Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


MIM

Đăng ký: 26-10-2011
Offline Đăng nhập: 25-08-2020 - 07:10
****-

#490867 Thi thử toán khối D Quốc Học Huế 2014 lần 2

Gửi bởi MIM trong 05-04-2014 - 20:37

I. PHẦN CHUNG

Câu 1: Cho hàm số $y=x^3-3mx^2+2(1)$

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ĐTHS đã cho khi $m=1$.

b) Tìm $m\in \mathbb{R}$ để ĐTHS (1) có 2 điểm cực trị và đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tạo với trục Ox một góc $\varphi$ sao cho $cos\varphi=\frac{1}{\sqrt{5}}$

 

Câu 2: Giải phương trình $sinx+sin5x=2cos^2(\frac{\pi}{4}-x)-2cos^2(\frac{\pi}{4}+2x)$$sinx+sin5x=2cos^2(\frac{\pi}{4}-x)-2cos^2(\frac{\pi}{4}+2x)$

 
Câu 3: Gỉai phương trình $\sqrt{2x+1}+\sqrt[4]{2x-1}=\sqrt{x-1}+\sqrt{x^2-2x+3}$
 
Câu 4: Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=(2x-1)\sqrt{lnx},y=0,x=e$. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục Ox
 
Câu 5: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi. Biết rằng tứ diện SABD là tứ diện đều cạnh a. Tính theo a thể tích $S.ABCD$ và $d(BD;SC).$
 
Câu 6: Cho x và y là hai số thực dương thay đổi sao cho $log_2(x+y)=3+log_2x+log_2y$
Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{\sqrt{3^{2x}+3^{-2y}}}{3^{x+1}+3^{-y}}$
 
II. PHẦN RIÊNG
Câu 7a: Trong mp Oxy cho hình thoi ABCD có $BD=2AC, H(2;-1),$ phương trình $BD: x-y=0$. Gọi M là trung điểm CD. Gỉa sử H là hình chiếu vuông góc của A trên BM. Viết phương trình AH
 
Câu 8a: Trong không gian tọa độ Oxyz cho mp $(P):2x-2y+z-7=0$ và $A(0;0;2), B(1;-1;0).$ Viết phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm thuộc mặt phẳng $Oxy$ đi qua $A, B$ và tiếp xúc $(P)$
 
Câu 9a: Có hai hộp A và B đựng các cây viết. Hộp A gồm 5 cây viết màu đỏ và 6 cây xanh. Hộp B gồm 7 cây màu đỏ và 8 cây xanh. Lấy ngẫn nhiên cùng một lúc từ mỗi hộp ra một cây viết. Tính xác suất sao cho hai cây viết được lấy ra có cùng màu.
 
 
Câu 7b: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho hình thang cân $ABCD$ có AD và BC là hai đáy, $AB=BC=5.$ Biết rằng $E(2;1)$ thuộc cạnh $AB, F(-2;-5)$ thuộc đường thẳng AD và phương trình đường thẳng $AC:x-3y-3=0.$ Tìm tọa độ $A,B$
 
Câu 8b: Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{-1}$ và mặt cầu $(S):(x-3)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=25$. Tìm tọa độ A trên đường thẳng $\Delta $ và B trên (S) sao cho A,B đối xứng qua trục Ox
 
Câu 9b: Tìm số phức z biết $z.\overline{z}=2$ và $|\overline{z}-1|^2-z$ là một số thuần ảo 



#417465 ĐỀ KT HỌC KÌ II TRƯỜNG QUỐC HỌC HUẾ 2012-2013

Gửi bởi MIM trong 09-05-2013 - 17:36

KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2012-2013

MÔN TOÁN- LỚP 11 CHUYÊN TOÁN

Thời gian: 90 phút

I. GIẢI TÍCH

 

Câu 1. (2 điểm) Cho hàm số $y=\frac{2x}{x+2}$

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C),$ biết rằng tiếp tuyến này song song với đường thẳng $y=4x+2013$
 
Câu 2. (2 điểm)
1. Tìm cực trị của hàm số $y=cos2x-2cosx+1$
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $m\sqrt{2x^2+9}=x+m$ có hai nghiệm phân biệt.
 
