thanhluong

b) Trên mặt phẳng Oxy, cho parabol (P) có pt $y=x^{2}$ và đường thẳng (D_ab) có pt $y=ax+b$ với a,b tham số. Với mỗi giá trị b>0, có thể có bao nhiêu giá trị của a để (D_ab) và (P) cắt tại 2 điểm A,B sao cho AB=2?

$AB=2$ nên $(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2=4$ $\leftrightarrow$ $(x_B-x_A)^2+(x_B^2-x_A^2)^2=4$ $\leftrightarrow$ $((x_B+x_A)^2-4x_Bx_A)(1+(x_B+x_A)^2)=4$. Dễ thấy $x_A$ và $x_B$ là nghiệm của phương trình $x^2-ax-b=0$ nên $x_A+x_B=a$ và $x_Ax_B=-b$. Thay vào rồi biện luận phương trình ẩn $t=a^2$ theo $b$ thôi.

Chứng minh: $\sum \sqrt{\frac{a}{a+b}}\leq 2\sqrt{1+\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}},\forall a,b,c>0$

Chứng minh: $\frac{a(y+z)}{b+c}+\frac{b(z+x)}{c+a}+\frac{c(x+y)}{a+b}\geq 3\frac{xy+yz+zx}{x+y+z},\forall a,b,c,x,y,z>0$

Cho a, b, c > 0 và abc=1. Chứng minh $\sqrt{\frac{a^{4}+b^{4}}{1+ab}}+\sqrt{\frac{b^{4}+c^{4}}{1+bc}}+\sqrt{\frac{c^{4}+a^{4}}{1+ca}}\geq 3$

 

Chứng minh: $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+kbc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+kca}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+kab}}\geq \frac{3}{\sqrt{k+1}},\forall a,b,c>0;k\geq 8$

 

Cho $\overline{abc}$ là số nguyên tố, chứng minh rằng $b^2-4ac$ không phải số chính phương.

$\boxed{\text{Câu 1}}$ (1.5 điểm): Cho biểu thức $A=\frac{2\sqrt{x}-9}{x-5\sqrt{x}+6}-\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}+\frac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}$. (Với $x \geq 0; x \neq 4; x\neq 9$).

a. Rút gọn biểu thức A.

b. Tìm các giá trị nguyên của $x$ để $A$ nguyên.

$\boxed{\text{Câu 2}}$ (2 điểm):

a. Giải phương trình $3x^2-15=\sqrt{x^2+x+3}-3x$.

b. Giải hệ phương trình $\begin{cases} 2xy+x+2y=20 \\ \frac{1}{y}+\frac{2}{x}=\frac{4}{3} \end{cases}$

$\boxed{\text{Câu 3}}$ (1.5 điểm): Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho đường thẳng $(d): 2x-y-a^2=0$ và Parabol $(P): y=ax^2$ ($a$ là tham số dương).

a. Tìm giá  trị $a$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A$, $B$. Chứng tỏ khi đó A và B nằm bên phải trục tung.

b. Gọi $x_1$, $x_2$ lần lượt là hoành độ của $A$ và $B$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $M=\frac{4}{x_1+x_2}+\frac{1}{x_1x_2}$.

$\boxed{\text{Câu 4}}$ (2 điểm): Cho tam giác $ABC$ nhọn có số đo góc đỉnh $A$ là $45$ độ. Nửa đường tròn tâm O đường kính $BC$ cắt các cạnh $AB$ và $AC$ lần lượt tại $E$ và $F$. Vẽ bán kính $OM$ vuông góc với $BC$.

a. Chứng minh $EF=R\sqrt{2}$ ($BC=2R$).

b. Chứng minh $M$ là trực tâm $\triangle{AEF}$.

$\boxed{\text{Câu 5}}$ (2 điểm): Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$, có $AB<AC$. Hạ các đường cao $BE$ và $CF$, gọi $H$ là trực tâm. $M$ là giao điểm của $EF$ và $AH$. Vẽ đường kính $AK$ cắt cạnh $BC$ tại $N$.

a. Chứng minh $\triangle{AMF}$ đồng dạng với $\triangle{ANC}$.

b. Chứng minh $HI$ // $MN$ ($I$ là trung điểm $BC$).

$\boxed{\text{Câu 6:}}$ (1 điểm):

Cho hai số $x$ và $y$ thoả mãn: $xy\left(2013-\frac{xy}{2}\right)=\frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}-2014$.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tích $xy$.

