thanhluong

Bài này:
ĐKXD:....
$A=\frac{x^2-x+1+6x+3+2x+2}{(x+1)(x^2-x+1)}=\frac{x^2+7x+6}{(x+1)(x^2-x+1)}=\frac{x+6}{x^2-x+1}$
Dùng miền giá trị ta có:$Ax^2-Ax+A-x-6=0\Leftrightarrow Ax^2-x(A+1)+A-6=0$
$A=0$ $x=-6$
$A \neq 0$ $\Delta =(A+1)^2-4A(A-6)\geq 0\Rightarrow 3A^2-26A-1\leq 0\Leftrightarrow \frac{13-\sqrt{166}}{3}\leq A\leq \frac{13+\sqrt{166}}{3}$
Dấu "=" bạn tự tìm nhé

Anh rút gọn nhầm rồi phải là $A=\frac{1}{x^2-x+1}$

$$\textbf{KHẢO SÁT HSG LẦN I}$$
$$\text{Năm học: 2012 - 2013}$$
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài 1: Cho biểu thức:
$$A=\frac{\frac{1}{x+1}+\frac{3(2x+1)}{x^3+1}-\frac{2}{x^2+1-x}}{x+2}$$
a. Rút gọn $A$.
b. Tìm giá trị lớn nhất của $A$.

Bài 2:
a) Giải phương trình:
$\frac{1}{x^2-3x+2}+\frac{1}{x^2-5x+6}+\frac{1}{x^2-7x+12}+\frac{1}{x^2-9x+20}=\frac{1}{8}$
b) Tìm $m$ để bất phương trình $(m-2)x \geq (2m-1)x-3$ có nghệm.

Bài 3
Cho ba số $x$, $y$, $z$ khác nhau và:
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}$$.
Chứng minh rằng trong ba số $x$, $y$, $z$ có ít nhất một cặp số đối nhau.

Bài 4
Tìm số dư trong phép chia của đa thức $(x+2)(x+4)(x+6)(x+8)+2012$ cho đa thức $x^2+10x+21$.

Bài 5:
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AC=12$; $BC=16$. Lấy điểm $H$ thuộc $BC$ sao cho $CH=9$. Kẻ phân giác của góc $ACH$, cắt $AH$ tại $M$; kẻ phân giác của góc $BAH$, cắt $BH$ tại $N$.
a) Chứng minh $\triangle{CAH}$ đồng dạng với $\triangle{CBA}$
b) Tính $NB$, $NH$.
c) $MB$ cắt $AN$ tại $O$, cắt đường thẳng qua $N$ và song song với $AH$ tại $I$. Chứng minh $\frac{1}{MO}=\frac{1}{MI}+\frac{1}{MB}$.

Chứng minh rằng phương trình: $x^2-5y^2=27$ không có nghiệm là số nguyên dương.

Từ giả thiết ta có $x^2=5y^2+27=5(y^2+5)+2$, suy ra điều vô lý vì không tồn tại số chính phương chia $5$ dư $2$.

Chứng minh $21^{39}+39^{21}$ $\vdots$ $45$

Cho hình thang $ABCD$ ($AB // CD$) có $AB=4$, $BC=13$ và $CD=9$. Lấy điểm $M$ trên $BC$ để $BM=BA$, đường thẳng vuông góc với $BC$ tại M cắt $AD$ tại $N$. Chứng minh rằng $N$ nằm trên đường phân giác góc $\widehat{ABM}$ và $BC^2=BN^2+ND^2+DC^2$.

Cho x,y thỏa mãn $x+2y=5$
Chứng minh $x^{2}+y^{2}\geq 5$
Dấu "=" xảy ra khi nào ?
Ai có tài liệu hay kinh nghiệm gì về chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng thì chỉ cho mình nhé . Cám ơn các bạn nhiều.

Cái này dùng Bunyakovsky cũng được chứ đâu cần dùng phản chứng đâu bạn:
$$(x^2+y^2)(1+4) \geq (x+2y)^2=25$$
Nên $x^2+y^2 \geq 5$
Dấu '=' xảy ra khi $\frac{x}{1}=\frac{y}{2} \Leftrightarrow x=1, y=2$

Nếu $a=4$:

Ta có $F=(x+2y+1)^2+(2x+4y+5)^2$.