Câu 3. (2 điểm)
1. Chứng minh rằng $tanx>x$ với mọi $x\in(0;\frac{\pi}{2})$
2. Cho $0<x<y<\frac{\pi}{2}.$ CMR $xsinx-ysiny>2(cosy-cosx).$
 
II. HÌNH HỌC
 
Câu 4. (2 điểm)
Cho lăng trụ tam giác $ABC.A_1B_1C_1$ có tất cả các cạnh đều bằng $a,$ góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy bằng $30^{\circ},$ hình chiếu vuông góc của điểm $A_1$ nằm trên mặt phẳng $(ABC)$ là điểm thuộc đường thẳng $BC$
1. Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A_1B_1C_1$
2. Tính theo $a$ khoảng cách giữa hai đường thẳng $AA_1$ và $BC$
 
Câu 5. (2 điểm)
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông với cạnh đáy nhỏ $AB=a,$ cạnh đáy lớn $CD=2a,$ đường cao $AD=a,$ cạnh bên $SD=a\sqrt{2}$ và $SD$ vuông góc với đáy.
1. Tính diện tích xung quanh hình chóp $S.ABCD$
2. Cho $M$ là điểm trên cạnh $AB,$ mặt phẳng $(\alpha)$ qua $M$ và vuông góc với $BD.$ Xác định thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ cắt bởi $(\alpha).$ Thiết diện là hình gì? Đặt $AM=x(0\leq x< a).$ Tính theo $a$ và $x$ diện tích thiết diện.
 

..................

Đề dài làm không kịp câu 5 hình tính diện tích thiết diện T.T'' người ta bắt tính $S_{xq}$ lại đi tính $S_{tp},$ câu 2.2 kết luận nhầm.

RIP T.T




#414456 hình học không gian với hình chóp có đáy là tam giác vuông

Gửi bởi MIM trong 23-04-2013 - 18:50

d63200997102ea3a3aa9346da021f861_5506463

 

$a)$ Ta có: $\left\{\begin{matrix} SA\perp BC\\ AB\perp BC \end{matrix}\right.\Rightarrow (SAB)\perp BC\Rightarrow SB\perp BC$ 
 
nên $SBC$ vuông tại $B.$
 
$b)$ $\left\{\begin{matrix} AC\perp BH\\ SA \perp BH\end{matrix}\right.\Rightarrow BH\perp (SAC)$
Mà $BH\subset (SBH)$ nên $(SAC)\perp (SBH)$
 
$c)$ Trong tam giác vuông $ABC,$ $BH$ là đường cao nên
$\frac{1}{BH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{BC^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{4a^2}=\frac{5}{4a^2}$
 
$\Rightarrow BH=\frac{2a}{\sqrt{5}}$
 
Trong tam giác vuông $BHC,$ $HC=\sqrt{BC^2-HB^2}=\frac{4a}{\sqrt{5}}$
 
$S_{\bigtriangleup BHC}=\frac{1}{2}BH.HC=\frac{4a^2}{5}$
 
$V_{SHBC}=\frac{1}{3}SA.S_{\bigtriangleup BHC}=\frac{1}{3}.3a.\frac{4a^2}{5}=\frac{4a^3}{5}$
 
Trong tam giác vuông $SAB:$ $SB=\sqrt{SA^2+AB^2}=a\sqrt{10}$
 
$S_{\bigtriangleup SBC}=\frac{1}{2}.SB.BC=a^2\sqrt{10}$
 
$V_{HSCB}=\frac{1}{3}.d(H,(SBC)).S_{\bigtriangleup SBC}=\frac{a^2.d(H,(SBC))\sqrt{10}}{3}$
 
Mà $V_{SHBC}=V_{HSCB}\Rightarrow \frac{4a^3}{5}=\frac{a^2.d(H,(SBC))\sqrt{10}}{3}$
 
$\Rightarrow d(H,(SBC))=\frac{12a}{5\sqrt{10}}$
 

 




#413678 Tính khoảng cách 2 đường chéo nhau !

