frac{n}{5^i}\geq 1987\Rightarrow n\geq 7951$

Mặt khác: $\sum_{i=1}^{5}\frac{n}{5^i}-5\leq 1987\Rightarrow n\leq 7970$

Tới đấy ta thử trực tiếp tìm đc $n=7960$

Chém câu 3 thử xem sao

Đặt $(m^3+n^3;m^2+n^2)=d$

Suy ra$m^2(m+1)+n^2(n+1)\vdots d$

Mặt khác ta lại có $(m^2+n^2)(n+1)\vdots d$

Suy ra $m^2(m-n)\vdots d$

Mà $(m^2;n-m)=1$

Xảy ra 2 khả năng:

Khả năng 1 

 

 xảy ra 2 trường hợp:

$m^2\vdots d$ hoặc $n-m\vdots d$ 

Cả 2 trường hợp đều dẫn ra $1\vdots d$

Do đó $d=1$

Khả năng 2: $m^2\vdots u$ và $n-m\vdots v$ với $u.v=m$ và $(u;v)=1$

Dễ dàng c/m đc $u=1$

Khi đó $m^2(n-m)\vdots v$. Ta ko nói đến nó lại xảy ra khả năng 1. Vì vậy nó xảy ra khả năng 2. Quá trình tiếp tục tới vô hạn (vô lí). Cho nên đến 1 lúc nó phải xảy ra khả năng 1. 

Do đó $d=1$

P/s: mình có 1 lỗi sai mà chẳng ai phát hiện ra may sửa kịp  

 

 

Em rất thích cuốn số học do mấy anh làm. Khi nào mấy anh xuất bản thành sách cho em đăng ký mua 1 cuốn

PTNK HCM năm nay vắng bóng anh Trần Hoàng Bảo Linh nhỉ. Chẳng lẽ ....... @@

Em xin cung cấp về đội tuyển của Bình Thuận ạ
1.Lê Văn Đức ( lớp 12 THPT Đức Tân )
2.Lê Đăng Khôi(lớp 12 THPT Hùng Vương )
3.Nguyễn Hữu Liên (11T)
4.Trần Hoài Bão(11T)
5.Nguyễn Hữu Chính (12T)
6.Nguyễn Tấn Hưng (12T)

P/s: 4 anh cuối em ko nhớ rõ thứ tự mà chắc đúng . 4 anh cuối là trường THPT Trần Hưng Đạo

Hôm nay trên lớp, cô giáo mình cho bài này :
Gpt : $\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x-x^2+1}=x^2-x+2$ (*)
Mình giải như sau :
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm ta có : $\sqrt{x^2+x+1}=\sqrt{(x^2+x-1).1}\leq\frac{(x^2+x-1)+1}{2}$
$\sqrt{x-x^2+1}=\sqrt{(x-x^2+1).1}\leq\frac{(x-x^2+1)+1}{2}$
$\Rightarrow$VT(*)$\leq\frac{(x^2+x-1)+1}{2}+\leq\frac{(x-x^2+1)+1}{2}=x+1$ (1)
Có : $x^2-x+2\geq x+1$
Thật vậy : $x^2-x+2\geq x+1$
$\leftrightarrow x^2-x+2-x-1\geq0$
$\leftrightarrow (x-1)^2\geq0$
$\Rightarrow$VP(*)$\geq x+1$ (2)
Từ (1) và (2) $\rightarrow$VT(*)=VP(*)=x+1
Dấu "=" xảy ra $\leftrightarrow$ ....
Đoạn sau thì chắc mọi người cũng biết rồi, nhưng sau khi mình giải xong cô giáo nói bài này sai, và cô giải lại như sau :
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm ta có : $\sqrt{x^2+x+1}=\sqrt{(x^2+x-1).1}\leq\frac{(x^2+x-1)+1}{2}$
$\sqrt{x-x^2+1}=\sqrt{(x-x^2+1).1}\leq\frac{(x-x^2+1)+1}{2}$
$\Rightarrow$VT(*)$\leq\frac{(x^2+x-1)+1}{2}+\leq\frac{(x-x^2+1)+1}{2}=x+1$ (1)
( cô giáo bảo mình đúng đến đoạn này )
(1)$\Rightarrow$VP (*) $\leq x+1$
$\leftrightarrow x^2-x+2\leq x+1$
$\leftrightarrow (x-1)^2\leq0$
$\leftrightarrow$ ....
Bài giải của cô giáo mình như thế đấy. Mình cũng có cảm giác bài mình sai nhưng không giải thích nổi. Có ai giúp mình được không ạ?

Cậu ghi rõ ràng ra tí. Ghi thế sau đọc. Ghi vậy thì tớ cũng chẳng theo dõi đc

thời gian: 150p


b. giải hệ pt: $x^{3}(2+3y)=1$
$x(y^{3}-2)=3$

Ít ra trình mình cũng chém đc câu hệ pt
Xét $y=\sqrt[3]{2};\frac{-2}{3}$ ko là nghiệm của hệ
Từ hệ ta có:
$x^3=\frac{1}{3y+2}$
$x=\frac{3}{y^3-2}$
Từ đó suy ra:
$\frac{3}{y^3-2}=\frac{1}{\sqrt[3]{3y+2}}$(1)
$\Leftrightarrow y^3-2=3\sqrt[3]{3y-2} \Leftrightarrow y^3-8=3(\sqrt[3]{3y+2}-2)\Leftrightarrow (y-2)(y^2+2y+4)=9.\frac{y-2}{\sqrt[3]{(3y+2)^2}+2\sqrt[3]{3y+2}+4}$
Xét $y=2$ là nghiệm của pt (1).Khi đó $x=\frac{1}{2}$ là nghiệm
Xét $y\neq 2$. Chia 2 vế cho $(y-2)$ ta đc:
$y^2+2y+4=\frac{9}{\sqrt[3]{(3y+2)^2}+2\sqrt[3]{3y+2}+4}$
Nhận thấy $VT\geq 3;VP\leq 3$
Cho nên $y=-1$ là nghiệm của pt.
Thế vào: tìm đc $x=-1$ là nghiệm
Vậy hệ có 2 cặp nghiệm là: $$(2;\frac{1}[2});(-1;-1)$$