Bài làm của thanhluong:

BỔ ĐỀ: Nếu $a, b, x, y$ là các số thực dương thì ta có bất đẳng thức:
$$\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+y^2} \geq \sqrt{(a+b)^2+(x+y)^2}$$.
Chứng minh:
Xét hiệu: $(a^2+x^2)(b^2+y^2)-(ab+xy)^2$
$=(ay-bx)^2 \geq 0, \forall a, b, x, y>0$.
$\Rightarrow (a^2+x^2)(b^2+y^2) \geq (ab+xy)^2$.
$\Rightarrow 2\sqrt{(a^2+x^2)(b^2+y^2)} \geq 2(ab+xy)$.
$\Leftrightarrow a^2+b^2+x^2+y^2+2\sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)} \geq a^2+b^2+x^2+y^2+2ab+2xy$.
$\Leftrightarrow (\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+y^2})^2 \geq (a+b)^2+(x+y)^2$.
$\Rightarrow \sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+y^2} \geq \sqrt{(a+b)^2+(x+y)^2}$.
Bổ đề được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: $ay=bx \Leftrightarrow \frac{a}{x}=\frac{b}{y}$.

Trở lại bài toán, áp dụng định lí Pitago vào các tam giác vuông $\triangle{AEF}, \triangle{DEH}, \triangle{CHG}, \triangle{BFG}$, ta được:
$EF+FG+GH+HE=\sqrt{EA^2+FA^2}+\sqrt{BF^2+BG^2}+\sqrt{CH^2+CG^2}+\sqrt{DH^2+DE^2}$.
Hay: $P_{EFGH}=\sqrt{EA^2+FA^2}+\sqrt{BF^2+BG^2}+\sqrt{CH^2+CG^2}+\sqrt{DH^2+DE^2}$ $(1)$.
Sử dụng liên tiếp bổ đề phụ trên và định lý Pitago cho tam giác vuông $ABC$, ta được:
$\sqrt{EA^2+FA^2}+\sqrt{DE^2+DH^2}+\sqrt{BG^2+BF^2}+\sqrt{CG^2+CH^2} \geq \sqrt{AD^2+(FA+DH)^2}+\sqrt{BC^2+(BF+CH)^2} \geq \sqrt{(AD+BC)^2+(AB+CD)^2}=2\sqrt{AB^2+BC^2}=2AC$: Không đổi $(2)$.
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $P_{EFGH} \geq 2AC$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
$\left\{\begin{matrix} \frac{AF}{DH}=\frac{AE}{DE} &&\\ \frac{BF}{CH}=\frac{BG}{CG} &&\\ \frac{AF+DH}{BF+CH}=\frac{AD}{BBC} \end{matrix}\right.$ $(*)$
Vậy: Chu vi tứ giác $EFGH$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $2AC$ khi các điểm $F$, $G$, $H$ thoả $(*)$. ( Nên nêu rõ để suy ra EFGH là hình bình hành)

___________________________________
@Joker: Nên lập luận rõ chỗ cuối
d=9
S = 12+3*9 = 39

Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}
x^3=6(y+1)\\
y^3=6(x+1)
\end{matrix}\right.$$
Đề của
daovuquang

Bài làm của thanhluong:
$\left\{\begin{matrix} x^3=6(y+1) (1) \\ y^3=6(x+1) (2) \end{matrix} \right.$
Trừ $(1)$ cho $(2)$ vế theo vế, ta được:
$x^3-y^3=6(y-x) \Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2)+6(x-y)=0$.
$\Leftrightarrow x-y=0$ (Vì $x^2+xy+y^2+6 \geq 6 \geq 0$ với mọi $x$, $y$).
$\Leftrightarrow x=y$.
Thay $x = y$ vào $(1)$, ta được:
$x^3-6x-6=0$
$\Leftrightarrow x^3-6-6(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2})-6x+6(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2})=0$.
$\Leftrightarrow x^3-(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2})^3+6(x-\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2})=0$
$\Leftrightarrow (x-\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2})(x^2+x(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2})+\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+6)=0$.
$\Leftrightarrow x - \sqrt[3]{4} -\sqrt[3]{2}=0$.
$\Leftrightarrow x = \sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}$.
Vậy: Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}; \sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2})$

Điểm bài 10
S = 3 + 3*10 = 33

2. Trên cạnh $AB$ của hình chữ nhật $ABCD$ lấy điểm $M$. Qua điểm này dựng đường vuông góc với đường thẳng $CM$, và cắt cạnh $AD$ tại điểm $E$. Điểm $P$ là chân đường vuông góc hạ từ $M$ xuống $CE$. Tính góc $APB$.

Tứ giác $MBCP$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{MBP} = \widehat{MCP}$.
$AMPE$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{MAP}=\widehat{MEP}$.
Do đó: $\widehat{MBP}+\widehat{MAP} = \widehat{MCP}+\widehat{MEP} = 90^o$.
Vậy: Tam giác $ABP$ vuông hay $\widehat{APB}=90^o$.

c rack là sao hở anh ? Em ngu tin lắm.