Gửi bởi MIM trong 19-04-2013 - 16:21

Kẻ $MN//SC(N\in SD).$
a229dd2565202104d9cc03bb1aaa96af_5495841

 

Khi đó $SC//(MNB)\Rightarrow d(BM,SC)=d(SC/(MNB))=d(C,(MNB))$
(Do đề không nhắc tới độ dài của hình vuông đáy nên mình nghĩ là bạn chép thiếu đề, ở đây mình lấy cạnh hình vuông độ dài là $a$)
Ta có $BM=\sqrt{MC^2+BC^2}=\sqrt{\frac{a^2}{4}+a^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$
$SC=\sqrt{SA^2+AC^2}=\sqrt{SA^2+AD^2+DC^2}$
$=\sqrt{4a^2+2a^2}=a\sqrt{6}$
Mà $MN=\frac{SC}{2}\Rightarrow MN=\frac{A\sqrt{6}}{2}$
Trong tam giác $SBD:$
46f7a137c8ba8cfce55eaf1ce03cec1b_5495841

 

$SB=SD=\sqrt{4a^2+a^2}=a\sqrt{5},BD=a\sqrt{2}$
Kẻ $BH\perp SD(H\in SD)$
$cos(\widehat{SDB})=\frac{SD^2+BD^2-SB^2}{2SD.BD}$
$=\frac{5a^2+2a^2-5a^2}{2.a\sqrt{5}.a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}$
Trong tam giác $DNB:$
$cos(\widehat{SDB})=cos(\widehat{NDB})=\frac{\frac{5a^2}{4}+2a^2-NB^2}{2.\frac{a\sqrt{5}}{2}.a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}\Rightarrow NB=\frac{3a}{2}$

 

Xét tam giác $NBM$ có $MN=\frac{a\sqrt{6}}{2},MB=\frac{a\sqrt{5}}{2},NB=\frac{3a}{2}$

Kẻ $MK\perp NB$
6918756b5aba9186de31cbaa9d6ff66c_5495875

 

$cos(\widehat{BNM})=\frac{NB^2+NM^2-MB^2}{2NM.NB}=\frac{5}{3\sqrt{6}}$
$cos(\widehat{KNM})=cos(\widehat{BNM})=\frac{NK}{MN}=\frac{5}{3\sqrt{6}}$
$\Rightarrow NK=\frac{5a}{6}$
$MK=\sqrt{MN^2-NK^2}=\frac{a\sqrt{29}}{6}$
$S_{\bigtriangleup NMB}=\frac{MK.NB}{2}=\frac{a^2\sqrt{29}}{8}$
$S_{\bigtriangleup MBC}=\frac{a^2}{4}$
$\Rightarrow V_{N.MBC}=\frac{1}{3}.\frac{SA}{2}.S_{\bigtriangleup MBC}$
$=\frac{a^3}{12}$
Mặc khác: $V_{C.NMB}=\frac{1}{3}.d(C,(MNB)).S_{\bigtriangleup MNB}$

 

 

$\Rightarrow d(C,(MNB))=\frac{2a}{\sqrt{29}}$
Vậy $\boxed{d(BM,SC)=\frac{2a}{\sqrt{29}}}$



#401548 Tặng quà gì 08/03

Gửi bởi MIM trong 03-03-2013 - 07:37

Muốn ảnh chứ rì? Nhảy hết vào đây và đây :icon6:


#393764 [Giải trí]Cặp đôi hoàn hảo VMF 2013

Gửi bởi MIM trong 06-02-2013 - 14:29

Up hộ bạn namheo cái ảnh của chị Trang :mellow: chị Trang bên trái nha mọi người :closedeyes:
Hình đã gửi


