thanhluong

Lúc đầu là $25$ người ngồi $21$ người đứng. Qua bến đầu thêm $4$ người lên nữa. Tổng số là $50$. $25$ người đứng, $25$ người ngồi.
Không biết có đúng không vì số hành khách phải có dạng $a=50k (k \in Z+)$ do $\frac{8}{100}=\frac{4}{50}$ mà theo quy định của luật giao thông thì $k<2$.

Giải bài 4:
a:)$50^{20}={50^2}^{10}=2500^{10} < 2550^{10}$.
b)$8^7-2^{18}=2^{18}(2^{3}-1)=2^{17}.2.7=2^{17}.14$ nên $8^7-2^{18} \vdots 14$.
c)Kết quả bằng $0$.
Giải bài 5:
a)$\frac{1004}{1003}-|x-\frac{3}{5}|\leq\frac{1004}{1003}-0$. Dấu "$=$" xảy ra $\Leftrightarrow x=\frac{3}{5}$.
b)$2x^2-3x=(\sqrt{2}x)^2-2.\sqrt{2}.\frac{3}{2\sqrt{2}}x+\frac{9}{8}-\frac{9}{8}=(x\sqrt{2}-\frac{3}{2\sqrt{2}})^2 \geq -\frac{9}{8}$. Đẳng thức xảy ra khi $x=\frac{3}{4}$.

PHÒNG GD-ĐT TAM KỲ

TRƯỜNG THCS LÝ TỰ TRỌNG

KỲ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI

Năm học: 2011-2012

Môn: Toán 8

Thời gian: 90 phút

Bài 1: (2.0 điểm)

a.Tìm $x$, $y$ biết: $\frac{4+x}{7+y}=\frac{4}{7}$ và $x+y=22$

b.Cho $\frac{x}{3}=\frac{y}{4}$ và $\frac{y}{5}=\frac{z}{6}$. Tính: $M=\frac{2x+3y+4z}{3x+4y+5z}$.

Bài 2: (1.0 điểm)

Thực hiện tính:

$$S=2^{2010}-2^{2009}-2^{2008}-...-2-1$$.

Bài 3: (2 điểm)

a)Phân tích đa thức $x^3-5x^2+8x-4$ thành nhân tử.

b)Cho $a^2-4a+1=0$. Tính giá trị biểu thức:

$$P=\frac{a^4+a^2+1}{a^2}$$.

Bài 4 (1.5 điểm):

a.So sánh $5^{20}$ và $2550^{10}$.

b.Chứng minh $8^7-2^{18}$ chia hết cho $14$.

c.Rút gọn $A=\frac{3.2.4^9.9^4-2^{19}.27^3}{12^{10}-6^9.2^{10}}$

Bài 5 (1.5 điểm): Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a/$\frac{1004}{1003}-|x-\frac{3}{5}|$

b/$2x^2-3x$

Bài 6: (2 điểm): Cho tam giác $ABC$. Gọi $D$, $E$, $F$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh $AB$, $AC$ và $BC$ và $I$, $J$, $K$ theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng $DF$, $BF$ và $CD$.

a)Tứ giác $IJFK$ và $IEKJ$ là hình gì?

b)Chứng minh ba điểm $E$, $K$, $F$ thẳng hàng.

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. $H$ di động trên $BC$. $E$, $F$ lần lượt là điểm đối xứng với $H$ qua $AB$ và $AC$. Xác định điểm $H$ để $S_{EHF}$ đạt GTLN.

Cho $a$, $b$ là các số thực dương thỏa $a+b=1$. Chứng minh:
$\frac{1}{ab}+\frac{3}{a^{2}+b^{2}+ab} \geq 8$

Tìm $x$, $y$, $t$ thỏa mãn : $ (y+t)^{x} = \overline{xyt}$

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1 $. Chứng minh rằng:
$ \frac{a^{2}}{a+bc} + \frac{b^{2}}{b+ca} + \frac{c^{2}}{c+ab} \geq \frac{a+b+c}{4} $.

