Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


T M

Đăng ký: 19-11-2011
Offline Đăng nhập: 09-07-2014 - 12:58
****-

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: Đề thi HSG tỉnh Yên Bái và TST

23-10-2013 - 18:28

phải là $2^x=(y+1)^2-65$ chứ

 

sai rồi $x=10,y=32$ là nghiệm đó

 

Mình nhầm, sửa lại một chút, tưởng bài này ngon :P

 

Phương trình tương đương $$2^x+65=(y+1)^2$$

 

+ Nếu $(y+1)^2 \equiv 0 (\mod 2)$ thì phương trình vô nghiệm.

+ Nếu $(y+1)^2 \not\equiv 0 (\mod 2)$ thì đặt $t=y+1$, và $ t^2 \not\equiv 0(\mod 2)$.

Viết lại phương trình dưới dạng $$2^x+65=t^2$$

 

Vì $t^2 \equiv 1;4 (\mod 5)$ nên $2^x \equiv 1;4 (\mod 5)$. Tính $2^1;2^2;...$ thì suy ra $2^x \equiv 1;4 (\mod 5)$ suy ra $x \equiv 0;2 (\mod 4)$.

 

Nên $x$ chẵn. Suy ra $$\left (2^{\frac{x}{2}}-t \right) \left (2^{\frac{x}{2}} +t \right) =-65$$

 

Dễ có $-65=-65.1=-5.13$. Vì $t;x>0$. Đến đây giải hệ là được.


Trong chủ đề: Đề thi HSG tỉnh Yên Bái và TST

23-10-2013 - 17:41

 

 

 

Câu 4 (3 điểm)

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x,y)$ thỏa mãn $2^{x}-y^{2}-2y+64=0$

 

 

 

 

Câu 4: Phương trình tương đương $$2^{x}=(y+1)^2+63$$

Dễ thấy $2|2^{x}$ với nguyên dương và $(y+1)^2+63 \not\equiv 0 (\mod 2)$. Suy ra phương trình vô nghiệm $\blacksquare$.


Trong chủ đề: Đề thi HSG tỉnh Yên Bái và TST

22-10-2013 - 17:48

Câu 1:(5đ)

 

Giải hệ phương trình:

 

$\left\{\begin{matrix} 11+\sqrt{3-x}+3y\sqrt{2-y}=8\sqrt{2-y}+3x\sqrt{3-x} & \\ \sqrt{x+2}+\sqrt{2-y}=x^3+y^2-2y-4 & \end{matrix}\right.$

 

Câu 2:(4đ) Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi

 

$\left\{\begin{matrix} x_1=\frac{1}{4} & \\ x_{n+1}=\frac{x_n}{1+2x_n+2\sqrt{x_n^2+2x_n}}, \forall n \in \mathbb{R} & \end{matrix}\right.$

 

Đặt $y_n=\sum_{n}^{k=1}x_k$. Tìm $\lim y_n$

 

 

 

Câu dãy chứng minh được $x_n \to 0$. Suy ra $\frac{\sum x_k}{n} \to 0$. :|


Trong chủ đề: Đề thi HSG tỉnh Yên Bái và TST

22-10-2013 - 15:25

 

 

 

Cậu 5: (3đ)

 

Cho 10 số nguyên dương $a_1, a_2,..... a_10$. Chứng minh rằng tồn tại các số $x_i \in \begin{bmatrix} -1;0;1 \end{bmatrix}$  không đồng thời bằng không với $i=1,2,....,10$ sao cho số $\sum_{i=1}^{10}x_ia_i \vdots 1023$

 

 

 

 

Giải.

 

Xét các số có dạng $A_j=\sum^{10}_{i=1}b_ia_i$, trong đó$b_i=\{0;1\}$, $a_i ; i= \overline{1;10}$.

Dễ thấy có $2^{10}=1024$ số như vậy. Khi đó trong các $A_j$ sẽ tồn tại $2$ số $A_k$ và $A_h$ thỏa mãn $A_k \equiv A_h (\mod 1023) \Longrightarrow A_k-A_h \equiv 0 (\mod 1023)$. Điều này chứng tỏ rằng $$\sum (b_{ki}-b_{hi})u_i \vdots 1023 ; i=\overline{1;10} ; b_{ki}=\{0;1\}$$

Đặt $b_{ki}-b_{hi}=x_i$ thì dễ thấy $x_i=\{-1;0;1\}$. Từ đó có đpcm $\blacksquare$.


Trong chủ đề: tính giá trị biểu thức $\dfrac{x^{2}+y^{2}+1}{xy}$

22-10-2013 - 06:07

Là do $Y^2+1<X^2 \Rightarrow t_2=\dfrac{Y^2+1}{X} < X$

 

Xin lỗi nhưng cho mình hỏi một tí nữa :| $1 \leq Y <X$ sao suy ra được $t_2<X$ ?