dohuuthieu

Đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi quốc gia

 

Năm học 2014-2015

 

Câu 1.

Cho n là số nguyên dương và các số thực dương $x,y$ thỏa mãn $x^{n}+y^{n}=1$.

Chứng minh rằng: $(\sum_{k=1}^{n}\frac{1+x^{2k}}{1+x^{4k}}).(\sum_{k=1}^{n}\frac{1+y^{2k}}{1+y^{4k}})< \frac{1}{(1-x)(1-y)}$

 

Câu 2.

Cho 4028 số thực $a_{1},a_{2},...,a_{2014},b_{1},b_{2},...,b_{2014}$. Xét dãy số $(x_{n})$ được xác định như sau:

$x_{n}=\sum_{i=1}^{2014}\left [ a_{i}.n+b_{i} \right ],(n=1,2,...)$. Biết dãy số $(x_{n})$ lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng $\sum_{i=1}^{2014}a_{i}$ là số nguyên ( với $\left [ a \right ]$ là phần nguyên của số thực a)

 

Câu 3.

 Cho đa thức $P\left ( x \right )=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0},(n=1,2,...)$,$P\left ( x \right )\in \mathbb{Z}\left [ x \right ]$ với $a_{0}$ chẵn và $a_{n-k}+a_{k}$ chẵn, với mọi $k=1,2,...,n-1$. Giả sử $P(x)=Q(x).R(x)$ trong đó $Q(x),R(x)$ là các đa thức hệ số nguyên có bậc lớn hơn hoặc bằng 1, bậc của $Q(x)$ bé hơn hoặc bằng bậc của $R(x)$ và tất cả các hệ số của $R(x)$ là lẻ. Chứng minh rằng đa thức $P(x)$ có nghiệm nguyên.

 

Câu 4.

Cho tứ giác lồi $ABCD$ có các cặp cạnh đối không song song và hai đường chéo $AC$, $BD$ cắt nhau tại $O$. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $OAB$ và $OCD$ cắt nhau tại $X$ và $O$. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $OAD$ và $OBC$ cắt nhau tại $Y$ và $O$. Các đường tròn đường kính $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $Z$ và $T$. Chứng minh rằng nếu $AC$ $\neq$ $BD$ thì bốn điểm $X,Y,Z,T$ cùng nằm trên một đường tròn.

 

Câu 5.

Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương $(x,y,z)$ thỏa mãn:

$(x+1)^{y+1}+1=(x+2)^{z+1}$

 

Câu 6. Cho $2014$ thùng đừng trái cây, mỗi thùng có đầy đủ ba loại trái cây : Táo, Lê, Cam. Chứng minh rằng có thể chọn ra được $1008$ thùng sao cho: tổng số Táo, tổng số Lê, tổng số Cam trong $1008$ thùng này đều lớn hơn một nửa tống số táo, tổng số Lê, tổng số Cam tương ứng trong $2014$ thùng ban đầu.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Với mọi số thực $t$ $>$ $0$, gọi $d(t)$ là số các phân số tối giản $\frac{p}{q}$ mà $0$ $<$ $p,q$$\leq$ $t$

Vói $m,n$ $\in \mathbb{Z}^{+}$ ,hãy tính tổng

$S=d(\frac{m}{1})+d\left ( \frac{m}{2} \right )+...+ d\left ( \frac{m}{n} \right )$ 

Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương n sao cho tất cả các ước nguyên tố của $n^{2}+n+1$ không lớn hơn $\sqrt{n}$

 

 

Chỗ này phải là $\sum \frac{1}{(a+1)^{2}}+\frac{18}{\prod (1+a)}$$\geq 1$

BĐT $\Leftrightarrow \sum (1-\frac{1+a}{1+a+6a^{2}})\leq 1$ $\Leftrightarrow \sum \frac{a^{2}}{1+a+6a^{2}}\leq \frac{1}{6}$ ta có : $\frac{a^{2}}{1+a+6a^{2}}= \frac{a^{2}}{(a+b+c)^{2}+a+6a^{2}}= \frac{a^{2}}{(a^{2}+b^{2}+c^{2})+a+2a(a+b+c)+2(2a^{2}+bc)}$.
Tới đây dùng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel chú ý $\sum \frac{a^{2}}{2a^{2}+bc}\leq 1$ ta được đpcm.