#393454 [Giải trí]Cặp đôi hoàn hảo VMF 2013

Gửi bởi MIM trong 05-02-2013 - 19:20

Vâng, thưa ông bạn vàng alex_hoang, đúng như lời hứa hôm qua hôm nay mình xin đăng kí thi cái cuộc thi hoàn hảo này. Đơn vị đăng kí bao gồm bạn Joker9999 và mình. (Vừa mới quen trên VMF lúc sáng xong.). Đội mình tham gia với mục tiêu vui là chính, phần thưởng nếu có là của bạn gái hết. Mong BGK cho nhất luôn ạ. :D

Hình đã gửi

Hình đã gửi

-----------------------------------------------------------------------------------------
@alex_hoang: 1 lần này thôi đấy


Tội nghiệp em ý, xinh thế mà đi cặp với 1 lão tâm địa hiểm ác... :luoi:


#392698 Ảnh thành viên

Gửi bởi MIM trong 03-02-2013 - 08:08

...


#392482 [Đề Thi Thử ĐH] Chuyên Thái Nguyên - Lần 1

Gửi bởi MIM trong 02-02-2013 - 13:41

Câu 5:(1 điểm)
Cho $a,b,c$ là các số dương thõa mãn điều kiện $a+b+c=1$.Chứng minh rằng:
$\frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}+\frac{b+c}{\sqrt{bc+a}}+\frac{c+a}{\sqrt{ca+b}}\geq 3$


Lời giải:


$\frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}+\frac{b+c}{\sqrt{bc+a}}+\frac{c+a}{\sqrt{ca+b}}\geq 3$

$\Leftrightarrow \frac{a+b}{\sqrt{ab+c(a+b+c)}}+\frac{b+c}{\sqrt{bc+a(a+b+c)}}+\frac{c+a}{\sqrt{ca+b(a+b+c)}}\geq 3$

$\Leftrightarrow \frac{a+b}{\sqrt{(a+c)(b+c)}}+\frac{b+c}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{c+a}{\sqrt{(b+c)(b+a)}}\geq 3$

Đặt $x=\sqrt{a+b},y=\sqrt{b+c},z=\sqrt{c+a}$, BĐT trên

$\Leftrightarrow \frac{x^2}{yz}+\frac{y^2}{xz}+\frac{z^2}{xy}\geq 3$

Theo hệ quả BĐT Bunhiakovsky ta có:

$VT\geq \frac{(x+y+z)^2}{xy+yz+xz}$

Bây giờ ta chỉ cần chứng minh $\frac{(x+y+z)^2}{xy+yz+xz}\geq 3$ thì bài toán coi như ok.

Thật vậy:

$\frac{(x+y+z)^2}{xy+yz+xz}\geq 3$

$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\geq 0$

$\Leftrightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\geq 0$ (BĐT luôn đúng)

Vậy, vấn đề đã được giải quyết. Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$


#392258 Mỗi tuần một ca khúc!

Gửi bởi MIM trong 01-02-2013 - 17:34



Can't Let Go - Tokyo Square





#391399 $\frac{ab}{\sqrt{c+ab}}+\fr...

Gửi bởi MIM trong 29-01-2013 - 16:09

Đề sai rồi em, đề đúng phải là

Cho ba số dương a,b,c thoả $a+ b + c = 1$

CMR: $\frac{ab}{\sqrt{c+ab}}+\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}+\frac{ac}{\sqrt{b+ac}}\leq \frac{1}{2}$

Lời giải:


$\frac{ab}{\sqrt{c+ab}}=\frac{ab}{\sqrt{c(a+b+c)+ab}}$

$=\frac{ab}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}\leq \frac{ab}{2}(\frac{1}{c+a}+\frac{1}{c+b})$

Tương tự ta cũng có:

$\frac{bc}{a+bc}\leq \frac{bc}{2}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c})$

$\frac{ca}{b+ca}\leq \frac{ca}{2}(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{b+a})$

Cộng vế theo vế ta có:

$\frac{ab}{\sqrt{c+ab}}+\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}+\frac{ac}{\sqrt{b+ac}}\leq ...\leq \frac{a+b+c}{2}=\frac{1}{2}$

Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$


#391225 Giải BPT sau: $\sqrt{x+\frac{3}{x}...