Bẻ khoá, có thể làm theo cách sau:
Mở file $\boxed{\text{C:\Windows\System32\Drivers\etc\hosts}}$. Chèn thêm dòng sau:
$$\text{127.0.0.1 registeridm.com}$$
Sau đó save lại

$$\textbf{SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG NAM}$$
$$\textbf{KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9}$$
$$\text{NĂM HỌC : 2010-2011}$$.
$$\text{Thời gian : 150 phút}$$

$\boxed{\textbf{Câu 1}}$. (3,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức $A=\sqrt{4+\sqrt{7}}+\sqrt{4-\sqrt{7}}-\sqrt{2}$.
b) Cho $x = \frac{2}{2\sqrt[3]{2}+2+\sqrt[3]{4}}$ và $y = \frac{6}{2\sqrt[3]{2}-2+\sqrt[3]{4}}$. Tính giá trị của $B = x^2-y^2$

$\boxed{\textbf{Câu 2}}$. (4,0 điểm)
a) Giải phương trình: $x^2+7x+12=2\sqrt{3x+7}$.
b) Giải hệ phương trình:
$\left\{ \begin{matrix} x^2+xy+y^2=4 &\\ x+xy+y=2 \end{matrix} \right.$

$\boxed{\textbf{Câu 3}}$. (3.0 điểm)
Cho phương trình: $x^4+2x^2+2mx+m^2+2m+1=0$ ($x$ là ẩn số).
a) Xác định $m$ sao cho nghiệm của phương trình đã cho đạt giá trị lớn nhất.
b) Xác định $m$ sao cho nghiệm của phương trình đã cho đạt giá trị nhỏ nhất.

$\boxed{\textbf{Câu 4}}$. (3,0 điểm)
Cho tam giác $ABC$. Trên cạnh $AC$ lấy điểm $M$ sao cho $\frac{ẠM}{AC}=\frac{1}{4}$, trên cạnh $BC$ lấy điểm $N$ sao cho $\frac{BN}{BC}=\frac{1}{5}$. Hai đường thẳng $AN$ và $BM$ cắt nhau tại $I$. Hãy so sánh diện tích tam giác $BIN$ và diện tích tam giác $AIM$.

$\boxed{\textbf{Câu 5}}$. (4,0 điểm)
Cho nửa đường tròn $(O)$ đường kính $AB=2R$. Trên nửa đường tròn $(O)$ lấy điểm $C$ (khác $A$ và $B$), tia phân giác của góc $CAB$ cắt cạnh $BC$ tại $E$ và cắt nửa đường tròn $(O)$ tại $D$. ($D$ khác $A$).
a) Chứng minh $AD \cdot AE + BC \cdot BE$ là một đại lượng không đổi.
b) Gọi $M$ là trung điểm $BC$, tia $AM$ cắt $(O)$ tại $N$ (khác $A$). Chứng minh $DE > MN$.

Hình mình bổ sung sau nhé:
Xét $\Delta{BFC}$ vuông tại $F$ có $FD$ là đường trung tuyến nên:

$D$ đâu phải là trung điểm $BC$ đâu anh

Cho tam giác $\mathrm{ABC}$ có các đường cao $\mathrm{AD}$ $,$ $\mathrm{BE}$ $,$ $\mathrm{CF}$. Gọi $\mathrm{M}$ $,$ $\mathrm{N}$ lần lượt là hình chiếu của $\mathrm{B}$ và $\mathrm{C}$ lên đường thẳng $\mathrm{EF}$. Chứng minh rằng $\mathrm{DE + DF = MN}$.

Mình xin đóng góp một đề:
ĐỀ 8: ĐỀ THI HSG TP Hồ Chí Minh
Năm học: 1989 - 1990
Vòng 1:
Bài 1: Cho hai số nguyên dương $a$ và $b$ ($a \geq b$) đều không chia hết cho $5$. Chứng minh rằng $a^4-b^4$ $\vdots$ $5$.
Bài 2: Tìm tất cả các cặp số tự nhiên $x$, $y$ sao cho: $\sqrt{x}+\sqrt{y} = \sqrt{1989}$.
Bài 3: Chứng minh rằng nếu $a$, $b$, $c$ là chiều dài ba cạnh một tam giác thì:
$ab + bc + ac \leq a^2+b^2+c^2 < 2(ab+bc+ac)$.
Bài 4: Cho hình vuông $ABCD$ có tâm $O$, cạnh bằng $10 cm$. Gọi $I$ là một điểm bất kì nằm trên đường tròn đi qua ba điểm $A$, $O$, $D$ và ngoài hình hình vuông ($I$ không trùng với $A$ và $D$). $OI$ cắt cạnh $BC$ tại $J$. Cạnh $DK$ của hình bình hành $IJKD$ cắt $BC$ tại $E$. $EH$ là đường cao của tam giác $EKJ$.
a) Tính số đo của góc $HEK$.
b) Chứng minh rằng $IJ > 10\sqrt{2} cm$.