Bài 2:ta có $a^{2}(b+c)\geqslant 2a^{2}\sqrt{bc}=2a\sqrt{a}$
Tương tự đối với các tử còn lại.
Đặt $x=a\sqrt{a}$,$y=b\sqrt{b}$,$z=c\sqrt{c}$
Ta cm được $\frac{x}{y+2z}+\frac{z}{x+2y}+\frac{y}{z+2x}\geqslant 1$
Vậy mins=2 khi và chỉ khi a=b=c=1

Ta có $\frac{b\sqrt{c}}{a(\sqrt{3c}+\sqrt{ab})}=\frac{\sqrt{\frac{bc}{a}}}{\sqrt{\frac{3ac}{b}}+a}$(cùng chia tử và mẫu cho căn ab)
Cần CM:$\sum \frac{\sqrt{\frac{bc}{a}}}{\sqrt{\frac{3ac}{b}}+a}\geqslant \frac{3\sqrt{3}}{4}$
Đặt $x=\sqrt{\frac{bc}{a}}$,$y=\sqrt{\frac{ac}{b}}$,$z=\sqrt{\frac{ab}{c}}$
Suy ra a=yz, b=zx,c=xy suy ra xy+yz+zx=1
BĐT tương đương với $\frac{x}{\sqrt{3}y+yz}+\frac{y}{\sqrt{3}z+zx}+\frac{z}{\sqrt{3}x+xy}\geqslant \frac{3\sqrt{3}}{4}$
Tới đây xài CS chú ý xy+yz+zx=1 ta có dpcm.

Cho a,b,c>0 và a+b+c=3.Chứng minh rằng:
$\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\geqslant \frac{9}{2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}$

Cho tam giác ABC.M là 1 điểm thay đổi trên BC.Các điểm N.P thứ tự nằm trên các cạnh AC và AB sao cho ANMP là hình bình hành.Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ANP luôn đi qua 1 điểm cố định khác A khi M thay đổi trên cạnh BC.

Bài 15:Cho tứ giác ABCD vừa nội tiếp $(O,R)$ vừa ngoại tiếp $(I,r)$.Đặt OI=d.Chứng minh rằng
$\frac{1}{(R-d)^{2}}+\frac{1}{(R+d)^{2}}=\frac{1}{r^{2}}$

Bài 3:
1) Dễ chứng minh vì ABDC là tứ giác điều hòa
2)Gọi E là giao điểm của AM với (O) ,vẽ AK song song với BC thì A và K đối xứng với nhau qua OT
Dễ chứng minh K,E,T thẳng hàng
Suy ra $\widehat{CAM}=\widehat{CKE}$ mà $\widehat{CKE}=\widehat{BAD}$(tc đối xứng)
Suy ra $\angle BAD=\angle CAM$.

Mình làm vậy không biết được không
Biến đổi ta được $p^{2}(p^{2}-6p+1)=8$ suy ra 8$\vdots$$p^{2}$
Suy ra 8$\geq p^{2}$ mà p là số nguyên tố nên p=2
Nhưng p=2 không thỏa mãn
Vậy ta có dpcm

Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tồn tại các số tự nhiên x,y và n thỏa mãn:
$x^{3}+y^{3}=p^{n}$

Giả sử 10 số đã cho viết thành hàng là $a_{1},a_{2}...a_{10}$
Xét 10 tổng: $a_{1}+1;a_{2}+2;...;a_{10}+10$ khi đó
S=$(a_{1}+1)+(a_{2}+2)+...+(a_{10}+10)$
Giả sử không có tổng nào có CSTC bằng nhau thì tổng các CSTC của chúng là 0+1+2+...+9=45.Suy ra CSTC của tổng S là 5, nhưng S=$(a_{1}+a_{2}+...+a_{10})+(1+2+...+10)=110$ có CSTC là 0,vô lí
Vậy ta có dpcm

câu 5 đề có đúng không vậy,sao mình vẽ hình thấy đâu có vuông góc đâu