Đặt $x+2y+1=k$ $\Rightarrow F=k^2+(2k+3)^2=5k^2+12k+9=5(k+\frac{6}{5})^2+\frac{9}{5} \geq \frac{9}{5}$

Dấu '=' xảy ra $\Leftrightarrow k=-\frac{6}{5}$

$\Leftrightarrow x+2y=-\frac{11}{5}$

Nếu $a \neq 4$:

Ta có $F=(x+2y+1)^2+(2x+ay+5)^2 \geq 0+0=0$ $\forall x, y$.

Dấu '=' xảy ra $\Leftrightarrow x+2y+1=0$ và $2x+ay+5=0$.
$\Leftrightarrow 2x+4y+2=0$ và $2x+ay+5=0$

$\Rightarrow (2x+4y+2)-(2x+ay+5)=0$

$\Rightarrow y=\frac{3}{4-a}$.

$\Rightarrow x=\frac{10-a}{a-4}$

Vậy: Nếu $a=4$ thì $\min{F}=\frac{9}{5}$ tại $x=-\frac{11}{5}-2y$ (Với $y$ là số thực bất kỳ).

Nếu $a \neq 4$ thì $\min{F}=0$ tại $x=\frac{10-a}{a-4}$ và $y=\frac{3}{4-a}$.
----
$S=52-(23-21)+3.10+10+0=90$

$\left\{\begin{matrix} 2y\left (x^2-y^2 \right )=3x & \\ x\left (x^2 +y^2 \right )=10y & \end{matrix}\right.$ $(*)$

Nếu $x=0$, từ $(*)$ ta có $10y=0 \Leftrightarrow y=0$. Nên hệ $(*)$ có nghiệm $x=y=0$

Nếu $xy \neq 0$, đặt $y=ax$, thì $a \neq 0$. Hệ $(*)$ được viết lại thành:

$\left\{\begin{matrix} 2ax\left (x^2-a^2x^2 \right )=3x (1) & \\ x\left (x^2 +a^2x^2 \right )=10ax (2) & \end{matrix}\right.$

Lần lượt chia cả hai vế của $(1)$ và $(2)$ cho $x \neq 0$, ta được hệ:

$\left\{\begin{matrix} 2ax^2\left (1-a^2 \right )=3 (3) & \\ x^2\left (1 +a^2 \right )=10ax^2 (4) &\end{matrix}\right.$
Từ $(4)$ suy ra $a > 0$, chia cả hai vế của $(3)$ cho $(4)$, ta được:
$$\frac{2a(1-a^2)}{(1+a^2)}=\frac{3}{10a}$$.
$$\Leftrightarrow 20a^2(1-a^2)=3(1+a^2)$$.
$$\Leftrightarrow 20a^2-20a^4=3+3a^2$$.
$$\Leftrightarrow 20a^4-17a^2+3=0$$.
$$\Leftrightarrow 20a^4-5a^2-12a^2+3=0$$.
$$\Leftrightarrow 5a^2(4a^2-1)-3(4a^2-1)=0$$.
$$\Leftrightarrow (4a^2-1)(5a^2-3)=0$$.

$\Leftrightarrow 4a^2-1=0$ hoặc $5a^2-3=0$.
$ \Leftrightarrow a^2=\frac{1}{4}$ hoặc $a^2=\frac{3}{5}$.
$\Leftrightarrow a=\pm \frac{1}{2}$ hoặc $a=\pm \sqrt{\frac{3}{5}}$.
Mà $a > 0$ nên $a=\frac{1}{2}$ hoặc $a=\sqrt{\frac{3}{5}}$.
Trường hợp 1: $a=\frac{1}{2}$
Suy ra $y=2x$. Thay vào $(*)$ ta tính được:
$x=\pm 2$; $y=\pm 1$

Trường hợp 2 :$a=\sqrt{\frac{3}{5}}$
Suy ra $y=\sqrt{\frac{3}{5}}x$
Thay vào hệ $(*)$, ta tính được:
$x=\pm\frac{5}{2}\sqrt[4]\frac{3}{5}$ và $y=\pm\frac{3}{2}\sqrt[4]{\frac{5}{3}}$.
Vậy: Hệ phương trình $(*)$ $5$ cặp nghiệm:
$(x,y) \in \{(0,0); (2,1); (-2,-1); (\frac{5}{2}\sqrt[4]{\frac{3}{5}}, \frac{3}{2}\sqrt[4]{\frac{5}{3}}); (-\frac{5}{2}\sqrt[4]{\frac{3}{5}}, -\frac{3}{2}\sqrt[4]{\frac{5}{3}}) \}$.

