NiQaTu96

Căn bậc bốn là theo ý tưởng ban đầu dùng cauchy đấy mà, bạn ấy làm hay phết. Tks!

Bài này tôi có cách không dùng tan hay hàm số nè:
$xyz+x+z=y$ hay $ 1+ \dfrac{1}{yz} + \dfrac{1}{xy} = \dfrac{1}{xz} $
Đặt $\dfrac{1}{x} = a$ tương tự b,c đấy . . . .. . .
Ta có $1 + bc + ab = ac$ (1)
và $S =\dfrac{2a^2}{1+a^2} - \dfrac{2b^2}{1+b^2} + \dfrac{3c^2}{1+c^2}$ (2)

Thay (1) vào (2):
$S = \dfrac{2a^2}{a^2+ac-bc-ab} - \dfrac{2b^2}{b^2+ac-bc-ab} + \dfrac{3c^2}{c^2+ac-bc-ab}$
Phân tích đa thức thành nhân tử:
$S = \dfrac{2a^2}{(a+c)(a-b)} - \dfrac{2b^2}{(a-b)(c-b)} + \dfrac{3c^2}{(a+c)(c-b)}$
Đến đây thỳ ok rồi

$\sqrt{9x-5}=3x^2+2x+3$

Nhân cả hai vế với 12 khác 0, ta có:
$12\sqrt{9x-5}=12(3x^2+2x+3)$
Thêm vào 2 vế cùng 1 lượng $36x - 11$, ta có:
$36x-20 + 12\sqrt{9x-5} + 9 = 36x^2+60x+25$
Nhận thấy 2 vế là hằng đẳng thức thứ nhất:
${(2\sqrt{9x-5}+3)}^2 = {(6x +5)}^2$
Đến đây phương trình gần như ok.
Các phương trình phía trên không gì hơn ngoài việc đặt ẩn phụ, khá đơn giản.
Hãy nhớ đặt ĐKXĐ và kết luận bài toán.

$S= a - \dfrac{a^2}{1+a} + b - \dfrac{b^2}{2+b} + c - \dfrac{c^2}{3+c} \leq (a + b + c) - \dfrac{{(a+b+c)}^2}{1+2+3+a+b+c} = 1- \dfrac{1}{7} = \dfrac{6}{7}$
( ban kia co avartar xinh the )

Áp dụng AM-GM một cách quá đơn giản, ta có:
$\dfrac{a^2}{b+c} + \dfrac{4(b+c)}{9} \ge \dfrac{4a}{3}$


$\dfrac{b^2}{a+c} + \dfrac{4(a+c)}{9} \ge \dfrac{4b}{3}$


$\dfrac{16c^2}{b+a} + (a+b) \ge 8c$
Cộng theo vế các bất đẳng thức ta không ngờ thu được điều phải chứng minh