leminhansp

Câu 3:

Cách 2: Theo BĐT Cô-si (Cauchy, AM-GM) ta có

$$\dfrac{a^3}{b}+ab+\dfrac{b^3}{c}+bc+\dfrac{c^3}{a}+ac\ge 2(a^2+b^2+c^2)$$

Cũng có

$$\dfrac{a^3}{b}+bc+\dfrac{b^3}{c}+ac+\dfrac{c^3}{a}+ab\ge 2\left( a\sqrt{ac}+b\sqrt{ab}+c\sqrt{bc}\right)$$

Cộng vế suy ra

$$\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}+ab+bc+ac\ge a\sqrt{ac}+b\sqrt{ab}+c\sqrt{bc}+a^2+b^2+c^2$$

$$\Leftrightarrow \dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge a\sqrt{ac}+b\sqrt{ab}+c\sqrt{bc}+(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)\ge a\sqrt{ac}+b\sqrt{ab}+c\sqrt{bc}.$$

Ta sẽ chứng minh $\frac{5y^3-x^3}{xy+3y^2} \leq 2y-x$.

BĐT trên tương đương với $5y^3-x^3-(2y-x)(xy+3y^2) \leq 0$, hay $-(x-y)^2(x+y) \leq 0$, hiển nhiên đúng.

Tương tự, ta được $\dfrac{5y^3-x^3}{xy+3y^2}+\dfrac{5z^3-y^3}{yz+3z^2}+\dfrac{5x^3-z^3}{xz+3x^2}\le (2y-x)+(2z-y)+(2x-z)=x+y+z=1.$

Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

 Quá khó cho một bài trong đề thi Học kì 1 lớp 9

Bạn xem lại đề tý ,k chọn điểm rơi đươch ak

Đúng rồi, mình đã sửa lại đề là $a,b,c\ge 0$. Dấu bằng xảy ra chẳng hạn tại $a=b=0$ và $c=1$.

Ta qui về bài toán đối xứng với hai biến và sử dụng BĐT cauchy-schwarz 

Về ý tưởng mình cũng như thế, nhưng cách thực hiện có hơi khác một chút.

 bdt.png   33.6K   79 Số lần tải

Em có cách này không biết có đúng không 

$\sum \frac{1}{(2x+y)(2y+z)}=\sum \frac{yz}{(2xz+yz)(2xy+yz)}\geq \sum  \frac{4yz}{(2xy+2yz+2zx)^{2}}=\sum yz =1$

Bạn giỏi quá, đề nguyên mẫu là như này $P=\sum\dfrac{1}{4x^2-yz+2}$. Bạn có ý tưởng nào khác không?