$\left\{\begin{matrix} 2y\left (x^2-y^2 \right )=3x & \\ x\left (x^2 +y^2 \right )=10y & \end{matrix}\right.$ $(*)$

Nếu $x=0$, từ $(*)$ ta có $10y=0 \Leftrightarrow y=0$. Nên hệ $(*)$ có nghiệm $x=y=0$

Nếu $xy \neq 0$, đặt $y=ax$, thì $a \neq 0$. Hệ $(*)$ được viết lại thành:

$\left\{\begin{matrix} 2ax\left (x^2-a^2x^2 \right )=3x (1) & \\ x\left (x^2 +a^2x^2 \right )=10ax (2) & \end{matrix}\right.$

Lần lượt chia cả hai vế của $(1)$ và $(2)$ cho $x \neq 0$, ta được hệ:

$\left\{\begin{matrix} 2ax^2\left (1-a^2 \right )=3 (3) & \\ x^2\left (1 +a^2 \right )=10ax^2 (4) &\end{matrix}\right.$
Từ $(4)$ suy ra $a > 0$, chia cả hai vế của $(3)$ cho $(4)$, ta được:
$$\frac{2a(1-a^2)}{(1+a^2)}=\frac{3}{10a}$$.
$$\Leftrightarrow 20a^2(1-a^2)=3(1+a^2)$$.
$$\Leftrightarrow 20a^2-20a^4=3+3a^2$$.
$$\Leftrightarrow 20a^4-17a^2+3=0$$.
$$\Leftrightarrow 20a^4-5a^2-12a^2+3=0$$.
$$\Leftrightarrow 5a^2(4a^2-1)-3(4a^2-1)=0$$.
$$\Leftrightarrow (4a^2-1)(5a^2-3)=0$$.

$\Leftrightarrow 4a^2-1=0$ hoặc $5a^2-3=0$.
$ \Leftrightarrow a^2=\frac{1}{4}$ hoặc $a^2=\frac{3}{5}$.
$\Leftrightarrow a=\pm \frac{1}{2}$ hoặc $a=\pm \sqrt{\frac{3}{5}}$.
Mà $a > 0$ nên $a=\frac{1}{2}$ hoặc $a=\sqrt{\frac{3}{5}}$.
Trường hợp 1: $a=\frac{1}{2}$
Suy ra $y=2x$. Thay vào $(*)$ ta tính được:
$x=\pm 2$; $y=\pm 1$

Trường hợp 2 :$a=\sqrt{\frac{3}{5}}$
Suy ra $y=\sqrt{\frac{3}{5}}x$
Thay vào hệ $(*)$, ta tính được:
$x=\pm\frac{5}{2}\sqrt[4]\frac{3}{5}$ và $y=\pm\frac{3}{2}\sqrt[4]{\frac{5}{3}}$.
Vậy: Hệ phương trình $(*)$ $5$ cặp nghiệm:
$(x,y) \in \{(0,0); (2,1); (-2,-1); (\frac{5}{2}\sqrt[4]{\frac{3}{5}}, \frac{3}{2}\sqrt[4]{\frac{5}{3}}); (-\frac{5}{2}\sqrt[4]{\frac{3}{5}}, -\frac{3}{2}\sqrt[4]{\frac{5}{3}}) \}$.
----
Điểm bài làm: 10
Tổng điểm: $S=52-(21-20)+3.10+0+0=81$

Đặt
$|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+...+|a_{1006}-b_{1006}|=A$.

Theo giả thiết, với số tự nhiên $i$, $1\leq i \leq 1006$ thì $|a_i-b_i|$ có tận cùng là $6$ hoặc $1$

Nên ta đặt $|a_i-b_i|=5n_i+1$ (với $n_i$ là số tự nhiên)

Thay $|a_i-b_i|=5n_i+1$ với $i=1, 2, 3,...,1006$ vào $A$, ta có:

$A=5n_1+1+5n_2+1+...+5n_{1006}+1$

$=5(n_1+n_2+n_3+...+n_{1006}) + 1006$

$\Rightarrow A=5(n_1+n_2+n_3+...+n_{1006}) + 10^3 + 6$ (1)

Giả sử có trong hai tập {$a_1, a_2, a_3,...a_{1006}$} và {$b_1, b_2, b_3,...b_{1006}$} có $2u+1$ ($u$ là số tự nhiên) cặp $(a_i, b_i)$ sao cho $|a_i-b_i|=5n_i+1$ ($n_i$ là số lẻ), tức là $|a_i-b_i|$ có chữ số tận cùng là $1$.

