nguyenthuan

ta có: $a^{4}+1+b^{4}+1\geq 2a^{2}+2b^{2}\geq a^{2}+b^{2}+2ab=\left ( a+b \right )^{2}$ (dpcm)
dấu bằng khi a=b=+-1

Đặt a=$\frac{x^{2}+y^{2}}{xy}$.Dễ thấy $a\geq 2$
M=$a+\frac{1}{a}=\frac{a}{4}+\frac{1}{a}+\frac{3a}{4}\geq 2\sqrt{\frac{a}{4}.\frac{1}{a}}+\frac{3.2}{4}=1+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$
Dấu bằng khi a=2$\Leftrightarrow x=y$

Bài 4:
$\left ( a+\frac{1}{a} \right )^{2}+\left ( b+\frac{1}{b} \right )^{2}\geq 2\left ( a+\frac{1}{a} \right )\left ( b_+\frac{1}{b} \right )=2\left ( ab+\frac{1}{ab} +\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right )$
ta có$1=a+b\geq 2\sqrt{ab}\Leftrightarrow ab\leq \frac{1}{4},
$$ab+\frac{1}{ab}=ab+\frac{1}{16ab}+\frac{15}{16ab}\geq 2\sqrt{ab.\frac{1}{16ab}}+\frac{15}{16.\frac{1}{4}}=\frac{17}{4}$
$\frac{a}b{}+\frac{b}{a}\geq 2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=2$
suy ra VT$\geq 2\left ( 2+\frac{17}{4} \right )=\frac{25}{2}$(dpcm)

ta có dễ dàng chứng minh $\left ( a+b+c \right )^{2}\leq 3\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )$$\Rightarrow a+b+c\leq 3$(do a,b,c dương)
Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy-schwars:
VT$\geq \frac{9}{2-a+2-b+2-c}$$= \frac{9}{6-\left ( a+b+c \right )}$$\geq \frac{9}{6-3}= 3$
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

Bài II.1 tôi giải bằng lượng giác ai có cách khác không