Đến nội dung

nguyenthuan

nguyenthuan

Đăng ký: 27-10-2011
Offline Đăng nhập: 26-01-2013 - 07:04
***--

#363481 $a^4+b^4+2\geq(a+b)^2$

Gửi bởi nguyenthuan trong 21-10-2012 - 08:28

ta có: $a^{4}+1+b^{4}+1\geq 2a^{2}+2b^{2}\geq a^{2}+b^{2}+2ab=\left ( a+b \right )^{2}$ (dpcm)
dấu bằng khi a=b=+-1


#305952 $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \geq \d...

Gửi bởi nguyenthuan trong 22-03-2012 - 22:27

Do $\frac{a}{b}-\frac{a}{b+c}=\frac{ca}{b\left ( b+c \right )}$ va $\frac{c}{b+c}=1-\frac{b}{b+c}$ suy ra bdt
$\Leftrightarrow \frac{b^{2}+ca}{b\left ( b+c \right )}+\frac{c^{2}+ab}{c\left ( c+a \right )}+\frac{a^{2}+bc}{a\left ( a+b \right )}\geq 3$
sử dụng bđt Cauchy-Schwars và bđt cơ bản:
$\left ( x+y+z \right )^{2}\geq 3\left ( xy+yz+xz \right )$
ta có:
$\left [ \sum \frac{b^{2}+ca}{b\left ( b+c \right )} \right ]$$\left ( \sum \frac{1}{a+b} \right )\geq \left [ \sum \sqrt{\frac{b^{2}+ca}{b\left ( b+c \right )\left ( b+ \right )}} \right ]^{2}$$\geq 3\sum \sqrt{\frac{\left ( a^{2}+bc \right )\left ( b^{2}+ca \right )}{ab\left ( a+b \right )^{2}\left ( a+c \right )\left ( b+c \right )}}$
do vậy chỉ cần chứng minh được:
$\sum \sqrt{\frac{\left ( a^{2} +bc\right )\left ( b^{2}+ca \right )}{ab\left ( a+b \right )^{2}\left ( a+c \right )\left ( b+c \right )}}$$\geq \sum \frac{1}{a+b}$
Đúng vì:
$\frac{\left ( a^{2}+bc \right )\left ( b^{2}+ca \right )}{ab\left ( a+b \right )^{2}\left ( a+c \right )\left ( b+c \right )}-$$\frac{1}{\left ( a+b \right )^{2}}$
$= \frac{c\left ( a-b \right )^{2}}{ab\left ( a+b \right )\left ( a+c \right )\left ( b+c \right )}\geq 0$
Bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$
  • MIM yêu thích


#289393 Cm $\dfrac{1}{1+a^{3}}+\dfrac{1}{1+b^{3}}+\dfrac{1}{1+c^{...

Gửi bởi nguyenthuan trong 21-12-2011 - 21:09

ap dung bdt schwars:
vt=1/1+a3+1/1+b3+1/1+c3lon hon hoac bang9/(3+a3+b3+c3)
ad dung cosi 3so:a3+b3+c lon hon hoac bang 3abc
suy ra dpcm
  • MIM yêu thích