Gửi bởi MIM trong 28-01-2013 - 22:01

Giải BPT sau: $\sqrt{x+\frac{3}{x}}+\sqrt{2-x+\frac{3}{2-x}}\leq 4$



Lời giải: (Boxmath)

$ĐKXĐ:\left\{ \begin{array}{l}x+\frac{3}{x}\geq 0\\2-x+\frac{3}{2-x}\geq 0\\x\neq 0\\x\neq 2\end{array} \right.\Leftrightarrow 0<x<2$

Với ĐKXĐ trên ta có:

$2VT=2\sqrt{x+\frac{3}{x}}+2\sqrt{2-x+\frac{3}{2-x}}=\sqrt{(1+3)(x+\frac{3}{x})}+\sqrt{(1+3)(2-x+\frac{3}{2-x})}$

$\geq \sqrt{x}+\frac{3}{\sqrt{x}}+\sqrt{2-x}+\frac{3}{\sqrt{2-x}}$ (BĐT Bunhiakovsky)

$=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{2-x}+\frac{1}{\sqrt{2-x}}+2(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{2-x}})$

$\geq 4+4\frac{1}{\sqrt[4]{x(2-x)}}\geq 4+\frac{4}{\sqrt{\frac{x+2-x}{2}}}=4+4=8$(BĐT Cauchy)

Suy ra $VT\geq 4$ mà theo đề thì $\sqrt{x+\frac{3}{x}}+\sqrt{2-x+\frac{3}{2-x}}\leq 4$ nên $x=1$


#391071 $\sqrt[3]{1+x}+\sqrt{1-x}=2$

Gửi bởi MIM trong 28-01-2013 - 14:15

Giải phương trình sau $\sqrt[3]{1+x}+\sqrt{1-x}=2$


Lời giải: Đặt $\sqrt[3]{1+x}=a,\sqrt{1-x}=2$ ta có hệ: $\left\{ \begin{array}{l}a+b=2(1)\\a^3+b^2=2(2)\end{array} \right.$

Ta có $(1)\Leftrightarrow b=2-a$, thay vào $(2):$

$a^3+(2-a)^2=2\Leftrightarrow a^3+a^2-4a+2=0\Leftrightarrow (a-1)(a^2+2a-2)=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a=1\\a=-1-\sqrt{3}\\a=-1+\sqrt{3}\\ \end{array} \right.$

Với $a=1$ ta có $x=0$

Với $a=-1-\sqrt{3}$ ta có $x=-11-6\sqrt{3}$

Với $a=a=-1+\sqrt{3}$ ta có $x=-11+6\sqrt{3}$

Thử lại đúng.


#390640 Giải phương trình nghiệm nguyên $\overline{abc}=a^{3...

Gửi bởi MIM trong 27-01-2013 - 10:04

Tìm không ra răng không hỏi chị :icon6:
Đây là lời giải của nthoangcute:
Xét $a=1$. Khi đó ta có: $b^3+c^3=99+10b+c\leq 99+90+9=198 \to 0 \leq b,c \leq 5.$
Nếu $b=0$ thì $c^3-c-99=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=1$ thì $c^3-c-108=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=2$ thì $c^3-c-111=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=3$ thì $c^3-c-102=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=4$ thì $c^3-c-75=0.$ PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=5$ thì $(c-3)(c^2+3c+8)=0$. Suy ra $c=3$