Suy ra $a_i-b_i=5k_i+1$ (với $k_i$ là số nguyên chia hết cho $2$).

Từ đó ta có $b_i=a_i-5k_i-1 \Rightarrow a_i+b_i=2a_i-5k_i-1$, nên $a_i+b_i$ không chia hết cho $2$.

Do đó tổng của các số $a_i$, $b_i$ (sao cho $|a_i-b_i|$ có chữ số tận cùng là $1$) cũng là một số không chia hết cho $2$.

Mặt khác, tổng các số $a_i$, $b_i$ còn lại trong $2$ tập trên đều chia hết cho $2$.

Suy ra:
$a_1+b_1+a_2+b_2+...+a_i+b_i+...+a_{1006}+b_{1006}$ cũng không chia hết cho $2$.

Hay $1+2+3+...+2012$ không chia hết cho

$2$ (Vô lý vì $1+2+3+...+2012=\frac{2012 \cdot 2013}{2}=1006 \cdot 2013$ $\vdots$ $2$)

Từ mâu thuẫn trên ta thấy rằng số cặp $(a_i, b_i)$, để $|a_i-b_i|$ có tận cùng là $1$, không phải là số lẻ. Vì vậy tổng các giá trị $|a_i-b_i|$ trên phải là số chẵn.

Nên $n_1+n_2+n_3+...+n_{1006}$ phải là số chẵn, ta đặt $n_1+n_2+n_3+...+n_{1006} = 2v$ ($v$ là số tự nhiên).

$\Rightarrow 5(n_1+n_2+n_3+...+n_{1006})=10v$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

$A = 10v+10^3+6$ (với $v$ là số tự nhiên).

Vậy: Biểu thức $|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+|a_3-b_3|+...+|a_{1006}-b_{1006}|$ có chữ số tận cùng là $6$.
----
Điểm bài làm:
$S=48-\left ( 27-19 \right )+3.9+0+0=67$

Đây là phần mềm do bạn Trần Hoàng Long (Lớp C04 trường THPT Nguyễn Thượng Hiền) viết. Mọi người download về sử dụng thử và cho ý kiến.
http://www.mediafire...fc6a96j4l6vqyg9

Cái này hay
Nhưng nếu lập trình bằng ngôn ngữ Pascal thì sẽ có nhược điểm là nếu nhập số quá lớn (vượt qua longint) thì sẽ bị thoát ra luôn.

Hihi em mới viết chương trình này có thể kiểm tra được số lớn đến vài ngàn chữ số, mọi người tải về dùng thử rồi cho ý kiến được không ạ
http://www.mediafire...wt309ze39niwenq

Hoặc em có ý kiến thế này, khi lập topic thì nên thêm phần lớp vào, ví dụ

Spoiler

"[Lớp 9] Chứng minh tứ giác nội tiếp"

Nhưng trở ngại lớn nhất là các mem, đặc biệt là mem bởi. Bởi khi lập topic mấy bạn còn chẳng chịu tuân thủ đúng nội quy chứ đừng nói thêm cái mục trên vào

Vậy thì làm cái comobox rồi để user check vào sau đó chỉ việc lập trình hiển thị thôi
Ví dụ:

Bài 1 sao x lẻ lại suy ra điều vô lí vậy bạn
Bài 2 sao 2$\vdots$ UCLN(2k+1,4k$^{2}$+1) mình ko hiểu đoạn này còn lại thì hiểu rồi

Câu 1 bạn xem ở đây http://diendantoanho...ho-y2fracx2-52/
Còn câu 2 thì ta dễ dàng thấy được $4k^2+1=(2k+1)(2k-1)+2$, do đó, nếu 2 đa thức này có ước chung thì nó phải là ước của 2.
p/s: Mình nghĩ mấy bài này phải đưa vào box Số Học mới đúng .

Cho $\triangle{ABC}$ có $\widehat{A}$ tù. Phân giác $BE$, từ $C$ kẻ $CF \bot BE$ ($F \in BE$). $CF$ cắt $AB$ tại $K$. Trung tuyến $BD$ cắt $CK$ tại $G$. Chứng minh $EG//BC$.

Có hay không các số nguyên $x$, $y$ sao cho $y^2=\frac{x^2-5}{2}$