Thế còn câu hỏi 1 của tớ, trl giúp cái

Uhm bản thân bài toán này mà để nguyên dạng ban đầu như của bạn Ispectorgadget thì khó mà giải được vì bước chuyển từ $ k $ sang $ k+1 $ sẽ không thực hiện được (các bạn có thể kiểm chứng). Vì vậy ta sẽ tìm một số thực $m>0$ thích hợp sao cho bất đẳng thức sau đúng:
$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}<\frac{7}{10}-\frac{m}{n}$
Số m phải thỏa mãn các điều kiện:
1.Bước chuyển quy nạp từ $k$ sang $k+1$ có thể thực hiện được.
2.Bất đăngt thức trên đúng với một giá trị đầu của n. Giá trị đầu này có thể khác với giá trị đầu của đề bài ($n\geq1$). Ta chọn giá trị này là khởi điểm quy nạp.
Xét điều kiện (1), ta có:
${S_k}={S_{k+1}}+\frac{1}{2(k+1)(2k+1)}<\frac{7}{10}-\frac{m}{k}+\frac{1}{2(k+1)(2k+1)}.$
Do đó m phải thỏa mãn:
$-\frac{m}{k}+\frac{1}{2(k+1)(2k+1)}<-\frac{m}{k+1}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{2(k+1)(2k+1)}<m\lgroup\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\rgroup$
$\Leftrightarrow (4m-1)k+2m>0$
$\Leftrightarrow m \geq \frac{1}{4} $
Tiếp theo là điều kiện (2):
+Nếu ta xét $ n=1 $ đầu tiên, bất đẳng thức trờ thành:
$\frac{1}{2}<\frac{7}{10}-m$
$\Leftrightarrow m<\frac{1}{5}$(Loại vì $m \geq \frac{1}{4}).$
+Ta cũng làm tương tự như vậy với $n=2, 3$. Với $n=4$, bất đẳng thức trở thành:
$\frac{1}{4+1}+\frac{1}{4+2}+\frac{1}{4+3}+\frac{1}{4+4} < \frac{7}{10} - \frac{m}{4} $
$\Leftrightarrow m<\frac{11}{42}$ (Bất đẳng thức đúng với $m=\frac{1}{4}$ nên ta chọn)
Như vậy ta sẽ chọn $m=\frac{1}{4}$ và điểm xuất phát quy nạp là $n=4$ sau đó đi đến lời giải như trên.

Chứng minh rằng với mọi số thực $ x, y, z $, ta có:
$x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq \sqrt{2} (xy+yz)$.

Tại sao bạn lại thử n = 1,2,3,4 trước vậy , sao không thực hiện luôn phương pháp qui nạp



Tớ nghĩ đến đoạn in đậm chỉ cần CM $\frac{1}{4k} > \frac{1}{4k+1}$ là đủ mà

Bạn ơi, đúng là $ \frac{1}{4k} > \frac{1}{4k+1} $, nhưng chưa chắc $ \frac{1}{4k} - \frac{1}{2(k+1)(2k+1)} $ đã lớn hơn $ \frac{1}{4(k+1)}$. Do đó ta phải chứng minh:
$ -[\frac{1}{4k} - \frac{1}{2(k+1)(2k+1)}] < -\frac{1}{4(k+1)} $.

Chứng minh rằng với mọi $n\geq 1,n\in N$ ta có
$$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}<\frac{7}{10}$$

Lời giải của tác giả Nguyễn Văn Dũng trong cuốn "Phương pháp giải toán BĐT và cực trị":
Xét bất đẳng thức:
$ \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} +...+ \frac{1}{2n} < \frac{7}{10} - \frac{1}{4n} $.
(Với $ n \in N, n \geq 1 $.)
Bất đẳng thức trên đúng với $ n = {1, 2, 3} $. Với $n={4}$, bất đẳng thức trở thành:
$\frac{1}{4+1} + \frac{1}{4+2} + \frac{1}{4+3} + \frac{1}{4+4} < \frac{7}{10} - \frac{1}{4.4} $
$ \Leftrightarrow 1066 < 1071 $ (đúng}
nên bất đẳng thức đúng với $ n = 4 $.
Giả sử bất đẳng thức đúng với $ n=k (k \geq 4, k \in N) $, tức là:
$ {S_k} = \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2} +...+ \frac{1}{2k} < \frac{7}{10} - \frac{1}{4(k+1)} $.
Ta phải chứng minh nó cũng đúng với $ n = k+1 $. Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
$ {S_{k+1}} = \frac{1}{k+2} + \frac{1}{k+3} +...+ \frac{1}{2k+2} $
$ = {S_k} - \frac{1}{k+1} + \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2} $
$ = {S_k} + \frac{1}{2(k+1)(2k+1)} < \frac{7}{10} - \frac{1}{4k} + \frac{1}{2(k+1)(2k+1)} $.
Do vậy chỉ cần chứng minh:
$ - \frac{1}{4k} + \frac{1}{2(k+1)(2k+1)} < -\frac{1}{4(k+1)} $
$ \Leftrightarrow 2k<2k+1 $ (đúng).
Vậy bất đẳng thức đúng với $ n = k+1 $, nên theo nguyên lí quy nạp ta có bất đẳng thức đúng với mọi $ n \geq 4 $. Suy ra điều phải chứng minh.