Xét $a=2$. Khi đó ta có: $b^3+c^3=192+10b+c\leq 192+90+9=291 \to 0 \leq b,c \leq 6.$
Nếu $b=0$ thì $c^3-c-192=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=1$ thì $c^3-c-201=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=2$ thì $c^3-c-204=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=3$ thì $c^3-c-195=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=4$ thì $c^3-c-168=0.$ PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=5$ thì $c^3-c-117=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=6$ thì $c^3-c-36=0$. PT này không có nghiệm nguyên

Xét $a=3$. Khi đó ta có: $b^3+c^3=273+10b+c\leq 273+90+9=372 \to 0 \leq b,c \leq 7.$
Nếu $b=0$ thì $c^3-c-273=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=0$ thì $c^3-c-282=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=0$ thì $c^3-c-285=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=0$ thì $c^3-c-276=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=0$ thì $c^3-c-249=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=0$ thì $c^3-c-198=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=0$ thì $c^3-c-117=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=0$ thì $c(c+1)(c-1)=0$. Suy ra $c=0$ hoặc $c=1$

Xét $a=4.$ Khi đó ta có: $b^3+c^3=336+10b+c\leq 336+90+9=435 \to 0 \leq b,c \leq 7.$
Nếu $b=0$ thì $(c-7)(c^2+7c+48)=0.$ Suy ra $c=7$
Nếu $b=1$ thì $c^3-c-273=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=2$ thì $c^3-c-345=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=3$ thì $c^3-c-348=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=4$ thì $c^3-c-339=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=5$ thì $c^3-c-261=0.$ PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=6$ thì $c^3-c-180=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=7$ thì $c^3-c-63=0$. PT này không có nghiệm nguyên

Xét $a=5$. Khi đó ta có: $b^3+c^3=375+10b+c\leq 375+90+9=474 \to 0 \leq b,c \leq 7.$
Nếu $b=0$ thì $c^3-c-375=0.$ PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=1$ thì $c^3-c-384=0.$ PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=2$ thì $c^3-c-387=0.$ PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=3$ thì $c^3-c-378=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=4$ thì $c^3-c-351=0.$ PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=5$ thì $c^3-c-300=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=6$ thì $c^3-c-219=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=7$ thì $c^3-c-102=0$. PT này không có nghiệm nguyên

Xét $a=6$. Khi đó ta có: $b^3+c^3=384+10b+c \to 9b=(b-1)b(b+1)+(c-1)c(c+1)-384 \to b$ chẵn.
$b^3+c^3=384+10b+c \leq 483 suy ra 0 \leq b \leq 7$
Nếu $b=0$ thì $c^3-c-384=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=2$ thì $c^3-c-396=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=4$ thì $c^3-c-360=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=6$ thì $c^3-c-228=0.$ PT này không có nghiệm nguyên

Xét $a=7$. Khi đó ta có: $b^3+c^3=357+10b+c\leq 357+90+9=456 \to 0 \leq b,c \leq 7.$
Cũng từ đó ta có:$ 9b=(b-1)b(b+1)+(c-1)c(c+1)-357$ suy ra $b$ lẻ
Nếu $ b=1$ thì $c^3-c-366=0.$ PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $ b=3$ thì $c^3-c-360=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=5$ thì $c^3-c-282=0.$ PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=7$ thì $c^3-c-84=0.$ PT này không có nghiệm nguyên

Xét $a=8$. Khi đó ta có: $b^3+c^3=288+10b+c\leq 288+90+9=387 \to 0 \leq b,c \leq 7.$
Cũng từ đó ta có: $9b=(b-1)b(b+1)+(c-1)c(c+1)-288$ suy ra $ b$ chẵn
Nếu $b=0$ thì $c^3-c-288=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=2$ thì $c^3-c-300=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=4$ thì $c^3-c-264=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=6$ thì $c^3-c-132=0.$ PT này không có nghiệm nguyên

Xét $a=9$. Khi đó ta có: $b^3+c^3=171+10b+c\leq 171+90+9=270 \to 0 \leq b,c \leq 6.$
Cũng từ đó ta có: $9b=(b-1)b(b+1)+(c-1)c(c+1)-171$ suy ra $b $ lẻ
Nếu $b=1$ thì $c^3-c-180=0.$ PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=3$ thì $c^3-c-174=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=5$ thì $c^3-c-96=0.$ PT này không có nghiệm nguyên
Tóm lại, ta tìm được $(a,b,c)=(1,5,3);(3,7,0);(3,7,1);(4,0,7)$
Thử lại thấy thỏa mãn

Đây là mở rộng của nguyenta98 :icon6:
Tổng quát của bài toán này:
$$\overline{a_1a_2...a_n}=a_1^n+a_2^n+...+a_n^n$$
Giải như sau:
$$\overline{a_1a_2...a_n}\geq 10^{n-1} \rightarrow a_1^n+...+a_n^n\geq 10^{n-1}<1>$$
Mặt khác
$$a_1^n+...+a_n^n\le 9^n.n <2>$$
Từ $<1><2>$ suy ra $9^n.n\geq 10^{n-1}<*>$
Nhận thấy $<*>$ gọi tạm là hàm số học đồng biến nhưng sau đó nghịch biến, có nghĩa là $n$ đến một thời điểm nào đó $9^n.n<10^{n-1}$ kể từ đó $n$ tăng thì $<*>$ không còn đúng, đó cũng là lí do tại sao bài toán này chỉ đến một giới hạn đúng, kể từ lúc nào đó sẽ không còn đúng.
Nhận thấy $9^{61}.61<10^{60}$ (theo http://www.wolframal...(9^61)*61-10^60 )
Do đó bài toán tổng quát không còn đúng với $n=61$
Ta sẽ cm không còn đúng với $n\geq 61$
$n=61$ đúng
Giả sử $n=k$ đúng hay $9^k.k<10^{k-1}$
Ta sẽ cm $n=k+1$ đúng hay $9^{k+1}.(k+1)<10^k$
Thật vậy do GTQN suy ra
$$10^{k-1}>9^k.k \rightarrow 10^k>9^k.k.10=9^{k+1}.(k.\dfrac{10}{9})>9^{k+1}.(k+1)$$
Do $k\geq 9$ thì $k.\dfrac{10}{9}\geq k+1$
Do đó bài toán không đúng với $n\geq 61$
Còn $n<61$ thì nghiệm phụ thuộc vào các chuyên gia lập trình thôi ta chỉ có khả năng làm TH đơn giản như $n=1,2,3,4,5$

P/S:Như vậy về căn bản bài toán tổng quát được giải, điều đó chứng tỏ phương trình trên chỉ có hữu hạn nghiệm đây cũng là một kiến thức quan trọng trong lý thuyết số, ngoài ra $n=60$ vẫn có thể đúng http://www.wolframal...(9^60)*60-10^59 (vì có nghiệm hay không tùy thuộc vào trường số N)


#390635 $\left\{\begin{matrix} x^3+2y^2-4y+3=0...

Gửi bởi MIM trong 27-01-2013 - 09:51

Giải hệ :
$\left\{\begin{matrix} x^3+2y^2-4y+3=0(1)&&\\x^2+x^2y^2-2y=0(2)&&\end{matrix}\right.$


Lời giải

Từ $(1)$ ta có:

$x^3=-3-2y^2+4y\Leftrightarrow x^3=-2(y^2-1)^2-1\leq -1$

$x^3\leq -1\Leftrightarrow x\leq -1(*)$

Từ $(2)$ ta có:

$x^2=\frac{2y}{1+y^2}$

Áp dụng BĐT Cauchy cho mẫu, ta suy ra được $x^2\leq 1\Leftrightarrow -1\leq x\leq 1(**)$

Từ $(*)$ và $(**)$ suy ra $x=-1,$ thế vào hệ được $y=1$

Vậy $\boxed{(x;y)=(-1;1)}$